yahoo知恵袋でco_********さんが 3n-1 の計算で楽しんでいて自動計算サイトを探していた質問に、Flying Oldmanさんのサイトが紹介されていました。そのサイトは【3n－1問題（3n+1問題コラッツ予想パロディ）】として、 奇数は 3n-1 して、偶数は２で割り算すると、与えられた負の整数が -1 に収束している（証明はなし）と述べられていた。
フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』で複素数領域まで拡張しており、3n+1の負の正数域では循環シーケンスの例も挙げられていました。
例 −5, −14, −7, −20, −10, −5
3n-1系の正の整数域と3n+1の負の正数域は表裏の関係になるで有ろうと思われるので3n-1の正の整数域の循環シーケンスの例は逆数が解であると思われる。
例 5, 14, 7, 20, 10, 5
で有るので、循環シーケンスになる。
他にも例を挙げると、
$3n+1$システムにおける遷移の流れを挙げると、
６→ ３→ １０→ ５→ １６→ ８→ ４→ ２→ １
ー６→ー３→ ー８→ー４→ ー２→ ー１
$3n-1$システムにおける遷移の流れを挙げると、
６→ ３→ ８→ ４→ ２→ １
ー６→ー３→ー１０→ー５→ー１６→ー８→ー４→ー２→ー１
$3n+1$システムと $3n-1$システムで正数と負数で対象になる。
であるから$3n+1$システムの負数域では-1に収束せず、$3n-1$システムでも正数域では+1に収束しないことが分かりました。それ故に【コラッツ予想を肯定する証明】で使用した証明方法で証明できると思われる。
コラッツ演算を次のように定義する。
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{m}^{ \pm o }= \frac{a_{m}^{ \pm e }}{2^{n_m}}\cdots \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (a_{m}^{ \pm e}が定義されているとき) a_{m}^{ \pm e }=0 \pmod{2} n_m:max(n=\frac{a_{m}^{ \pm e }}{{2^{n_m}}} \in N) \\ a_{m+1}^{ \pm o}= 3a_{m}^{ \pm o} \pm 1 \cdots (a_{m}^{ \pm o}が定義されているとき)a_{m}^{ \pm o }=1 \pmod{2} \end{array} \right. \end{eqnarray} $
つまり、偶数演算が要求された場合、偶数演算は、一度要求されたら奇数になるまで$n_m$ 回実行されます。このように定義すると、奇数 と偶数 に分けることができる。 ただし、偶数演算の初回は $n_1$、以下$n_2,n_3, \cdots$ などとする。
又、$a_{m}^{ \pm o }$は$ a_{m}^{ + o }$ は正の整数の奇数を、$a_{m}^{ -o } $は負の正数の奇数を表す。
同様に、$a_{m}^{ \pm e }$は$ a_{m}^{ + e }$ は正の整数の偶数を、$a_{m}^{ -e} $は負の正数の偶数を表す。
この定義に基づいて、奇数演算の回数 $m$ と偶数演算の回数$n_m$を変数とし一般式を定義する。与えられた最初の奇数自然数を$a_1^{ \pm o}$とし、偶数自然数を$a_1^{ \pm e}$とする。Collatz m 回で指定された奇数演算を繰り返した結果は、$a_m^{ \pm o}$ と$a_m^{ \pm e}$になります。
但し、等式は良いが不等式は大小関係が逆転するので個別に議論する。
初めに与えられた自然数が偶数の場合
$a_{1}^{ \pm o}= \frac{a_1^{ \pm e}}{2^{n_1}} $
ここで ${n_1}$ は変数で ${n_1} \geq 1$ で、奇数になるまで 2 で偶数演算されます。次に奇数演算が行われ、
$a_{2}^{ \pm e}= 3a_{1}^{ \pm o} \pm 1$
結果として、
$a_{2}^{ \pm e}= \frac{3}{2^{n_1}}a_{1}^{ \pm e}\pm 1$
その後、コラッツ演算が繰り返えされ、一般項は、
$a_{m}^{ \pm e}=(3^{m-1}a_{1}^{ \pm e} \pm 3^{m-2}k_1\pm3^{m-3}k_2\pm \cdots\pm3^1k_{m-2}\pm k_{m-1})/k_{m-1}$ （１）
但し、 $k_{m}=2^{ \sum_{i=0}^{m}n_i}$
とする。但し(1)式で右辺±上側の＋は3n+1 のシステムで、下側のーは3n-1 のシステムで有り、以下同様に上が3n+1 のシステムで、下が3n-1 のシステムとして取り扱う。
$a_{m}^{ \pm e}$と$a_{m-1}^{ \pm e}$の関係は、
$a_{m}^{ \pm e}= \frac{3}{2^{n_{m-1}}}a_{m-1}^{ \pm e} \pm 1 $
$a_{m}^{ \pm e}=a_{1}^{ \pm e}$ と仮定すると、
$a_{1}^{ \pm e}= \frac{3}{2^{n_{m-1}}}a_{m-1}^{ \pm e}\pm 1 $
$a_{1}^{ \pm e}=\pm2,\pm4,\pm2^n$の場合、奇数演算が一度も行われづ１になりコラッツ演算は停止するので、$a_{1}^{ + e} \geq + 6$と、$a_{1}^{ - e} \leq - 6$でなくてはならない。
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{2^{n_{m-1}}}a_{m-1}^{ + e}+1 \geq 6 \\ \frac{3}{2^{n_{m-1}}}a_{m-1}^{ - e}+1 \leq - 6 \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{2^{n_{m-1}}}a_{m-1}^{ + e} \geq 5 \\ \frac{3}{2^{n_{m-1}}}a_{m-1}^{ - e} \leq -7 \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{m-1}^{ + e} \geq\frac{5 \times 2^{n_{m-1}}}{3}\\ a_{m-1}^{ \pm e} \leq -\frac{-7 \times 2^{n_{m-1}}}{3} \end{array} \right. \end{eqnarray} $
で、(１)式から、
