Verma-Jainによるq-Mellin-Barnes積分の展開公式
$x:=\cos\theta$とする.
\begin{align}
h(x;a)&:=(ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_{\infty}\\
h(x;a_1,\dots,a_r)&:=h(x;a_1)\cdots h(x;a_r)\\
w(x;a,b,c,d)&:=\frac{h(x;1,-1,\sqrt q,-\sqrt q)}{h(x;a,b,c,d)}\frac 1{\sqrt{1-x^2}}
\end{align}
とする. このとき,
Askey-Wilson積分
は
\begin{align}
\int_{-1}^1w(x;a,b,c,d)\,dx&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}=:K
\end{align}
と表される.
\begin{align}
S(a,b,c,d,(f_n);(\lambda_n)):=\int_{-1}^1w(x;a,b,c,d)\frac{h(x;(\lambda_n))}{h(x;(f_n))}\,dx
\end{align}
と定義する. ここで, $(f_n)$は$f_1,\dots,f_n$の略記とする. 同様に, $a(f_n)$で$af_1,\dots,af_n$を意味することとし, $a/(f_n)$で$a/f_1,\dots,a/f_n$を意味することとする.
\begin{align}
W(a;(b_n);x):=\Q{n+3}{n+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,(b_n)}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/(b_n)}x
\end{align}
とする. このとき, 以下が成り立つ.
$|a|,|b|,|c|,|d|,|f_1|,\dots,|f_n|<1$のとき,
\begin{align}
&S(a,b,c,d,(f_n);(\lambda_n))\\
&=K\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/abcd;q)_{\infty}}{(a^2q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}\frac{(a(\lambda_n),(\lambda_n)/a;q)_{\infty}}{(a(f_n),(f_n)/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(a^2;ab,ac,ad,a(f_n),aq/(\lambda_n);\frac{\lambda_1\cdots\lambda_n q}{abcd f_1\cdots f_n}\right)\\
&\qquad+\mathrm{idem}(a;f_1,\dots,f_n)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
&f(a_1,\dots,a_n)+\mathrm{idem}(a_1;a_2,\dots,a_n)\\
&:=\sum_{i=1}^nf(a_i,a_1,\dots,a_{i-1},a_{i+1},\dots,a_n)
\end{align}
である.
定理において, $K$は$a$の関数であるから, $\mathrm{idem}$によって動くものであることに注意する. 以下はVerma-Jainによる証明である. 後述するが, 以下の証明には少し欠陥があると思われる.
まず, $n=1$の場合を示す.
Nassrallah-Rahman積分
より
\begin{align}
&\int_{-1}^1w(x;a,b,c,d)\frac{h(x;\lambda)}{h(x;f)}\,dx\\
&=K\frac{(\lambda a,\lambda b,\lambda c,abcf;q)_{\infty}}{(af,bf,cf,\lambda abc;q)_{\infty}}W\left(\lambda abc/q;ab,ac,bc,\lambda/d,\lambda/f;df\right)
\end{align}
である. ここで,
Baileyによる${}_8\phi_7$の3項変換公式
\begin{align}
&W\left(a;b,c,d,e,f;\frac{a^2q^2}{bcdef}\right)\\
&=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef,eq/c,fq/c,b/a,bef/a;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def,q/c,efq/c,be/a,bf/a;q)_{\infty}}W\left(ef/c;aq/bc,aq/cd,ef/a,e,f;\frac{bd}a\right)\\
&\qquad +\frac{(aq,bq/a,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f,d,e,f,aq/bc,bdef/a^2q,a^2q^2/bdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bd/a,be/a,bf/a,def/aq,aq^2/def,q/c,b^2q/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\qquad\cdot\,W\left(b^2/a;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a;\frac{a^2q^2}{bcdef}\right)
\end{align}
において, $a,b,c,d,e,f$を$a^2,af,aq/\lambda,ad,ab,ac$とすると,
\begin{align}
&W\left(a^2;af,aq/\lambda,ad,ab,ac;\frac{\lambda q}{abcdf}\right)\\
