大学数学基礎解説

偶数反復インデックスにおけるt値の表し方

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はじめに

どうも、色々やる数学徒です。
今回は余余余さんの記事にあった式を示していきます。考え方は本人にも直接伺ったので間違えてはいないはず。

内容

今回の目標

$t ({2}^{r}) = \frac{π^{2 r}}{2^{2 r} (2 r)!}$

早速示しましょう。
手順としてはなんらかの関数を乗積展開し、テイラー展開と係数比較を行うという感じです。

ふんわりと、 $\cosh$ を考えたらいいのではないかと思いつきます。
$\cosh (π z) = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{z^{2}}{(n - 1 / 2)^{2}})$ より
$\begin{aligned} \cosh (\frac{π z}{2}) & = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{z^{2}}{(2 n - 1)^{2}}) \\ = 1 + t (2) z^{2} + t (2, 2) z^{4} + \dots \dots ♡ \end{aligned}$
$\cosh$ のテイラー展開より
$\cosh (\frac{π z}{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{π^{2 n}}{2^{2 n} (2 n)!} z^{2 n} \dots ♡$
$♡, ♡$ を $z^{2 n}$ で係数比較すると上式を得る

$\cosh$ を使えば次のようなものも考えられますね。(あまり意味はないかも)

$A ({2}^{r}; l) = \sum_{\begin{matrix} 0 < n_{1} < \dots < n_{r} \\ n_{i} \equiv l mod 2 l \end{matrix}} \frac{1}{n_{1}^{2} \dots n_{r}^{2}} = \frac{π^{2 r}}{l^{2 r} (2 r)!}$