$a_{m-1}^{ \pm e}=\frac{3^{m-2}}{k_{m-2}}a_1^{ \pm e}\pm\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} \pm \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} \pm \cdots\pm \frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} \pm1$
で有るので、
$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{m-1}^{ + e}=\frac{3^{m-2}}{k_{m-2}}a_1^{ + e}+\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} + \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} + \cdots\ + \frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} +1\geq \frac{5 \times
2^{n_{m-1}}}{3} \\
a_{m-1}^{ - e}=\frac{3^{m-2}}{k_{m-2}}a_1^{ - e}-\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} - \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} - \cdots- \frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} -1 \leq \frac{-7 \times
2^{n_{m-1}}}{3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{3^{m-2}}{k_{m-2}}a_1^{ + e}\geq \frac{5 \times 2^{n_{m-1}}}{3} - (\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} + \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} + \cdots + \frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} +1 ) \\ -\frac{3^{m-2}}{k_{m-2}}a_1^{ - e} \leq \frac{-7 \times 2^{n_{m-1}}}{3} + (\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} + \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} + \cdots+ \frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} -1 ) \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_1^{ + e}\geq \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}\frac{5 \times 2^{n_{m-1}}}{3} - \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}(\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} + \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} + \cdots+ \frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} +1 ) \\ -a_1^{ - e} \leq \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}\frac{-7 \times 2^{n_{m-1}}}{3} + \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}(\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} - \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} - \cdots- \frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} -1 ) \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_1^{ + e}\geq \frac{5k_{m-1}}{3^{m-1}}- (\frac{3^{m-1}k_1}{3^{m-2}} + \frac{3^{m-4}k_2}{3^{m-2}} + \cdots + \frac{3^1k_{m-3}}{3^{m-2}} + \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}} ) \\ -a_1^{ - e} \leq \frac{-7k_{m-1}}{3^{m-1}} + (\frac{3^{m-3}k_1}{3^{m-2}} - \frac{3^{m-4}k_2}{3^{m-2}} - \cdots+\frac{3^1k_{m-3}}{3^{m-2}} - \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}} ) \end{array} \right. \end{eqnarray} $
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_1^{ + e}\geq \frac{5k_{m-1}}{3^{m-1}}- (3k_1 + 3^2k_2 + \cdots + \frac{3^{m-3}k_{m-3}}{3^{}} + \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}} ) \\
-a_1^{ - e} \leq \frac{-7k_{m-1}}{3^{m-1}} + (\frac{3^{m-3}k_1}{3^{m-2}} - \frac{3^{m-4}k_2}{3^{m-2}} - \cdots+\frac{3^1k_{m-3}}{3^{m-2}} - \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}} )
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $
$a_{1}^{ + e} \geq + 6$と、$a_{1}^{ - e} \leq - 6$で有るので、両辺を引く、または足すと、