&=\frac{(a^2q,q/bc,q/bd,q/cd,\lambda b,\lambda c,f/a,abcf;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,q/abcd,\lambda/a,abc\lambda,bf,cf;q)_{\infty}}W\left(\lambda abc/q;\lambda/f,\lambda/d,bc,ab,ac;df\right)\\
&\qquad +\frac{(a^2q,fq/a,\lambda f,fq/b,fq/c,fq/d,ab,ac,ad,\lambda/f,bcdf/q,q^2/bcdf;q)_{\infty}}{(aq/f,\lambda a,aq/b,aq/c,aq/d,bf,cf,df,abcd/q,q^2/abcd,\lambda /a,f^2q;q)_{\infty}}\\
&\qquad\qquad\cdot\,W\left(f^2;af,fq/\lambda,fd,fb,fc;\frac{\lambda q}{abcdf}\right)
\end{align}
つまり,
\begin{align}
&W\left(\lambda abc/q;\lambda/f,\lambda/d,bc,ab,ac;df\right)\\
&=\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/abcd,\lambda/a,abc\lambda,bf,cf;q)_{\infty}}{(a^2q,q/bc,q/bd,q/cd,\lambda b,\lambda c,f/a,abcf;q)_{\infty}}W\left(a^2;af,aq/\lambda,ad,ab,ac;\frac{\lambda q}{abcdf}\right)\\
&\qquad+\frac{(abc\lambda,\lambda f,fq/b,fq/c,fq/d,ab,ac,ad,\lambda/f,bcdf,q/bcdf;q)_{\infty}}{(q/bc,q/bd,q/cd,\lambda b,\lambda c,abcf,a/f,\lambda a,df,abcd,f^2q;q)_{\infty}}\\
&\qquad\qquad\cdot\,W\left(f^2;af,fq/\lambda,fd,fb,fc;\frac{\lambda q}{abcdf}\right)
\end{align}
を得る. これを先ほどのNassrallah-Rahman積分に代入すると
\begin{align}
&\int_{-1}^1w(x;a,b,c,d)\frac{h(x;\lambda)}{h(x;f)}\,dx\\
&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}\frac{(\lambda a,\lambda b,\lambda c,abcf;q)_{\infty}}{(af,bf,cf,\lambda abc;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/abcd,\lambda/a,abc\lambda,bf,cf;q)_{\infty}}{(a^2q,q/bc,q/bd,q/cd,\lambda b,\lambda c,f/a,abcf;q)_{\infty}}W\left(a^2;af,aq/\lambda,ad,ab,ac;\frac{\lambda q}{abcdf}\right)\\
&\qquad+\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}\frac{(\lambda a,\lambda b,\lambda c,abcf;q)_{\infty}}{(af,bf,cf,\lambda abc;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\frac{(abc\lambda,\lambda f,fq/b,fq/c,fq/d,ab,ac,ad,\lambda/f,bcdf,q/bcdf;q)_{\infty}}{(q/bc,q/bd,q/cd,\lambda b,\lambda c,abcf,a/f,\lambda a,df,abcd,f^2q;q)_{\infty}}\\
&\qquad\qquad\cdot\,W\left(f^2;af,fq/\lambda,fd,fb,fc;\frac{\lambda q}{abcdf}\right)\\
&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/abcd,\lambda a,\lambda/a;q)_{\infty}}{(a^2q,q/bc,q/bd,q/cd,af,f/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(a^2;af,aq/\lambda,ad,ab,ac;\frac{\lambda q}{abcdf}\right)\\
&\qquad+\frac{2\pi(bcdf;q)_{\infty}}{(q,bc,bd,cd,bf,cf,df;q)_{\infty}}\frac{(fq/b,fq/c,fq/d,q/bcdf,\lambda f,\lambda/f;q)_{\infty}}{(f^2q,q/bc,q/bd,q/cd,af,a/f;q)_{\infty}}\\
&\qquad\qquad\cdot\,W\left(f^2;af,fq/\lambda,fd,fb,fc;\frac{\lambda q}{abcdf}\right)
\end{align}
となる. これは定理の$n=1$の場合である. 次に$n=2$の場合を示す. $q$積分を
\begin{align}
\int_a^bf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n))
\end{align}
とする. ここで,
Al-Salam-Verma積分
\begin{align}
\int_a^b\frac{(tq/a,tq/b,ct;q)_{\infty}}{(dt,et,ft;q)_{\infty}}\,d_qt&=b\frac{(a/b,bq/a,c/d,c/e,c/f,q;q)_{\infty}}{(ad,ae,af,bd,be,bf;q)_{\infty}}\qquad c=abdef
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
