合流型超幾何関数, 演習問題と解答例: Whittaker&Watson 問題16.6 & 16.7
E. T. Whittaker and G. N. Watson, "A Course of Modern Analysis, 5th ed. (2021)$^{[1]}$の演習問題を解くシリーズ
Chapter 16. The Confluent Hypergeometric Function
16.8 Miscellaneous examples
Example 16.6 & 16.7
以下、$\mathrm{Ei}(z)$,$\mathrm{Ci}(z)$を通常の定義に改めたため、文献[1]の問題とは一部符号が異なる。
Problem
Show that the cosine integral of Schlömilch and Bosso (Giornale di Matematiche, VI), defined by the equation
\begin{equation} \mathrm{Ci}(z)\equiv -\int_{z}^{\infty}\frac{\cos t}{t}dt, \end{equation}
is equal to
\begin{equation} -\frac{1}{2}z^{-\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{2}iz+\frac{1}{4}\pi i} W_{-\frac{1}{2},0}(-iz) -\frac{1}{2}z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}iz-\frac{1}{4}\pi i} W_{-\frac{1}{2},0}(iz). \end{equation}Show also that Schlömilch's function, defined (Zeitschrift für Math. und Physik, IV. (1859), p. 390) by the equations
\begin{equation} S(\nu,z) \equiv \int_{0}^{\infty}(1+t)^{-\nu}e^{-zt}dt =z^{\nu-1}e^{z}\int_{z}^{\infty}\frac{e^{-u}}{u^{\nu}}du, \end{equation}
is equal to
\begin{equation} z^{\frac{1}{2}\nu-1}e^{\frac{1}{2}z}W_{-\frac{1}{2}\nu,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\nu}(z). \end{equation}Express in terms of $W_{k,m}$ functions the two functions
\begin{equation} \mathrm{Si}(z)\equiv\int_{0}^{z}\frac{\sin t}{t}dt,\;\; \mathrm{Ei}(z)\equiv -\int_{-z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt. \end{equation}
解答例
まず、$\mathrm{Ei}(z)$を第二種Whittaker関数$W_{k,m}(z)$で表す。$t-z=s$と置換すると、
\begin{equation}
-\mathrm{Ei}(-z)=\int_{z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt
=e^{-z}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-s}}{s+z}ds
=e^{-z}z^{-1}\int_{0}^{\infty}e^{-s}\left(1+\frac{s}{z}\right)^{-1}ds
\tag{1}\label{eq_Ei}
\end{equation}
と書ける。一方、第二種Whittaker関数の積分表示（文献[1], p.358）
\begin{equation}
W_{k,m}(z)=\frac{e^{-\frac{1}{2}z}z^{k}}{\Gamma(\frac{1}{2}-k+m)}
\int_{0}^{\infty} t^{-k-\frac{1}{2}+m}\left(1+\frac{t}{z}\right)^{k-\frac{1}{2}+m}e^{-t} dt
\tag{*}\label{eq_Whittaker2}
\end{equation}
より、
\begin{equation}
W_{-\frac{1}{2},0}(z)=e^{\frac{1}{2}z}z^{\frac{1}{2}}\cdot
e^{-z}z^{-1}\int_{0}^{\infty}\left(1+\frac{t}{z}\right)^{-1}e^{-t}dt.
\end{equation}
したがって、
\begin{equation}
\mathrm{Ei}(-z)=-e^{-\frac{1}{2}z}z^{-\frac{1}{2}}W_{-\frac{1}{2},0}(z).
\tag{2}\label{eq_Ei_W}
\end{equation}
次に、$\mathrm{Ci}(z)$および$\mathrm{Si}(z)$を第二種Whittaker関数で表す。以下、簡単のため$\mathrm{si}$関数
\begin{equation}
\mathrm{si}(z)\equiv -\int_{z}^{\infty} \frac{\sin t}{t} dt
\end{equation}
も用いる。
$F(u)=\mathrm{Ci}(u)+i \: \mathrm{si}(u)$という関数を新たに考えると、
\begin{equation}
F(u)=-\int_{u}^{\infty}\frac{e^{it}}{t} dt
=-e^{iu}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{iz}}{u+z}dz
\end{equation}
となる。
![積分路!FORMULA[22][-344060919][0]](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2FcmJdtLFvgcPiIWv7FMKL.png?alt=media)
積分路$\rm{C_{R}}$
上式の被積分関数を図1の積分路$\rm{C_{R}}$で積分すると、極は実軸負の位置にしか存在しないから、Cauchyの積分定理より
\begin{equation}
0=\oint_{\rm{C_R}}\frac{e^{iz}}{u+z}dz.
\end{equation}
$\rm{C_{R}}$上の積分を$\rm{A_{R}}+\rm{B_{R}}+\rm{D_{R}}$と分けると$\rm{B_{R}}$上の積分はJordanの補題より0である。したがって、
\begin{equation}
F(u)=-e^{iu}\lim_{R\to\infty}\int_{\rm{A_R}}\frac{e^{iz}}{u+z}dz
=e^{iu}\lim_{R\to\infty}\int_{\rm{D_R}}\frac{e^{iz}}{u+z}dz
=-e^{iu}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-y}}{-iu+y}dy
\tag{3}\label{eq_Fu}
\end{equation}
![積分路!FORMULA[29][-1001582566][0]](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2FVtmsCA98yUGERSL2gxX1.png?alt=media)
積分路$\rm{C'_{R}}$
図2の積分路$\rm{C'_{R}}$について同様に考えて、
\begin{equation}
G(u)\equiv \mathrm{Ci}(u)-i\:\mathrm{si}(u)
=-e^{-iu}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-y}}{iu+y}dy
\tag{4}\label{eq_Gu}
\end{equation}
が得られる。式(\ref{eq_Ei})、(\ref{eq_Fu})、(\ref{eq_Gu})より、
\begin{equation}
\mathrm{Ei}(\pm iu)=\mathrm{Ci}(u)\pm i\:\mathrm{si}(u).
\end{equation}
これと式(\ref{eq_Ei_W})およびDirichlet積分$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$より、
\begin{equation}
\mathrm{Ci}(z)=-\frac{1}{2}z^{-\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{2}iz+\frac{1}{4}\pi i}
W_{-\frac{1}{2},0}(-iz)
-\frac{1}{2}z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}iz-\frac{1}{4}\pi i}
W_{-\frac{1}{2},0}(iz),
\end{equation}
\begin{equation}
\mathrm{Si}(z)=\frac{1}{2i}\left[z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}iz-\frac{1}{4}\pi i}
W_{-\frac{1}{2},0}(iz)
-z^{-\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{2}iz+\frac{1}{4}\pi i}
W_{-\frac{1}{2},0}(-iz)\right]+\frac{\pi}{2}.
\end{equation}
が得られる。
最後にSchlömilch関数について、定義式で$zt=u$と置換して得られる
\begin{equation}
S(\nu,z)=\frac{1}{z}\int_{0}^{\infty}\left(1+\frac{t}{z}\right)^{-\nu}e^{-t}dt
\end{equation}
と式(\ref{eq_Whittaker2})を比べて、
\begin{equation}
S(\nu,z)=z^{\frac{1}{2}\nu-1}e^{\frac{1}{2}z}W_{-\frac{1}{2}\nu,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\nu}(z).
\end{equation}