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数論的関数のメビウス変換1

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はじめに

この記事の主旨とあまり関係はないのだが,約数関数はメビウス変換と深い関係がある.そのためメビウス変換をよく理解しようと,関数を乗法的関数と加法的関数に絞って研究し,分かったことを記事にすることにした.
しかしいざ書いてみると,とんでもなく長い記事になってしまうことが分かった.そのため前回のようにはするまいと,しかたなくこうして幾つかに分けたのである.
「数論的関数のメビウス変換4」と「数論的関数のメビウス変換5」に関しては現在進行形で研究が進んでいるので,公開がいつになるのかはわからない.まあ応用のようなものなので読まなくてもかまわない.

目次

数論的関数のメビウス変換1
1. はじめに
2. 目次
3. 準備

数論的関数のメビウス変換2 こちら
4. メビウス変換
5. 変換の計算例

数論的関数のメビウス変換3 こちら
6. メビウスの反転公式
7. 逆変換の計算例

数論的関数のメビウス変換4
8. メビウス変換の拡張1

数論的関数のメビウス変換5
9. メビウス変換の拡張2

準備

数論的関数とメビウス変換の導入

関数$f$が乗法的であるとは,次の性質を持つことである.

乗法的関数

互いに素な自然数$m,n$に対して
$f(mn)=f(m)f(n)$
が成立するとき,関数$f$を乗法的関数または乗法的であると言う.
すぐにわかるように$f(1)=1$である.

また,関数$f$が加法的であるとは,次の性質を持つことである.

加法的関数

互いに素な自然数$m,n$に対して
$f(mn)=f(m)+f(n)$
が成立するとき,関数$f$を加法的関数または加法的であると言う.
すぐにわかるように$f(1)=0$である.

次に,関数$f$にメビウス変換$M$を施した関数$Mf$を定義する.

メビウス変換

$$ Mf(n)=\sum_{d\vert n,0\lt d}f(d) $$

代表的な関数とその定義

次に,この記事で使う代表的な関数の定義を書いておく.
「見なくても大丈夫」という猛者は飛ばして結構.

p進付値

$n\equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ p^{x})$かつ$n\not\equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ p^{x+1})$
であるような非負整数$x$$p$進付値と言い,$v_p(n)$と表す.

$n$を変数と見れば関数$v_p$は加法的である.

プライムオメガ関数
  1. $n=1$のとき
    $\omega(n)=0$
    $\Omega(n)=0$

  2. $n\gt 1$のとき
    $\displaystyle \omega(n)=\sum_{p\vert n} 1$
    $ \ $
    $\displaystyle \Omega(n)=\sum_{p\vert n} v_p(n)$

どちらも加法的関数である.

メビウス関数
  1. $n$が平方因子を持つとき
    $$\mu(n)=0$$

  2. $n$が平方因子を持たないとき
    $$\mu(n)=(-1)^{\omega(n)}$$

メビウス関数は乗法的である.

約数関数

$$\sigma_x(n)=\sum_{d\vert n,0\lt d} d^x$$

約数関数は乗法的である.

オイラー関数
  1. $n=1$のとき
    $$\varphi(n)=1$$

  2. $n\gt 1$のとき
    $$\varphi(n)=n\prod_{p\vert n}\left(1 -\dfrac{1}{p}\right)$$

オイラー関数は乗法的である.

Jordanのトーシェント関数(オイラー関数の一般化)
  1. $n=1$のとき
    $$J_x(n)=1$$

  2. $n\gt 1$のとき
    $$J_x(n)=n^x\prod_{p\vert n}\left(1 -\dfrac{1}{p^x}\right)$$

Jordanのトーシェント関数は乗法的である.

$$\mathrm{Id}_x(n)=n^x$$

関数$\mathrm{Id}_x$は乗法的である.

\begin{eqnarray} \varepsilon(n)= \left\{ \begin{array}{l} 1 \ \ \ \ (n=1) \\ 0 \ \ \ \ (n\gt 1) \end{array} \right. \end{eqnarray}

関数$\varepsilon$は乗法的である.

自然数の根基
  1. $n=1$のとき
    $$\mathrm{rad}(n)=1$$
  2. $n\gt 1$のとき
    $$\mathrm{rad}(n)=\prod_{p\vert n} p$$

関数$\mathrm{rad}$は乗法的である.

定数関数

$$1(n)=1$$

関数$1$は乗法的である.

置換

$$\tau_n : \lbrace 1,2,\cdots,n \rbrace \rightarrow \lbrace 1,2,\cdots,n \rbrace $$
が全単射であるように関数$\tau_n$を定める.

次の記事 数論的関数のメビウス変換2

投稿日:15日前
更新日:10日前

投稿者

約数関数、数列関係の記事を中心に書いていきます。 記事の内容に間違いがあれば教えてくれるとありがたいです。

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