Handbook of Set Theory 16. Prikry-Type Forcing 個人的まとめ1

どちらも$n$に関する帰納法による. $n=0$では明らか.
(1)$F_n$がフィルターであると仮定して$F_{n+1}$がフィルターであることを示す.
　$X=A^{n+1}$に対して, $\{s\in A^n:\{a\in A:s\ad a\in X\}\in F\}=A^n\in F_n$だから$A^{n+1}\in F_{n+1}$. $\emptyset$についても定義から$F_{n+1}$に属さないことがわかる.
　$X\in F_{n+1},X\subseteq Y\subseteq A^{n+1}$のとき, 各$s\in A^n$について$\{a\in A:s\ad a\in X\}\in F$ならば$X\subseteq Y$より$\{a\in A:s\ad a\in Y\}\in F$, すなわち
\begin{align*} \{s\in A^n:\{a\in A:s\ad a\in X\}\in F\}\subseteq\{s\in A^n:\{a\in A:s\ad a\in Y\}\in F\}. \end{align*}
$F_n$がフィルターだから$Y\in F_{n+1}$.
　$X,Y\in F_{n+1}$とする.
\begin{align*} \{s\in A^n:\{a\in A:s\ad a\in X\}\in F\}&\cap\{s\in A^n:\{a\in A:s\ad a\in Y\}\in F\}\\ &~~~~~~~~\subseteq\{s\in A^n:\{a\in A:s\ad a\in X\cap Y\}\in F\} \end{align*}
だから, $F_n$がフィルターであることから$X\cap Y\in F_{n+1}$.

(2)$\lambda$完備性は$F$の$\lambda$完備性から, 上で示した二つの要素の共通部分の場合と全く同じように示される.
(3)$F_n$が超フィルターだとして$F_{n+1}$が超フィルターであることを示せばよい. $X\subseteq A^{n+1}$と$s\in A^n$について, $F_n$が超フィルターであることから$\{s\in A^n:\{a\in A:s\ad a\in X\}\in F\}$とその補集合のどちらかが$F_n$に入る.
これ自身が$F_n$に属するなら$X\in F_{n+1}$. そうでなければ, $F$が超フィルターであることから補集合は$\{s\in A^n:\{a\in A:s\ad a\in A^{n+1}-X\}\in F\}$に等しいから, $A^{n+1}-X\in F_{n+1}$.

(1)~(3)は$i=n-m$に関する帰納法によって示され, (4)は(3)の系として明らか.
(1) まず, 全ての$m$について$m$と$n=m+1$で命題が成り立つことを示す. そうすれば一般の$m$と$n\ge m$について命題が成り立つことは, $m\le m'\le n$について$(X/m')/m=X/m$が成り立つことを使うと容易に示される:$X\subseteq A^{m+1}$について
\begin{align*} \{s\in A^m:\{a\in A:s\ad a\in X\}\in F\}&\subseteq\{s\in A^m: \exists a\in A\ s\ad a\in X\}\\ &\subseteq\{s\rst m:s\in X\}. \end{align*}
$X\in F_{m+1}$の定義と$F_m$がフィルターであることから$X\rst m\in F_m$.
(2) $X\in F_m$とする. $n\ge m$で命題が成り立つとき, $n+1$では$F_{n+1}$の定義より
\begin{align*} \{s\in A^{n+1}:s\rst m\in X\}\in F_{n+1}&\Leftrightarrow\{s\in A^n:\{a\in A:(s\ad a)\rst m\in X\}\in F\}\in F_n\\ &\Leftrightarrow\{s\in A^n:s\rst m\in X\}\in F_n. \end{align*}　
帰納法の仮定より$X\in F_{n+1}$.
　逆は$\{s\in A^n:s\rst m\in X\}\rst m=X$を1に適用すればよい.
(3) $i=1$のときは定義から容易にわかる. 以下$n\ge m$で成り立つとき, $n+1$の場合について示す: $X\subseteq A^{n+1}$について, $n,n-m$における$i=1$の場合と帰納法の仮定から
\begin{align*} X\in F_{n+1}&\Leftrightarrow\{s\in A^n:X/s\in F_1\}\in F_n\\ &\Leftrightarrow\{t\in A^m:\{s\in A^n:X/s\in F_1\}/t\in F_{n-m}\}\in F_m\\ &\Leftrightarrow\{t\in A^m:\{u\in A^{n-m}:X/(t\ad u)\in F_1\}\in F_{n-m}\}\in F_m\\ &\Leftrightarrow\{t\in A^m:\{u\in A^{n-m}:(X/t)/u\in F_1\}\in F_{n-m}\}\in F_m\\ &\Leftrightarrow\{t\in A^m:X/t\in F_{n+1-m}\}\in F_m. \end{align*}

