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大学数学基礎解説
文献あり

合流型超幾何関数, 演習問題と解答例: Whittaker&Watson 問題16.1

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E. T. Whittaker and G. N. Watson, "A Course of Modern Analysis, 5th ed. (2021)$^{[1]}$の演習問題を解くシリーズ

Chapter 16. The Confluent Hypergeometric Function

16.8 Miscellaneous examples

Example 16.1

Problem

Show that, if the integral is convergent, then
\begin{equation} M_{k,m}(z)=\frac{\Gamma(2m+1)z^{m+\frac{1}{2}}2^{-2m}}{\Gamma(\frac{1}{2}+m+k)\Gamma(\frac{1}{2}+m-k)}\int_{-1}^{1}(1+u)^{-\frac{1}{2}+m-k}(1-u)^{-\frac{1}{2}+m+k}e^{\frac{1}{2}zu}du \tag{1}\label{eq_problem} \end{equation}

解答例

以下の関係式$^{[1,2]}$を用いる。

第一種合流型超幾何関数(Kummer関数)の積分表示

\begin{equation} {}_1F_1(a,c;z)=M(a,c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_{0}^{1}s^{a-1}(1-s)^{c-a-1}e^{sz}ds, \Re{c}>\Re{a}>0 \tag{2}\label{kummer_int} \end{equation}

Kummer関数とWhittaker関数の関係

\begin{equation} M_{k,m}(z)=e^{-\frac{1}{2}z}z^{m+\frac{1}{2}} {}_1F_1(m-k+\frac{1}{2},1+2m;z) \tag{3}\label{kummer_whittaker} \end{equation}

式(\ref{kummer_int})で$u=2s-1$と積分変数を変換し、$a=m-k+\frac{1}{2}$$c=1+2m$とおくと、
\begin{equation} {}_1F_1(m-k+\frac{1}{2},1+2m;z)=\frac{2^{-2m}\Gamma(2m+1)e^{\frac{1}{2}z}}{\Gamma(\frac{1}{2}+m+k)\Gamma(\frac{1}{2}+m-k)} \int_{-1}^{1}(1+u)^{-\frac{1}{2}+m-k}(1-u)^{-\frac{1}{2}+m+k}e^{\frac{1}{2}zu}du \end{equation}
上式と式(\ref{kummer_whittaker})より、式(\ref{eq_problem})が示された。

参考文献

[1]
E.T. Whittaker, G. N. Watson, and V. H. Moll, A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 2021
[2]
R. Beals and R. Wong, Special Functions: A Graduate Text, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, 2010
投稿日:20231216
更新日:20231217
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投稿者

特殊関数の記事をメインに投稿します。私の専攻は数学ではなく物性理論なので、厳密性には拘らず、応用数学・物理数学として特殊関数を扱いたいと思います。 最終学歴:東京大学大学院 修了、博士(工学)

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