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 0\geq6-(\frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}\frac{5 \times 2^{n_{m-1}}}{3} - \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}(\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} + \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} + \cdots+\frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} +1 )) \\ 0 \leq -6- (\frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}\frac{-7 \times 2^{n_{m-1}}}{3} \mp \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}(\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} \pm \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} \pm \cdots\pm \frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} \pm1 ) ) \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 0\geq6-\frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}\frac{5 \times 2^{n_{m-1}}}{3} -(\mp \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}(\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} \pm \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} \pm \cdots\pm \frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} \pm1 )) \\ 0 \leq -6-\frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}\frac{-7 \times 2^{n_{m-1}}}{3}- ( \mp \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}(\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} \pm \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} \pm \cdots\pm \frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} \pm1 ) ) \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 0\geq( \frac{2 \times k_{m-2}-}{3^{m-2}}\frac{5 \times 2^{n_{m-1}}}{} )-(\mp \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}(\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} \pm \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} \pm \cdots\pm \frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} \pm1 )) \\ 0 \leq (-6-\frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}\frac{-7 \times 2^{n_{m-1}}}{3})- ( \mp \frac{k_{m-2}}{3^{m-2}}(\frac{3^{m-3}k_1}{k_{m-2}} \pm \frac{3^{m-4}k_2}{k_{m-2}} \pm \cdots\pm \frac{3^1k_{m-3}}{k_{m-2}} \pm1 ) ) \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$0\geq \pm6-\frac{5 \times k_{m-2} }{3^{m-1}} \pm (\frac{3^{m-3}k_1}{3^{m-2}} \pm \frac{3^{m-4}k_2}{3^{m-2}} \pm \cdots\pm \frac{3^1k_{m-3}}{3^{m-2}} \pm\frac{k_{m-2}}{3^{m-2}} )$
$0\geq \frac{\pm6\times3^{m-1}-5 \times k_{m-2} }{3^{m-1}} \pm (\frac{3^{m-3}k_1}{3^{m-2}} \pm \frac{3^{m-4}k_2}{3^{m-2}} \pm \cdots\pm \frac{3^1k_{m-3}}{3^{m-2}} \pm\frac{k_{m-2}}{3^{m-2}} )$
$0\geq \frac{\pm2\times3^{m}-5 \times k_{m-2} }{3^{m-1}} \pm (\frac{3^{m-3}k_1}{3^{m-2}} \pm \frac{3^{m-4}k_2}{3^{m-2}} \pm \cdots\pm \frac{3^1k_{m-3}}{3^{m-2}} \pm\frac{k_{m-2}}{3^{m-2}} )$
$ \mp (\frac{3^{m-3}k_1}{3^{m-2}} \pm \frac{3^{m-4}k_2}{3^{m-2}} \pm \cdots\pm \frac{3^1k_{m-3}}{3^{m-2}} \pm\frac{k_{m-2}}{3^{m-2}} \geq \frac{\pm2\times3^{m}-5 \times k_{m-2} }{3^{m-1}} $
