大学数学基礎解説

偶数反復インデックスにおけるt値の表し方

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はじめに

どうも、色々やる数学徒です。
今回は余余余さんの記事にあった式を示していきます。考え方は本人にも直接伺ったので間違えてはいないはず。

内容

今回の目標

$\displaystyle t(\{2\}^r)=\frac{\pi^{2r}}{2^{2r}(2r)!}$

早速示しましょう。
手順としてはなんらかの関数を乗積展開し、テイラー展開と係数比較を行うという感じです。

ふんわりと、$\cosh$を考えたらいいのではないかと思いつきます。
$\displaystyle \cosh(\pi z)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z^2}{(n-1/2)^2}\right)$より
\begin{align} \cosh\left(\frac{\pi z}{2}\right)&=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z^2}{(2n-1)^2}\right)\\ &=1+t(2)z^2+t(2,2)z^4+\cdots…\textcolor{blue}{\heartsuit} \end{align}
$\cosh$のテイラー展開より
$\displaystyle \cosh\left(\frac{\pi z}{2}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\pi^{2n}}{2^{2n}(2n)!}z^{2n}…\heartsuit$
$\textcolor{blue}{\heartsuit},\heartsuit$を$z^{2n}$で係数比較すると上式を得る

$\cosh$を使えば次のようなものも考えられますね。(あまり意味はないかも)

$\displaystyle A(\{2\}^r;l)=\sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_r\\n_i\equiv l\;\textup{mod}\;2l}}\frac{1}{n_1^{2}\cdots n_r^2}=\frac{\pi^{2r}}{l^{2r}(2r)!}$

上のやり方を使えば示せます。