\frac{h(x;\mu)}{h(x;f)h(x;g)}&=\frac{(\mu/f,\mu/g;q)_{\infty}}{g(q,gq/f,f/g,fg;q)_{\infty}}\int_f^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg;q)_{\infty}h(x;u)}\,d_qu
\end{align}
と表されるので,
\begin{align}
&S(a,b,c,d,f,g;\lambda,\mu)\\
&=\frac{(\mu/f,\mu/g;q)_{\infty}}{g(q,gq/f,f/g,fg;q)_{\infty}}\int_f^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg;q)_{\infty}}\,d_qu\int_{-1}^1w(x;a,b,c,d)\frac{h(x;\lambda)}{h(x;u)}\,dx
\end{align}
ここで, 内側の積分に先ほど示した定理1の$n=1$の場合を用いると,
\begin{align}
&S(a,b,c,d,f,g;\lambda,\mu)\\
&=\frac{(\mu/f,\mu/g;q)_{\infty}}{g(q,gq/f,f/g,fg;q)_{\infty}}\int_f^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg;q)_{\infty}}\,d_qu\\
&\qquad\cdot\bigg(\frac{(abcd,q/abcd,aq/b,aq/c,aq/d,\lambda a,\lambda /a;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd,a^2q,q/bc,q/bd,q/cd,au,u/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\qquad\cdot W\left(a^2;ab,ac,ad,au,aq/\lambda;\frac{\lambda q}{abcdu}\right)+\mathrm{idem}(a;u)\bigg)\\
&=K\frac{(\mu/f,\mu/g;q)_{\infty}}{g(q,gq/f,f/g,fg;q)_{\infty}}\frac{(q/abcd,aq/b,aq/c,aq/d,\lambda a,\lambda /a;q)_{\infty}}{(a^2q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(a^2,aq,-aq,ab,ac,ad,aq/\lambda;q)_j}{(q,a,-a,aq/b,aq/c,aq/d,a\lambda;q)_j}\left(\frac{\lambda q}{abcd}\right)^j\\
&\qquad\cdot\int_f^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg,u/a,auq^j;q)_{\infty}(aq/u;q)_j}u^{-j}\,d_qu\\
&\qquad+\frac{2\pi(\mu/f,\mu/g;q)_{\infty}}{g(q,q,gq/f,f/g,fg,bc,bd,cd,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\int_f^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg;q)_{\infty}}\frac{(bcdu,q/bcdu,uq/b,uq/c,uq/d,\lambda u,\lambda /u;q)_{\infty}}{(bu,cu,du,u^2q,au,a/u;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(u^2;au,bu,cu,du,uq/\lambda;\frac{\lambda q}{abcdu}\right)\,d_qu
\end{align}
第1項については, Al-Salam-Verma積分を用いて,
\begin{align}
&\int_f^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg,u/a,auq^j;q)_{\infty}(aq/u;q)_j}u^{-j}\,d_qu\\
&=(-a)^{-j}q^{-\binom j2}\int_f^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg,uq^{-j}/a,auq^j;q)_{\infty}}\,d_qu\\
&=(-a)^{-j}q^{-\binom j2}g\frac{(f/g,gq/f,fg,a\mu q^j,\mu q^{-j}/a,q;q)_{\infty}}{(\mu/g,f q^{-j}/a,afq^j,\mu/f,gq^{-j}/a,agq^j;q)_{\infty}}\\
&=(-a)^{-j}q^{-\binom j2}g\frac{(f/g,gq/f,fg,a\mu,\mu/a,q;q)_{\infty}}{(\mu/f,\mu/g,f/a,af,g/a,ag;q)_{\infty}}\frac{(af,ag,\mu q^{-j}/a;q)_j}{(fq^{-j}/a,gq^{-j}/a,a\mu;q)_j}\\
&=g\frac{(f/g,gq/f,fg,a\mu,\mu/a,q;q)_{\infty}}{(\mu/f,\mu/g,f/a,af,g/a,ag;q)_{\infty}}\frac{(af,ag,aq/\mu;q)_j}{(aq/f,aq/g,a\mu;q)_j}\left(\frac{\mu}{fg}\right)^j
\end{align}
となるから, これを代入して,
\begin{align}
&K\frac{(\mu/f,\mu/g;q)_{\infty}}{g(q,gq/f,f/g,fg;q)_{\infty}}\frac{(q/abcd,aq/b,aq/c,aq/d,\lambda a,\lambda /a;q)_{\infty}}{(a^2q,q/bc,q/bd,q/cd,au,u/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(a^2,aq,-aq,ab,ac,ad,aq/\lambda;q)_j}{(q,a,-a,aq/b,aq/c,aq/d,a\lambda;q)_j}\left(\frac{\lambda q}{abcd}\right)^j\\
