偶数反復インデックスにおけるt値の表し方
目次
・はじめに
・内容
・最後に
はじめに
どうも、色々やる数学徒です。
今回は
余余余さんの記事
にあった式を示していきます。考え方は本人にも直接伺ったので間違えてはいないはず。
内容
$\displaystyle t(\{2\}^r)=\frac{\pi^{2r}}{2^{2r}(2r)!}$
早速示しましょう。
手順としてはなんらかの関数を乗積展開し、テイラー展開と係数比較を行うという感じです。
ふんわりと、$\cosh$を考えたらいいのではないかと思いつきます。
$\displaystyle \cosh(\pi z)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z^2}{(n-1/2)^2}\right)$より
\begin{align}
\cosh\left(\frac{\pi z}{2}\right)&=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z^2}{(2n-1)^2}\right)\\
&=1+t(2)z^2+t(2,2)z^4+\cdots…\textcolor{blue}{\heartsuit}
\end{align}
$\cosh$のテイラー展開より
$\displaystyle \cosh\left(\frac{\pi z}{2}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\pi^{2n}}{2^{2n}(2n)!}z^{2n}…\heartsuit$
$\textcolor{blue}{\heartsuit},\heartsuit$を$z^{2n}$で係数比較すると上式を得る
$\cosh$を使えば次のようなものも考えられますね。(あまり意味はないかも)
$\displaystyle A(\{2\}^r;l)=\sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_r\\n_i\equiv l\;\textup{mod}\;2l}}\frac{1}{n_1^{2}\cdots n_r^2}=\frac{\pi^{2r}}{l^{2r}(2r)!}$
上のやり方を使えば示せます。
最後に
今回は$\{2\}^r$だけでしたが$\{2m\}^r$も$\cosh$の加法定理から積和を導出することでいけそうです。
$\{1,3\}^r$の導出はまだ全然わかってないのでまた余余余に聞いてみます。