一般のtree$T$と$j\le i<\omega$に対して$T_{i,j}$を
\begin{align} T_{i,j}=\begin{dcases} T&j=0,\\ \bigcup\{T(s):s\in\lev_i(T),\suc_T(s)\in U\}&j=1,\tag{$*$}\\ (T_{i,1})_{i-1,j-1}&j>1 \end{dcases} \end{align}
として再帰的に定義する.
　$S=\bigcap_{i<\omega}T_{i,i}$が$U$-treeになることを示す. そのために$T_{i,j}$についていくつかの性質が成り立つことを示す:

(1)と(2)は定義から帰納的に示される. (3)は定義より明らか.
(4) (1)~(3)による.
(5) 任意の$i$について, $j=1$の場合は定義から容易に成り立つ. これを使って, 「任意の$T$と全ての$j\le i$について命題が成り立つ」を$i$に関する帰納法によって示す: $t\in\lev_{\ge i}(T_{i,j})$のとき, $t\in\lev_{\ge i-1}((T_{i,1})_{i-1,j-1})$. $T_{i,1}$における$i-1$の場合を用いて,
\begin{align*} \suc_{T_{i,j}}(t)&=\suc_{(T_{i,1})_{i-1,j-1}}(t)\\ &=\suc_{T_{i,1}}(t)\\ &=\suc_T(t). \end{align*}

1. 全ての$i$について$T_{i,1}$が命題を満たすことさえ示されれば, 後は$T_{i,j}$の定義に従って帰納的に全ての$i,j$の場合も示される.
   　$n=i$:$\lev_i(T_{i,1})=\{s\in\lev_i(T):\suc_T(s)\in U\}$. $\lev_{i+1}(T)\in U_{n+1}$より$\lev_i(T_{i,1})\in U_i$.
   　$n< i$:$\lev_n(T_{i,1})=\{s\rst n:s\in\lev_i(T_{i,1})\}$. $\lev_i(T_{i,1})$が$U_i$に属することはすでに示されたから補題2(1)によって$\lev_n(T_{i,1})\in U_n$.
   　$n>i$:仮定の$\lev_n(T)\in U_n$は補題2(3)より$\{s\in\lev_i(T):\lev_n(T)/s\in U_{n-i}\}\in U_i$を導く.
   ここで$\lev_{n}(T)/s=\lev_{n-i}(T/s)$であって, 補題2(1)より$\lev_1(T/s)\in U_1$.
   よって$\suc_{T/s}(\emptyset)=\suc_T(s)\in U$. 以上より
   \begin{align*} \{s\in\lev_i(T):\lev_n(T)/s\in U_{n-i}\}\subseteq\lev_i(T_{i,1}). \end{align*}
   $T_{i,1}$の定義から任意の$s\in\lev_i(T_{i,1})$について$T/s=T_{i,1}/s$がわかるから,
   \begin{align*} \{s\in\lev_i(T_{i,1}):\lev_n(T_{i,1})/s\in U_{n-i}\}=\{s\in\lev_i(T):\lev_n(T)/s\in U_{n-i}\}\in U_i. \end{align*}
   補題2(3)より$\lev_n(T_i,1)\in U_n$.
2. $n=0$では$T$の仮定より明らか. 以下$n>0$として, 全ての$i\le n$と任意の$t\in\lev_i(T_{n,n})$について$\suc_{T_{n,n}}(t)\in U$を示す.
   $i=0$:(1)より明らか.
   $0< i\le n$: $t\in\lev_i(T_{n,n})$とする. 補題4(2)より$T_{n,n}=(T_{n,n-i+1})_{i-1,i-1}$だから, 同補題(5)より
   \begin{align*} \suc_{T_{n,n}}(t)=\suc_{T_{n,n-i+1}}(t). \end{align*}
   ここで$T_{n,n-i+1}=(T_{n,n-i})_{i,1}$を考える. 補題4(4)によって$t\in(T_{n,n-i})_{i,1}$. $T_{n,n-i}$における$(*)$によって$\suc_{T_{n,n-i+1}}(t)\in U$, i.e. $\suc_{T_{n,n}}(t)\in U$.