&\qquad\cdot\int_f^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u,aq^{j+1}/u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg,u/a,aq/u,auq^j;q)_{\infty}}u^{-j}\,d_qu\\
&=K\frac{(q/abcd,aq/b,aq/c,aq/d,\lambda a,\lambda /a,a\mu,\mu/a;q)_{\infty}}{(a^2q,q/bc,q/bd,q/cd,af,f/a,ag,g/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(a^2,aq,-aq,ab,ac,ad,af,ag,aq/\lambda,aq/\mu;q)_j}{(q,a,-a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/f,aq/g,a\lambda,a\mu;q)_j}\left(\frac{\lambda\mu q}{abcdfg}\right)^j\\
&=K\frac{(q/abcd,aq/b,aq/c,aq/d,\lambda a,\lambda /a,a\mu,\mu/a;q)_{\infty}}{(a^2q,q/bc,q/bd,q/cd,af,f/a,ag,g/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(a^2;ab,ac,ad,af,ag,aq/\lambda,aq/\mu;\frac{\lambda\mu q}{abcdfg}\right)
\end{align}
となる. 第2項
\begin{align}
&\frac{2\pi(\mu/f,\mu/g;q)_{\infty}}{g(q,q,gq/f,f/g,fg,bc,bd,cd,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\int_f^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u,bcdu,q/bcdu,uq/b,uq/c,uq/d,\lambda u,\lambda /u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg,bu,cu,du,u^2q,au,a/u;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(u^2;au,bu,cu,du,uq/\lambda;\frac{\lambda q}{abcdu}\right)\,d_qu
\end{align}
については$q$積分を
\begin{align}
\int_f^g=\int_0^g-\int_0^f
\end{align}
と分けて考える.
前の記事
で示したVerma-Jainによる展開公式より
\begin{align}
&W\left(u^2;au,bu,cu,du,uq/\lambda;\frac{\lambda q}{abcdu}\right)\\
&=\frac{(u^2q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}{(uq/b,uq/c,uq/d,q/bcdu;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(bu,cu,du;q)_n}{(q,u^2q,bcdu;q)_n}q^nW\left(u^2;au,uq/\lambda,q^{-n};\frac{\lambda q^n}{a}\right)\\
&\qquad+\frac{(bu,cu,du,uq^2/bcd;q)_{\infty}}{(uq/b,uq/c,uq/d,bcdu/q;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q,uq^2/bcd,q^2/bcdu;q)_n}q^nW\left(u^2;au,uq/\lambda,bcduq^{-n-1};\frac{\lambda q^{n+1}}{abcdu}\right)\\
&=\frac{(u^2q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}{(uq/b,uq/c,uq/d,q/bcdu;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(bu,cu,du;q)_n}{(bcdu;q)_n}q^n\sum_{0\leq k}\frac{(u^2,uq,-uq,au,uq/\lambda;q)_k}{(q,u,-u,uq/a,\lambda u;q)_k(u^2q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda}{a}\right)^kq^{\binom k2}\\
&\qquad+\frac{(bu,cu,du,uq^2/bcd;q)_{\infty}}{(uq/b,uq/c,uq/d,bcdu/q;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q;q)_n}q^n\sum_{0\leq k}\frac{(u^2,uq,-uq,au,uq/\lambda;q)_k}{(q,u,-u,uq/a,\lambda u;q)_k(uq^2/bcd;q)_{n+k}(q^2/bcdu;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda}{a}\right)^kq^{\binom k2}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\int_0^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u,bcdu,q/bcdu,uq/b,uq/c,uq/d,\lambda u,\lambda /u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg,bu,cu,du,u^2q,au,a/u;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(u^2;au,bu,cu,du,uq/\lambda;\frac{\lambda q}{abcdu}\right)\,d_qu\\
