Apéry's series to ζ(3)

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1979 年，フランスの Roger Apéry が極めて重要な論文 [1] を提出しました．それは，長い間未解決とされていた奇数ゼータ値の無理数性について述べたもので，これによると 奇数ゼータ値$\boldsymbol{\zeta(3)}$は無理数である といいます．これを Apéry の定理 といいます．Apéry は，その証明において，

$ \displaystyle \zeta(3) = \frac52 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 \, \binom{2n}n} $

という級数を用いて証明を構成しています．この級数の証明は [2] に記述されていますが，これとは別の証明を考えたので，この投稿で紹介したいと思います．

証明

補題と系

補題として，以下の関係式を利用します．気力があれば，また今度に証明を書きます．

$$ \qquad \begin{align} (1)& \quad \frac1{n^s} = \frac{2 \, (-2)^{s-1}}{\varGamma(s)} \int_0^1 x^{2n-1} \log^{s-1}x \, {\rm d}x \\[3pt] (2)& \quad \frac{\sqrt{a} \operatorname{arsinh} \frac{\sqrt{a}x}2}{\sqrt{1 + \bigl( \! \frac{\sqrt{a}x}2 \! \bigr)^{\!2}}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} \, a^n}{n \, \binom{2n}n} \, x^{2n-1} \\[3pt] (3)& \quad \log\biggl( 2 \sinh \frac{x}2 \biggr) = \frac{x}2 - \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-nx}}n \\[3pt] (4)& \quad \operatorname{arsinh}\frac12 = \log\phi \\[3pt] (5)& \quad \operatorname{Li}_2(\phi^{-2}) = \frac{\pi^2}{15} - \log^2 \phi \\[3pt] (6)& \quad \operatorname{Li}_3(\phi^{-2}) = \frac45 \, \zeta(3) + \frac23 \, \log^3 \phi - \frac{2\pi^2}{15} \, \log \phi \end{align} $$

ただし，ここで$\phi$は黄金比，関数$\operatorname{Li}_s$は多重対数関数で，それぞれ

$ \displaystyle \phi \equiv \frac{1+\sqrt5}2 ,\quad \operatorname{Li}_s(z) \equiv \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^s} $

と定義されます．

準備

まずはじめに，

$ \displaystyle S(a,\,s) \equiv \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} \, a^n}{n^s \, \binom{2n}n} $

なる級数を定義します．関係式$(1)$より，この級数は

$ \displaystyle S(a,\,s) =\frac{2 \, (-2)^{s-1}}{\varGamma(s)} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} \, a^n}{\binom{2n}n} \int_0^1 x^{2n-1} \log^{s-1} x \, {\rm d}x $

と記述することができ，一度だけ部分積分すれば

$ \displaystyle S(a,\,s) = -\frac{2 \, (-2)^{s-1}}{\varGamma(s-1)} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} \, a^n}{n \, \binom{2n}n} \int_0^1 x^{2n-1} \log^{s-2} x \, {\rm d}x $

となります．積分記号と極限記号を入れ換えると，

$ \displaystyle S(a,\,s) = -\frac{2 \, (-2)^{s-1}}{\varGamma(s-1)} \int_0^1 \log^{s-2} x \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} \, a^n}{n \, \binom{2n}n} \, x^{2n-1} \, {\rm d}x $

ですから，関係式$(2)$より，これは

$ \displaystyle S(a,\,s) = -\frac{2 \, (-2)^{s-1}}{\varGamma(s-1)} \int_0^1 \log^{s-2} x \, \frac{\sqrt{a} \operatorname{arsinh}\frac{\sqrt{a}x}2}{\sqrt{1+ \bigl( \! \frac{\sqrt{a}x}2 \! \bigr)^{\!2}}} \, {\rm d}x $

と等価です．さてここで，

$ \displaystyle t = \frac2{\sqrt{a}} \, \sinh \frac{\sqrt{a}x}2 ,\quad {\rm d}t = \cosh \frac{\sqrt{a}x}2 \, {\rm d}x $

なる置換を考えると，求めるべき級数は，

$ \displaystyle S(a,\,s) = \frac{a \, (-2)^{s-2}}{2 \varGamma(s-1)}\int_0^{\frac2{\sqrt{a}} \, \operatorname{arsinh} \frac{\sqrt{a}}2} t \log^{s-2} \biggl( \frac2{\sqrt{a}} \, \sinh \frac{\sqrt{a}t}2 \biggr) \, {\rm d}t $

と表示できます．さらに，

$ \displaystyle x = \sqrt{a}t ,\quad {\rm d}x = \sqrt{a} \, {\rm d}t $

なる置換により，この級数は，

$ \displaystyle S(a,\,s) = \frac{(-2)^{s-2}}{\varGamma(s-1)} \int_0^{2\operatorname{arsinh}\frac{\sqrt{a}}2} x\log^{s-2} \biggl( \frac2{\sqrt{a}} \, \sinh \frac{x}2 \biggr) \, {\rm d}x $

とかくことができます．

本題

上で得られた関係式：

$ \displaystyle S(a,\,s) = \frac{(-2)^{s-2}}{\varGamma(s-1)} \int_0^{2\operatorname{arsinh}\frac{\sqrt{a}}2} x\log^{s-2} \biggl( \frac2{\sqrt{a}} \, \sinh \frac{x}2 \biggr) \, {\rm d}x $

に$a=1$および$s=3$を代入します．左辺は級数$S$の定義から，

$ \displaystyle S(1,\,3) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^3 \, \binom{2n}n} $

