数論的関数のメビウス変換１
はじめに
この記事の主旨とあまり関係はないのだが，約数関数はメビウス変換と深い関係がある．そのためメビウス変換をよく理解しようと，関数を乗法的関数と加法的関数に絞って研究し，分かったことを記事にすることにした．
しかしいざ書いてみると，とんでもなく長い記事になってしまうことが分かった．そのため前回のようにはするまいと，しかたなくこうして幾つかに分けたのである．
「数論的関数のメビウス変換４」と「数論的関数のメビウス変換５」に関しては現在進行形で研究が進んでいるので，公開がいつになるのかはわからない．まあ応用のようなものなので読まなくてもかまわない．
目次
数論的関数のメビウス変換１
1. はじめに
2. 目次
3. 準備
数論的関数のメビウス変換２
こちら
4. メビウス変換
5. 変換の計算例
数論的関数のメビウス変換３
こちら
6. メビウスの反転公式
7. 逆変換の計算例
数論的関数のメビウス変換４
8. メビウス変換の拡張１
数論的関数のメビウス変換５
9. メビウス変換の拡張２
準備
数論的関数とメビウス変換の導入
関数$f$が乗法的であるとは，次の性質を持つことである．
互いに素な自然数$m,n$に対して
$f(mn)=f(m)f(n)$
が成立するとき，関数$f$を乗法的関数または乗法的であると言う．
すぐにわかるように$f(1)=1$である．
また，関数$f$が加法的であるとは，次の性質を持つことである．
互いに素な自然数$m,n$に対して
$f(mn)=f(m)+f(n)$
が成立するとき，関数$f$を加法的関数または加法的であると言う．
すぐにわかるように$f(1)=0$である．
次に，関数$f$にメビウス変換$M$を施した関数$Mf$を定義する．
$$ Mf(n)=\sum_{d\vert n,0\lt d}f(d) $$
代表的な関数とその定義
次に，この記事で使う代表的な関数の定義を書いておく．
「見なくても大丈夫」という猛者は飛ばして結構．
$n\equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ p^{x})$かつ$n\not\equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ p^{x+1})$
であるような非負整数$x$を$p$進付値と言い，$v_p(n)$と表す．
$n$を変数と見れば関数$v_p$は加法的である．
$n=1$のとき
$\omega(n)=0$
$\Omega(n)=0$$n\gt 1$のとき
$\displaystyle \omega(n)=\sum_{p\vert n} 1$
$ \ $
$\displaystyle \Omega(n)=\sum_{p\vert n} v_p(n)$
どちらも加法的関数である．
$n$が平方因子を持つとき
$$\mu(n)=0$$$n$が平方因子を持たないとき
$$\mu(n)=(-1)^{\omega(n)}$$
メビウス関数は乗法的である．
$$\sigma_x(n)=\sum_{d\vert n,0\lt d} d^x$$
約数関数は乗法的である．
$n=1$のとき
$$\varphi(n)=1$$$n\gt 1$のとき
$$\varphi(n)=n\prod_{p\vert n}\left(1 -\dfrac{1}{p}\right)$$
オイラー関数は乗法的である．
$n=1$のとき
$$J_x(n)=1$$$n\gt 1$のとき
$$J_x(n)=n^x\prod_{p\vert n}\left(1 -\dfrac{1}{p^x}\right)$$
Jordanのトーシェント関数は乗法的である．
$$\mathrm{Id}_x(n)=n^x$$
関数$\mathrm{Id}_x$は乗法的である．
\begin{eqnarray} \varepsilon(n)= \left\{ \begin{array}{l} 1 \ \ \ \ (n=1) \\ 0 \ \ \ \ (n\gt 1) \end{array} \right. \end{eqnarray}
関数$\varepsilon$は乗法的である．
- $n=1$のとき
$$\mathrm{rad}(n)=1$$ - $n\gt 1$のとき
$$\mathrm{rad}(n)=\prod_{p\vert n} p$$
関数$\mathrm{rad}$は乗法的である．
$$1(n)=1$$
関数$1$は乗法的である．
$$\tau_n : \lbrace 1,2,\cdots,n \rbrace \rightarrow \lbrace 1,2,\cdots,n \rbrace $$
が全単射であるように関数$\tau_n$を定める．
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