&=\int_0^g\Bigg(\frac{(q/bc,q/bd,q/cd,uq/f,uq/g,\mu u,bcdu,\lambda u,\lambda /u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg,bu,cu,du,au,a/u;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(bu,cu,du;q)_n}{(bcdu;q)_n}q^n\sum_{0\leq k}\frac{(u^2,uq,-uq,au,uq/\lambda;q)_k}{(q,u,-u,uq/a,\lambda u;q)_k(u^2q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda}{a}\right)^kq^{\binom k2}\\
&\qquad+\frac{(uq/f,uq/g,\mu u,bcdu,q/bcdu,\lambda u,\lambda /u,uq^2/bcd;q)_{\infty}}{(\mu u/fg,u^2q,au,a/u,bcdu/q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q;q)_n}q^n\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(u^2,uq,-uq,au,uq/\lambda;q)_k}{(q,u,-u,uq/a,\lambda u;q)_k(uq^2/bcd;q)_{n+k}(q^2/bcdu;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda}{a}\right)^kq^{\binom k2}\Bigg)\,d_qu\\
&=g\sum_{0\leq j}\frac{(q/bc,q/bd,q/cd,gq^{j+1}/f,q^{j+1},\mu gq^j,bcdgq^j,\lambda gq^j,\lambda q^{-j}/g;q)_{\infty}}{(\mu q^j/f,bgq^j,cgq^j,dgq^j,agq^j,aq^{-j}/g;q)_{\infty}}q^j\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(bgq^j,cgq^j,dgq^j;q)_n}{(bcdgq^{j};q)_n}q^n\sum_{0\leq k}\frac{(1-g^2q^{2j+2k})(g^2q^{2j},agq^j,gq^{j+1}/\lambda;q)_k}{(1-g^2q^{2j})(q,gq^{j+1}/a,\lambda gq^j;q)_k(g^2q^{2j+1};q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda}{a}\right)^kq^{\binom k2}\\
&\qquad+g\sum_{0\leq j}\frac{(gq^{j+1}/f,q^{j+1},\mu gq^j,bcdgq^j,q^{1-j}/bcdg,\lambda gq^j,\lambda q^{-j}/g,gq^{j+2}/bcd;q)_{\infty}}{(\mu q^j/f,g^2q^{2j+1},agq^j,aq^{-j}/g,bcdgq^{j-1};q)_{\infty}}q^j\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q;q)_n}q^n\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-g^2q^{2j+2k})(g^2q^{2j},agq^j,gq^{j+1}/\lambda;q)_k}{(1-g^2q^{2j})(q,gq^{j+1}/a,\lambda gq^j;q)_k(gq^{j+2}/bcd;q)_{n+k}(q^{2-j}/bcdg;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda}{a}\right)^kq^{\binom k2}\\
&=g\frac{(q/bc,q/bd,q/cd,gq/f,q,\mu g,bcdg,\lambda g,\lambda/g;q)_{\infty}}{(\mu/f,bg,cg,dg,ag,a/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(\mu/f;q)_j}{(q,gq/f,\mu g;q)_j}\left(\frac{\lambda q}a\right)^j\sum_{0\leq n}\frac{(bg,cg,dg;q)_{n+j}}{(bcdg;q)_{n+j}}q^n\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-g^2q^{2j+2k})(g^2;q)_{2j+k}(ag,gq/\lambda;q)_{j+k}}{(1-g^2)(q;q)_k(\lambda g,gq/a;q)_{j+k}(g^2q;q)_{n+2j+k}(q;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda}{a}\right)^kq^{\binom k2}\\
