成分の入れ替えで互いに移りあうℂ^nの点を同一視した空間が、元のℂ^nと同相になることの証明

上で定めた係数$c_1,\cdots c_n$は、$\zeta_1,\cdots \zeta_n$らの多項式の形で表されるため、$\varphi$は明らかに連続写像である。$\varphi$の全射性も、代数学の基本定理から明らかである。また、$(\zeta_1,\cdots \zeta_n),(\zeta_1',\cdots \zeta_n')\in \mathbb{C}^n$とする。

このとき、ある$\sigma \in \mathfrak{S}_n$が存在して$(\zeta_1,\cdots \zeta_n)=(\zeta_{\sigma (1)}',\cdots \zeta_{\sigma(n)}')$となることと、$(z-\zeta_1)\cdots (z-\zeta_n)=(z-\zeta_1')\cdots (z-\zeta_n')$となること、すなわち、$\varphi (\zeta_1,\cdots \zeta_n)=\varphi (\zeta_1',\cdots \zeta_n')$となることは同値である。

したがって、$\varphi$は連続な全単射$\tilde{\varphi}:\mathbb{C}^n/\mathfrak{S_n} \to \mathbb{C}^n$をひきおこす。

あとは、逆写像$\psi\coloneqq\tilde{\varphi}^{-1}:\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n/\mathfrak{S_n}$の連続性を示す。

各点$(c_1,\cdots c_n)\in \mathbb{C}^n$で連続であることを示す。$\psi(c_1,\cdots c_n)=[(a_1,\cdots a_n)]\in \mathbb{C}^n/\mathfrak{S_n}$とおく。ここで、$[(a_1,\cdots a_n)]$は、$(a_1,\cdots a_n)\in \mathbb{C}^n$の同値類とする。
つまり、$n$次多項式関数を$f(z)=z^n+c_1z^{n-1}+\cdots c_n$とおくと、$f(z)=(z-a_1)\cdots (z-a_n)$と因数分解されるとする。

$U\subset \mathbb{C}^n/\mathfrak{S_n}$を$[(a_1,\cdots a_n)]$の開近傍とする。自然な連続全射を$p:\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n/\mathfrak{S_n}$とおくと、このとき$p^{-1}(U)$は$(a_1,\cdots a_n)$の$\mathbb{C}^n$での開近傍である。よって、ある$\epsilon >0$が存在し、$\lbrace (\zeta_1,\cdots ,\zeta_n)\in \mathbb{C}^n \ | \ \forall i=1,\cdots n:|a_i-\zeta_i|<\epsilon \rbrace \subset p^{-1}(U)$となる。
これより、$$B_{\epsilon}\coloneqq \lbrace [(\zeta_1,\cdots ,\zeta_n)]\in \mathbb{C}^n/\mathfrak{S_n} \ | \ \forall i=1,\cdots n:|a_i-\zeta_i|<\epsilon \rbrace$$とおくと、これは$[(a_1,\cdots a_n)]\in B_{\epsilon}\subset U$なる$[(a_1,\cdots a_n)]$の開近傍である。
そこで、$(c_1,\cdots c_n)$で$\psi$が連続であることを示すには、次のことを示せばよい。

ある$\delta >0$が存在し、任意の$g(z)=z^n+d_1z^{n-1}+\cdots +d_n=(z-b_1)\cdots (z-b_n)$が$\forall i :|c_i-d_i|<\delta$を満たすならば、$[(b_1,\cdots ,b_n)]\in B_{\epsilon}$となる。

$[(b_1,\cdots ,b_n)]\in B_{\epsilon}$となるとは、ある$\sigma \in \mathfrak{S}_n$によって成分を入れ替えれば、$\forall i:|a_i-b_{\sigma(i)}|<\epsilon$となるということである。

ここで、$a_1',\cdots,a_l'$を、$f$の重複を許した根$a_1,\cdots a_n$の内の相異なる根とし、それぞれ位数を$m_1,\cdots,m_l\in \mathbb{N}$とおくと、$m_1+\cdots m_l=n$である。

さらに、開円盤$\triangle (a_1',\epsilon),\cdots,\triangle (a_l',\epsilon)$らが互いに素になるように、十分小さい$\epsilon >0$にしておく。

$j=1,\cdots, l$を固定する。$z\in \partial \triangle (a_j',\epsilon)$のとき、
\begin{align} |f(z)-g(z)|=|(c_1-d_1)z^{n-1}+\cdots +(c_n-d_n)| &\leq \sum_{i=1}^{n}|c_i-d_i||z|^{n-i} \\ &< \delta \sum_{i=1}^{n}(|a_j'|+\epsilon)^{n-i} \end{align}
と評価できる。そこで、$C_j=\sum_{i=1}^{n}(|a_j'|+\epsilon)^{n-i}>0$とおき、$C=\min \lbrace C_1,\cdots, C_l \rbrace >0$とする。

また、$\partial \triangle (a_j',\epsilon)$はコンパクト集合なので、$|f(z)|$の$\partial \triangle (a_j',\epsilon)$上での最小値が存在し、それを$\rho_j$とおく。$\epsilon$の取り方より、$\partial \triangle (a_j',\epsilon)$上に$f(z)$の零点は存在しないので、$\rho_j >0$である。$\rho=\min \lbrace \rho_1,\cdots, \rho_l \rbrace >0$とする。

以上より、$\delta <\rho /C$としておけば、任意の$j=1,\cdots, l$に対し、$\partial \triangle (a_j',\epsilon)$上で、$|f(z)-g(z)|<\rho C_j/C \leq \rho \leq |f(z)|$となる。

よって、Roucheの定理より、任意の$j=1,\cdots, l$に対し、$\triangle (a_j',\epsilon)$内の$g(z)$の零点の位数の合計は、$a_j'$の位数$m_j$に一致する。

そこで、$\triangle (a_j',\epsilon)$内の$g(z)$の零点を（重複を許して）$b_{k_1},\cdots,b_{k_{m_j}} \ (1\leq k_1<\cdots< k_{m_j}\leq n)$と書き、$$\lbrace i=1,\cdots,n \ | \ a_i=a_j' \rbrace = \lbrace a_{i_1},\cdots,a_{i_{m_j}} \rbrace \ (1\leq i_1<\cdots < i_{m_j}\leq n)$$と書くことにする。

このとき、ある$\sigma \in \mathfrak{S}$が存在して、$b_1,\cdots,b_n$の添え字を入れ替えて、$$i_1=\sigma (k_1),\cdots,i_{m_j}=\sigma(k_{m_j})$$
となるようにできる。

こうすれば、任意の$i=1,\cdots,n$に対し、$|a_i-b_{\sigma(i)}|<\epsilon$となるので、$[(b_1,\cdots ,b_n)]=[(b_{\sigma(1)},\cdots ,b_{\sigma(n)})]\in B_{\epsilon}$となる。

よって、$\psi =\tilde{\varphi}^{-1}$は、点$(c_1,\cdots c_n)\in \mathbb{C}^n$で連続なので、連続写像である。

以上で、$\tilde{\varphi}:\mathbb{C}^n/\mathfrak{S_n} \to \mathbb{C}^n$が同相写像であることが示された。（証明終）