最初に述べた通り, 定理3の仮定で与えられた$T$について$S=\bigcap_{n<\omega}T_{n,n}$とおく. $n\ge m$のとき, 補題4(4)の$i=j=m,k=n-m$の場合として$T_{n,n}\subseteq T_{m,m}$を得る. 補題5(1)を各$T_{n,n}$に適用して, 特に$S\neq\emptyset$. $S$が$U$-tree になることを示す: $t\in S$を任意に取る. $m=\lg(t)$とおくとき, 補題5(2)から全ての$n\ge m$について$\suc_{T_{n,n}}(t)\in U$. $\suc_S(t)=\bigcap_{n<\omega}\suc_{T_{n,n}}(t)$だが, $T_{n,n}$が縮小していくことから任意の$l$について$\suc_S(t)=\bigcap_{l\le n<\omega}\suc_{T_{n,n}}(t)$.$l=m$として, $U$の$\kappa$完備性から$\suc_S(t)\in U$.

$U_n$の$\kappa$完備性から全ての$n<\omega$について

1. $\lev_n(T')\in U_n$,
2. $f\rst\lev_n(T')$が定値写像
   の二つが満たされるように$T$を$T'$に縮小し, これに定理3を適用して$S$を得る.

　$n$に関する帰納法による. $n=0$では$\kappa^0=\{\emptyset\}$だから, $n=1$では$U$の正規性から, それぞれ明らか. 以下$n>0$とする.
　$n+1$について, $n$で補題が成り立っていることを仮定する. $f:\kappa^{n+1}\to\kappa$で$X=\{s\in\kappa^{n+1}:f(s)<\min(s)\}\in U_{n+1}$を満たするものを任意に取る. $U_{n+1}$の定義より, $Y=\{t\in\kappa^n:\{\alpha<\kappa:f(t\ad\alpha)<\min(t\ad\alpha)\}\in U\}\in U_n$.各$t\in Y$に対して$f_t:\alpha\mapsto f(t\ad\alpha)$を考えると, $\{\alpha<\kappa:f_t(\alpha)<\alpha\}\in U$だから$U$の正規性によって$X_t=\{\alpha:f_t(\alpha)=\gamma_t\}\in U$を満たす$\gamma_t<\kappa$が存在する.
このとき, $Y$上の写像$t\mapsto\gamma_t$は$f$に関する仮定から$\{t\in Y:\gamma_t<\min(t)\}\in U_n$を満たすから, 帰納法の仮定より$Z=\{t\in Y:\gamma_t=\gamma\}\in U_n$を満たす$\gamma<\kappa$が存在する. $Z\in U_n,X_t\in U(t\in Z)$に$U_{n+1}$の定義を適用して,
\begin{align*} \{s\in\kappa^{n+1}:f(s)=\gamma\}\supseteq\{t\ad\alpha:t\in Z,\alpha\in X_t\}\in U_{n+1}. \end{align*}

　各$n$と仮定を満たす任意の$f:\kappa^n\to\kappa^n$と一つ固定した$i< n$に対して, 条件を満たす$g_i:\kappa^i\to\kappa$が取れれば十分である.
　$X=\{s\in \kappa^n:\forall i< n\ f(s)_i< s_i\}$とする. $Y=\{t\in\kappa^i:X/t\in U_{n-i}\}$と置いたとき, 補題2(3)によって$Y\in U_i$.そこで各$t\in Y$に対して$f_t:\kappa^{n-i}:u\mapsto f(t\ad u)_i$を考えるとき補題7によって$\gamma_t$を得る. そこで$g_i:Y\to\kappa$を$t\mapsto\gamma_t$によって定義すれば$Y\in U_i,\{u:\kappa^{n-i}:f_t(u)=g_i(t)\}\in U_{n-i}(t\in Y)$に補題2(4)を適用することによってこの$g_i$が求めるものだとわかる.