&\qquad+g\frac{(gq/f,q,\mu g,bcdg,q/bcdg,\lambda g,\lambda/g,gq^2/bcd;q)_{\infty}}{(\mu/f,gq,ag,a/g,bcdg/q;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(\mu/f;q)_j}{(q,gq/f,\mu g;q)_j}\left(\frac{\lambda}{a}\right)^j\sum_{0\leq n}\frac{(q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q;q)_n}q^n\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-g^2q^{2j+2k})(g^2;q)_{2j+k}(ag,gq/\lambda;q)_{j+k}}{(1-g^2)(q;q)_k(gq/a,\lambda g;q)_{j+k}(gq^{2}/bcd;q)_{n+j+k}(q^{2}/bcdg;q)_{n-k-j}}\left(-\frac{\lambda}{a}\right)^kq^{\binom k2}\\
&=g\frac{(q/bc,q/bd,q/cd,gq/f,q,\mu g,bcdg,\lambda g,\lambda/g;q)_{\infty}}{(\mu/f,bg,cg,dg,ag,a/g;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(\mu/f;q)_j}{(q,gq/f,\mu g;q)_j}\left(-1\right)^jq^{\binom{j+1}2-jk}\\
&\qquad\cdot\sum_{j\leq n}\frac{(bg,cg,dg;q)_{n}}{(bcdg;q)_{n}}q^{n}\sum_{j\leq k}\frac{(1-g^2q^{2k})(g^2;q)_{j+k}(ag,gq/\lambda;q)_{k}}{(1-g^2)(q;q)_{k-j}(\lambda g,gq/a;q)_{k}(g^2q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda}{a}\right)^{k}q^{\binom{k}2}\\
&\qquad+g\frac{(gq/f,q,\mu g,bcdg,q/bcdg,\lambda g,\lambda/g,gq^2/bcd;q)_{\infty}}{(\mu/f,gq,ag,a/g,bcdg/q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(\mu/f;q)_j}{(q,gq/f,\mu g;q)_j}(-1)^jq^{\binom{j+1}2-jk}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q;q)_n}q^n\sum_{j\leq k}\frac{(1-g^2q^{2k})(g^2;q)_{j+k}(ag,gq/\lambda;q)_{k}}{(1-g^2)(q;q)_{k-j}(gq/a,\lambda g;q)_{k}(gq^{2}/bcd;q)_{n+k}(q^{2}/bcdg;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda}{a}\right)^kq^{\binom k2}\\
&=g\frac{(q/bc,q/bd,q/cd,gq/f,q,\mu g,bcdg,\lambda g,\lambda/g;q)_{\infty}}{(\mu/f,bg,cg,dg,ag,a/g;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(bg,cg,dg;q)_{n}}{(bcdg;q)_{n}}q^{n}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-g^2q^{2k})(g^2,ag,gq/\lambda;q)_{k}}{(1-g^2)(q,\lambda g,gq/a;q)_{k}(g^2q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda}{a}\right)^{k}q^{\binom{k}2}\sum_{0\leq j}\frac{(\mu/f,g^2q^k,q^{-k};q)_j}{(q,gq/f,\mu g;q)_j}q^j\\
&\qquad+g\frac{(gq/f,q,\mu g,bcdg,q/bcdg,\lambda g,\lambda/g,gq^2/bcd;q)_{\infty}}{(\mu/f,gq,ag,a/g,bcdg/q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q;q)_n}q^n\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-g^2q^{2k})(g^2,ag,gq/\lambda;q)_{k}}{(1-g^2)(q,gq/a,\lambda g;q)_{k}(gq^{2}/bcd;q)_{n+k}(q^{2}/bcdg;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda}{a}\right)^kq^{\binom k2}\sum_{0\leq j}\frac{(\mu/f,g^2q^k,q^{-k};q)_j}{(q,gq/f,\mu g;q)_j}q^j\\
&=g\frac{(q/bc,q/bd,q/cd,gq/f,q,\mu g,bcdg,\lambda g,\lambda/g;q)_{\infty}}{(\mu/f,bg,cg,dg,ag,a/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(bg,cg,dg;q)_{n}}{(bcdg;q)_{n}}q^{n}\sum_{0\leq k}\frac{(1-g^2q^{2k})(g^2,ag,fg,gq/\lambda,gq/\mu;q)_{k}}{(1-g^2)(q,\lambda g,\mu g,gq/a,gq/f;q)_{k}(g^2q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda\mu}{af}\right)^{k}q^{\binom{k}2}\\
