対数関数logについて
1.logって何？
何に使うの？
logは主に$2^{100}$や$3^{500}$など莫大な数の桁数や上1桁目(もし4567なら上1桁目は4)を求める時に使われます。
どんな意味？
$log_ab=c$という等式があるとします。そうするとこれは$a^c=b$になることを示します。すなわちaを何乗するとbになるかを求めることができるのです。また、logの計算においてa>0かつa=1でないことを底の条件b>0であることを真数条件といいます。下に具体例と練習問題を置いておきます。
具体例
$log_{2}32=x$ この式は$2^x=32$となるようなxを求めればいいので32=$2^5$よってx=5ですね！練習問題
次の値を求めてください。1.$log_{3}81$
2.$log_{5}3125$
解答
1. 81=$3^4$より42. 3125=$5^5$より5
2.logの計算
logの計算には以下のものがよく使われます。
1.$log_ab+log_ac=log_abc$
2.$log_ab-log_ac=log_a\frac{b}{c}$
3.$alog_bc=log_bc^a$
4.$log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$
証明は書くのが大変なので調べてください(時間があればそのうち書きます)
3.logを使った問題
先ほども書きましたが、logではとても大きな数の桁数や上1桁目などを求めることができます。それでは問題を見てみましょう！
ある数AをA=$2^{50}$,BをB=$3^{100}$,CをC=$5^{100}$とします。次の値の桁数を求めてください。ただし$log_{10}2=0.3010,log_{10}3=0.4771$とします。
1.A
2.AB
3.C
方針と解答
この手の問題では実際に計算して桁数を求めるのは大変なので、桁数を求めたい数を$10^n$の形に直して$10^k<10^n<10^{k+1}$と挟んであげるのが定石です。
1.A=$10^n$に直したいのでn=$log_{10}2^{50}=50log_{10}2=50•0.3010=15.05$より$10^{15}<10^{15.05}<10^{16}$となるので16桁。
2.$log_{10}AB=log_{10}A+log_{10}B=50log_{10}2+100log_{10}3=0.3010•50+0.4771•100=62.76$よって$10^{62}<10^{62.76}<10^{63}$となるので63桁。
3.$log_{10}5$がないので作ります。$log_{10}5=log{10}\frac{10}{2}=log_{10}10-log_{10}2=1-0.3010=0.6990$ $log_{10}5$が無事もとまったので桁数を計算していきます。$log_{10}5^{100}=100log_{10}5=100•0.6990=69.9$よって$10^{69}<10^{69.9}<10^{70}$より70桁。
この手の問題はよく出題されるので是非出来るようにしてみてください！
おまけ OMC173Dの変形
左辺＝$a+log_{256}b=log_{256}256^a+log_{256}b=log_{256}256^a•b$
右辺＝$alog_{256}b=log_{256}b^a$
よって$256^a•b=b^a$両辺をbで割って$2^{8a}=b^{a-1}$
最後に
お疲れ様でした！この記事でlogについてなんとなくわかっていただけたら嬉しいです！時間があれば随時基本公式の証明や上1桁目を求める問題を追加します。
問題のミスや誤植はXの@m_love_mathにDMをいただけるとめちゃ感謝します。
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