です．一方，右辺は関係式$(4)$より，

$ \displaystyle S(1,\,3) = -2 \int_0^{2\log\phi} x \log\biggl( 2\sinh\frac{x}2 \biggr) \, {\rm d}x $

となります．また関係式$(3)$より，再び積分記号と極限記号を入れ換えて，

$ \displaystyle S(1,\,3) = -\int_0^{2\log\phi} x^2 \, {\rm d}x + 2\sum_{j=1}^\infty \frac1j \int_0^{2\log\phi}xe^{-jx} \, {\rm d}x $

です．第 1 項，第 2 項の積分はそれぞれ計算することができて，

$ \displaystyle \begin{align} & \int_0^{2\log\phi} x^2 \, {\rm d}x = \frac83 \, \log^3 \phi \\[3pt] & \int_0^{2\log\phi}xe^{-jx} \, {\rm d}x = -\frac{2\phi^{-2j} \log\phi}{j} + \frac1{j^2} - \frac{\phi^{-2j}}{j^2} \end{align} $

となりますから，

$ \displaystyle \begin{align} S(1,\,3) &= -\frac83 \, \log^3 \phi - 4\log\phi\sum_{j=1}^\infty \frac{\phi^{-2j}}{j^2} + 2\sum_{j=1}^\infty \frac1{j^3} - 2\sum_{j=1}^\infty \frac{\phi^{-2j}}{j^3} \\[3pt] &= -\frac83 \, \log^3\phi - 4\log\phi \operatorname{Li}_2(\phi^{-2}) + 2\zeta(3) - 2\operatorname{Li}_3(\phi^{-2}) \end{align} $

最後に関係式$(5)$および$(6)$を利用して，

$ \displaystyle S(1,\,3) = \frac25 \, \zeta(3) $

が得られます．したがって，Apéry の級数：

$ \displaystyle \zeta(3) = \frac52 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^3 \, \binom{2n}n} $

が得られます．

余談

Apéry の定理が発表されてから，この証明方法を他の奇数ゼータ値についても一般化しようと，その手始めに

$ \displaystyle \zeta(5) = \xi_5 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^5 \, \binom{2n}n} $

を満たす$\xi_5\in\mathbb{R}$を探す研究がなされました．これを求めるためには，

$ \displaystyle S(1,\,5) = -\frac43 \int_0^{2\log\phi} x \log^3 \biggl( 2\sinh\frac{x}2 \biggr) \, {\rm d}x $

という積分を解けばいいことになりますが，ちょっとこの積分は求められなさそうです．実際，Wikipedia によるとこの研究の顛末は，

しかし不幸なことに、コンピュータによる広範な探索はそのような定数を見つけることに失敗しており、実は今では次のことが知られている。ξ₅ が存在し、かつ次数が高々 25 の代数的数であれば、その最小多項式の係数は巨大、少なくとも 10³⁸³ でなければならない。そのため、アペリーの証明を拡張して大きい奇数のゼータ定数に取り組むことはうまくいきそうにない。

とのことであり，残念ながら$\xi_5$は見つかっていないようです．

また，Tanguy Rivoal は [3] において 奇数ゼータ値には無数に無理数が存在する ことを，また Keith Ball との研究 [4] では 奇数ゼータ値$\boldsymbol{\zeta(5)}$, $\boldsymbol{\zeta(7)}$, ..., $\boldsymbol{\zeta(21)}$のうち，少なくともひとつは無理数である ことを証明しています．さらに，Wadim Zudilin は [5] において 奇数ゼータ値$\boldsymbol{\zeta(5)}$, $\boldsymbol{\zeta(7)}$, $\boldsymbol{\zeta(9)}$, $\boldsymbol{\zeta(11)}$のうち，少なくともひとつは無理数である ことを示しています．どちらも証明が難解で，僕はまだ読みきれていません．

しかしながら，Zudilin は 2018 年にもうひとつ論文 [6] を提出していて，これによると 奇数ゼータ値$\boldsymbol{\zeta(5)}$, $\boldsymbol{\zeta(7)}$, ..., $\boldsymbol{\zeta(25)}$のうち，少なくともひとつは無理数である といいます．この証明は初等的に構成されており，なんとか読み進めることができました．こちらの証明も，気が向いたら書いてみようと思います．

最後まで読んでいただき，ありがとうございました．

脚注

記事更新

2023 年 8 月 14 日：数式を中央揃えにしました．

参考文献

Apéry, Roger (1979). "Irrationalité de ζ2 et ζ3". Astérisque 61: 11–13.
Van der Poorten, Alfred (1979). "A proof that Euler missed...". The Mathematical Intelligencer 1: 195-203. doi: 10.1007/BF03028234 .
Rivoal, Tanguy (2000). "La fonction Zeta de Riemann prend une infinite de valeurs irrationnelles aux entiers impairs". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics 331: 267-270. arXiv: math/0008051 . doi: 10.1016/S0764-4442(00)01624-4 .
Ball, Keith; Rivoal, Tanguy (2001). "Irrationalité d'une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs". Inventiones Mathematicae 146: 193-207. doi: 10.1007/s002220100168 .
Zudilin, Wadim (2001). "One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational". Russian Mathematical Surveys 56(4): 774–776. doi: 10.1070/RM2001v056n04ABEH000427 .
Zudilin, Wadim (2018). "One of the Odd Zeta Values from ζ(5) to ζ(25) Is Irrational. By Elementary Means". Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications 14: 8. arXiv: 1801.09895 . doi: 10.3842/SIGMA.2018.028 .

投稿日：7月29日

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keitadayo

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