最近乗法的微分積分についてちょくちょく考えているので備忘録的な扱いです。
割と殴り書きですし、言及も疎かであるうえ、随時更新されるものです。
ご了承ください。
(乗法的積分可能性について$f$の条件を考え中....)
$\prod_a^b f(x)^{dx}$を$f(x)$の乗法的積分といい,
$\prod_a^b f(x)^{dx}\coloneqq \lim_{\Delta x\rightarrow0}\prod f(x_i)^{\Delta x} =\exp\left(\int_a^b\log f(x)\,dx\right)$
リーマン積分が離散的な総和を連続に繋げるモノとして扱えることから、乗法的積分は離散的な総乗を連続に繋げるモノといえますね(多分).
(また, そのことに対する直接的な有用性はイマイチ....)
$a,b,c\in\mathbb{R} \,\land\,c>0 $のとき,
$\prod_a^b c^{dx}=c^{b-a}$
リーマン積分における定数関数の定積分と同じ様を感じます.
$\prod_a^b c^{dx}=\exp\left(\int_a^b\log{c}\,dx\right)=\exp\left(b\log{c}-a\log{c}\right)=c^{b-a}$
$\prod_a^b\left(f(x)^k\right)^{dx}=\left(\prod_a^b f(x)^{dx}\right)^k$
リーマン積分におけるスカラー倍に対応するんでしょう.
$\prod_a^b\left(f(x)^k\right)^{dx}=\exp\left(\int_a^b\log\{f(x)\}^k\,dx\right)=\exp\left(k\int_a^b\log{f(x)}\,dx\right)$
$=\left\{\exp\left(\int_a^b\log{f(x)}\,dx\right)\right\}^k=\left(\prod_a^bf(x)^{dx}\right)^k$
$\prod_a^b\left(c^{f(x)}\right)^{dx}=c^{\int_a^b f(x)\,dx}$
これはなんだか意外に感じます.
積が指数の和になるということが, 乗法的積分(積)とリーマン積分(和)で対応していると捉えられる.
(餃子n人前さんの指摘より. ありがとうございます！)
$\prod_a^b\left(c^{f(x)}\right)^{dx}=\exp\left(\int_a^b\log{c^{f(x)}}\,dx\right)=\exp\left(\log{c}\int_a^b f(x)\,dx\right)=c^{\int_a^b f(x)\,dx}$
前もって, $f(x)$を乗法的積分をするのはそこまで難しくはなくて,
$\log{f(x)}$ の積分ができれば良いのですが, 真数条件から$f(x)>0$が必要になります.
なので, とりあえず特別書かない限り$0< a< b$とします
$f(x)=x$のとき
$\prod_a^bf(x)^{dx}=\exp\left(\int_a^b \log{x}\,dx\right)=\exp{(b\log{b}-b-a\log{a}+a)}=\frac{b^be^a}{a^ae^b}$
考え中....
$\prod_a^b f^{\ast}(x)^{dx}=\frac{f(b)}{f(a)}$
普通の微分積分は'和'を連続に考えるという概念だったのに対して, 乗法的微分積分は'積'の連続を考えているのでなんとなく計算のレベル(?)が一段階上がってるような感覚です.
そう考えると, '引き算'から'割り算'になったのはしっくりきます.
考え中....
拙い文, 式変形で申し訳ないです。
これになにか良い意味を見出せたらいいなぁ....
あわよくば研究対象にしてもいいかも
というか絶対不備あるので気づいたことがあればぜひ教えてください！