合流型超幾何関数, 演習問題と解答例: Whittaker&Watson 問題16.1
E. T. Whittaker and G. N. Watson, "A Course of Modern Analysis, 5th ed. (2021)$^{[1]}$の演習問題を解くシリーズ
Chapter 16. The Confluent Hypergeometric Function
16.8 Miscellaneous examples
Example 16.1
Problem
Show that, if the integral is convergent, then
\begin{equation}
M_{k,m}(z)=\frac{\Gamma(2m+1)z^{m+\frac{1}{2}}2^{-2m}}{\Gamma(\frac{1}{2}+m+k)\Gamma(\frac{1}{2}+m-k)}\int_{-1}^{1}(1+u)^{-\frac{1}{2}+m-k}(1-u)^{-\frac{1}{2}+m+k}e^{\frac{1}{2}zu}du
\tag{1}\label{eq_problem}
\end{equation}
解答例
以下の関係式$^{[1,2]}$を用いる。
\begin{equation} {}_1F_1(a,c;z)=M(a,c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_{0}^{1}s^{a-1}(1-s)^{c-a-1}e^{sz}ds, \Re{c}>\Re{a}>0 \tag{2}\label{kummer_int} \end{equation}
\begin{equation} M_{k,m}(z)=e^{-\frac{1}{2}z}z^{m+\frac{1}{2}} {}_1F_1(m-k+\frac{1}{2},1+2m;z) \tag{3}\label{kummer_whittaker} \end{equation}
式(\ref{kummer_int})で$u=2s-1$と積分変数を変換し、$a=m-k+\frac{1}{2}$、$c=1+2m$とおくと、
\begin{equation}
{}_1F_1(m-k+\frac{1}{2},1+2m;z)=\frac{2^{-2m}\Gamma(2m+1)e^{\frac{1}{2}z}}{\Gamma(\frac{1}{2}+m+k)\Gamma(\frac{1}{2}+m-k)}
\int_{-1}^{1}(1+u)^{-\frac{1}{2}+m-k}(1-u)^{-\frac{1}{2}+m+k}e^{\frac{1}{2}zu}du
\end{equation}
上式と式(\ref{kummer_whittaker})より、式(\ref{eq_problem})が示された。