&\qquad+g\frac{(gq/f,q,\mu g,bcdg,q/bcdg,\lambda g,\lambda/g,gq^2/bcd;q)_{\infty}}{(\mu/f,gq,ag,a/g,bcdg/q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q;q)_n}q^n\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-g^2q^{2k})(g^2,ag,af,gq/\lambda,gq/\mu;q)_{k}}{(1-g^2)(q,gq/a,gq/f,\lambda g,\mu g;q)_{k}(gq^{2}/bcd;q)_{n+k}(q^{2}/bcdg;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda\mu}{af}\right)^kq^{\binom k2}
\end{align}
となる. ここで, 最後の等号は
$q$-Saalschützの和公式
による. ここで,
前の記事
で示したVerma-Jainによる展開公式を用いると,
\begin{align}
&g\frac{(q/bc,q/bd,q/cd,gq/f,q,\mu g,bcdg,\lambda g,\lambda/g;q)_{\infty}}{(\mu/f,bg,cg,dg,ag,a/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(bg,cg,dg;q)_{n}}{(bcdg;q)_{n}}q^{n}\sum_{0\leq k}\frac{(1-g^2q^{2k})(g^2,ag,fg,gq/\lambda,gq/\mu;q)_{k}}{(1-g^2)(q,\lambda g,\mu g,gq/a,gq/f;q)_{k}(g^2q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda\mu}{af}\right)^{k}q^{\binom{k}2}\\
&\qquad+g\frac{(gq/f,q,\mu g,bcdg,q/bcdg,\lambda g,\lambda/g,gq^2/bcd;q)_{\infty}}{(\mu/f,gq,ag,a/g,bcdg/q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q;q)_n}q^n\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-g^2q^{2k})(g^2,ag,af,gq/\lambda,gq/\mu;q)_{k}}{(1-g^2)(q,gq/a,gq/f,\lambda g,\mu g;q)_{k}(gq^{2}/bcd;q)_{n+k}(q^{2}/bcdg;q)_{n-k}}\left(-\frac{\lambda\mu}{af}\right)^kq^{\binom k2}\\
&=g\frac{(gq/b,gq/c,gq/d,gq/f,q,\mu g,bcdg,q/bcdg,\lambda g,\lambda/g;q)_{\infty}}{(g^2q,\mu/f,bg,cg,dg,ag,a/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Bigg(\frac{(g^2q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}{(gq/b,gq/c,gq/d,q/bcdg;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(bg,cg,dg;q)_{n}}{(bcdg,g^2q,q;q)_{n}}q^{n} W\left(g^2;ag,fg,gq/\lambda,gq/\mu,q^{-n};\frac{\lambda\mu q^n}{af}\right)\\
&\qquad+\frac{(bg,cg,dg,gq^2/bcd;q)_{\infty}}{(gq/b,gq/c,gq/d,bcdg/q;q)_{\infty}}\\
&\qquad\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q,gq^2/bcd,q^2/bcdg;q)_n}q^nW\left(g^2;ag,fg,gq/\lambda,gq/\mu,bcdgq^{-n-1};\frac{\lambda\mu q^{n+1}}{abcdfg}\right)\Bigg)\\
&=g\frac{(gq/b,gq/c,gq/d,gq/f,q,\mu g,bcdg,q/bcdg,\lambda g,\lambda/g;q)_{\infty}}{(g^2q,\mu/f,bg,cg,dg,ag,a/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(g^2;bg,cg,dg,ag,fg,gq/\lambda,gq/\mu;\frac{\lambda \mu q}{abcdfg}\right)
\end{align}
よって,
\begin{align}
&\frac{2\pi(\mu/f,\mu/g;q)_{\infty}}{g(q,q,gq/f,f/g,fg,bc,bd,cd,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\int_0^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u,bcdu,q/bcdu,uq/b,uq/c,uq/d,\lambda u,\lambda /u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg,bu,cu,du,u^2q,au,a/u;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(u^2;au,bu,cu,du,uq/\lambda;\frac{\lambda q}{abcdu}\right)\,d_qu\\
&=\frac{2\pi(\mu/f,\mu/g;q)_{\infty}}{g(q,q,gq/f,f/g,fg,bc,bd,cd,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot g\frac{(gq/b,gq/c,gq/d,gq/f,q,\mu g,bcdg,q/bcdg,\lambda g,\lambda/g;q)_{\infty}}{(g^2q,\mu/f,bg,cg,dg,ag,a/g;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(g^2;bg,cg,dg,ag,fg,gq/\lambda,gq/\mu;\frac{\lambda \mu q}{abcdfg}\right)\\
&=\frac{2\pi(bcdg;q)_{\infty}}{(q,bc,bd,cd,bg,cg,dg;q)_{\infty}}\frac{(gq/b,gq/c,gq/d,q/bcdg,\lambda g,\lambda/g,\mu g,\mu/g;q)_{\infty}}{(g^2q,q/bc,q/bd,q/cd,ag,a/g,f/g,fg;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(g^2;bg,cg,dg,ag,fg,gq/\lambda,gq/\mu;\frac{\lambda \mu q}{abcdfg}\right)
\end{align}
$f,g$に関する対称性から,
\begin{align}
&-\frac{2\pi(\mu/f,\mu/g;q)_{\infty}}{g(q,q,gq/f,f/g,fg,bc,bd,cd,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\int_0^f\frac{(uq/f,uq/g,\mu u,bcdu,q/bcdu,uq/b,uq/c,uq/d,\lambda u,\lambda /u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg,bu,cu,du,u^2q,au,a/u;q)_{\infty}}\\
&=\frac{2\pi(bcdf;q)_{\infty}}{(q,bc,bd,cd,bf,cf,df;q)_{\infty}}\frac{(fq/b,fq/c,fq/d,q/bcdf,\lambda f,\lambda/f,\mu f,\mu/f;q)_{\infty}}{(f^2q,q/bc,q/bd,q/cd,af,a/f,g/f,fg;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(f^2;bf,cf,df,af,fg,fq/\lambda,fq/\mu;\frac{\lambda \mu q}{abcdfg}\right)
\end{align}
も得られる. これらを足し合わせると,
\begin{align}
&S(a,b,c,d,f,g;\lambda,\mu)\\
&=K\frac{(q/abcd,aq/b,aq/c,aq/d,\lambda a,\lambda /a,a\mu,\mu/a;q)_{\infty}}{(a^2q,q/bc,q/bd,q/cd,af,f/a,ag,g/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(a^2;ab,ac,ad,af,ag,aq/\lambda,aq/\mu;\frac{\lambda\mu q}{abcdfg}\right)+\mathrm{idem}(a;f,g)
\end{align}
となって$n=2$の場合が示された. 一般の場合も$n$に関する帰納法を用いて全く同様の議論により示される.
この証明の途中における等式
\begin{align}
&S(a,b,c,d,f,g;\lambda,\mu)\\
&=\frac{(\mu/f,\mu/g;q)_{\infty}}{g(q,gq/f,f/g,fg;q)_{\infty}}\int_f^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg;q)_{\infty}}\,d_qu\\
&\qquad\cdot\bigg(\frac{(abcd,q/abcd,aq/b,aq/c,aq/d,\lambda a,\lambda /a;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd,a^2q,q/bc,q/bd,q/cd,au,u/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\qquad\cdot W\left(a^2;ab,ac,ad,au,aq/\lambda;\frac{\lambda q}{abcdu}\right)+\mathrm{idem}(a;u)\bigg)\\
\end{align}
において, 第1項の$q$積分は係数を除いて,
\begin{align}
&\int_f^g\frac{(uq/f,uq/g,\mu u;q)_{\infty}}{(\mu u/fg,au,u/a;q)_{\infty}}W\left(a^2;ab,ac,ad,au,aq/\lambda;\frac{\lambda q}{abcdu}\right)\,d_qu\\
&=g\sum_{0\leq n}\frac{(gq^{n+1}/f,q^{n+1},\mu gq^n;q)_{\infty}}{(\mu q^n/f,agq^n,gq^n/a;q)_{\infty}}q^nW\left(a^2;ab,ac,ad,agq^n,aq/\lambda;\frac{\lambda q^{1-n}}{abcdg}\right)\\
&\qquad-f\sum_{0\leq n}\frac{(fq^{n+1}/g,q^{n+1},\mu fq^n;q)_{\infty}}{(\mu q^n/g,afq^n,fq^n/a;q)_{\infty}}q^nW\left(a^2;ab,ac,ad,afq^n,aq/\lambda;\frac{\lambda q^{1-n}}{abcdf}\right)
\end{align}
となるが,
\begin{align}
W\left(a^2;ab,ac,ad,agq^n,aq/\lambda;\frac{\lambda q^{1-n}}{abcdg}\right)
\end{align}
は$n$が大きいとき級数としては発散してしまう. しかし, 上の証明においてはそれを級数展開して$q$積分と級数を入れ替えて計算されているという問題がある. 同様の問題は$q$積分の第2項においても生じている. 定理1の$n=2$の場合はNassrallah-RahmanによってVerma-Jainより前に別の証明が与えられており, 定理1自体は正しいと思われるが, 証明を上手く正当化する方法はあるだろうか.