$\frac{\pm2\times3^{m}-5 \times k_{m-2} }{3^{m-1}} \leq 0 $及び、$\frac{\pm2\times3^{m}-5 \times k_{m-2} }{3^{m-1}} = \pm2j $でなければならないが、$\pm2j \geq 0$で有るので、$a_{m}^{ \pm e}=a_{1}^{ \pm e}$ とする仮定は背理し、$a_{m}^{ \pm e}= \neq a_{1}^{ \pm e}$で有るので、コラッツ演算による循環数列は無い。
(1)式でm→∞ とすると、
$ \lim_{m \to \infty}a_{m}^{ \pm e}= \lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}a_{1}^{ \pm e}}{k_{m-1}}\pm \lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-2}k_1}{k_{m-1}}\pm\lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-3}k_2}{k_{m-1}}
\pm \cdots\pm\lim_{m \to \infty} \frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1})}\pm1 $
右辺第一項は
$ \lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}a_{1}^{ \pm e}}{k_{m-1}}= \lim_{m \to \infty}\frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}a_{1}^{ \pm e}$
$\lim_{m \to \infty}\frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}=\lim_{m \to \infty}( \frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}} \times\frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}} \times \cdots \times\frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}})$
とすると、
$\sqrt[m-1]{k_{m-1}} = \sqrt[m-1]{2^{ \sum_{i=0}^{m-1}n_i}}\geq 2^{m-1}$で有るから、
$\lim_{m \to \infty}\frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}} \leq \lim_{m \to \infty}\frac{3}{ \sqrt[m-1]{2^{m-1}}}=\lim_{m \to \infty}(\frac{3}{2})=\frac{3}{2}$
よって、
$\lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}a_{1}^{ \pm e} \leq \pm (\frac{3}{2})^\infty a_{1}^{ \pm e}$
である。左右が等しい場合は、コラッツ偶数演算での割り算全てが1回でなければならない。よって、$2^{ \sum_{i=0}^{m-1}n_i}=2^{m-1}$であるから、
$a_{m}^{ \pm e}=\frac{3^{m-1}}{2^{m-1}}a_1^{ \pm e}\pm\frac{3^{m-2}2}{2^{m-1}} \pm \frac{3^{m-3}2^2}{2^{m-1}} \pm \cdots\pm \frac{3^12^{m-2 }}{2^{m-1}} \pm1$
$a_{m}^{ \pm e}=\frac{3^{m-1}}{2^{m-1}}a_1^{ \pm e}\pm\frac{3^{m-2}}{2^{m-2}} \pm \frac{3^{m-3}}{2^{m-3}} \pm \cdots\pm \frac{3^1}{2} \pm1$
$\mp\frac{3^{m-1}}{2^{m-1}}a_1^{ \pm e}=\mp a_{m}^{ \pm e}\pm\frac{3^{m-2}}{2^{m-2}} \pm \frac{3^{m-3}}{2^{m-3}} \pm \cdots\pm \frac{3^1}{2} \pm1$
$\mp a_1^{ \pm e}=\frac{2^{m-1}}{3^{m-1}}(\mp a_{m}^{ \pm e}\pm\frac{3^{m-2}}{2^{m-2}} \pm \frac{3^{m-3}}{2^{m-3}} \pm \cdots\pm \frac{3^1}{2} \pm1)$
$\mp a_1^{ \pm e}=\mp\frac{2^{m-1}}{3^{m-1}} a_{m}^{ \pm e}+\frac{2^{m-1}}{3^{m-1}}(\pm\frac{3^{m-2}}{2^{m-2}} \pm \frac{3^{m-3}}{2^{m-3}} \pm \cdots\pm \frac{3^1}{2} \pm1)$
$\mp a_1^{ \pm e}=\mp\frac{2^{m-1}}{3^{m-1}} a_{m}^{ \pm e}+\frac{2^{m-1}}{3^{m-1}}(\pm\frac{3^{m-2}}{2^{m-2}} \pm \frac{3^{m-3}}{2^{m-3}} \pm \cdots\pm \frac{3^1}{2} \pm1)$$\cdots$(2)
又、$ m\rightarrow m-1$として、
$a_{m+1}^{ \pm e}=\frac{3^{m}}{2^{m}}a_1^{ \pm e}\pm\frac{3^{m-1}2}{2^{m}} \pm \frac{3^{m-3}2^2}{2^{m}} \pm \cdots\pm \frac{3^12^{m-1 }}{2^{m}} \pm1$
$\mp\frac{3^{m}}{2^{m}}a_1^{ \pm e}=\mp a_{m+1}^{ \pm e}\pm\frac{3^{m-1}2}{2^{m}} \pm \frac{3^{m-3}2^2}{2^{m}} \pm \cdots\pm \frac{3^12^{m-1 }}{2^{m}} \pm1$
$\mp a_1^{ \pm e}=\mp\frac{2^{m}}{3^{m}} a_{m+1}^{ \pm e}\mp\frac{2^{m}}{3^{m}}(\pm\frac{3^{m-1}2}{2^{m}} \pm \frac{3^{m-3}2^2}{2^{m}} \pm \cdots\pm \frac{3^12^{m-1 }}{2^{m}} \pm1)$$\cdots$(3)
$\mp a_1^{ \pm e}=\mp\frac{2^{m-1}}{3^{m-1}} a_{m}^{ \pm e}+\frac{2^{m-1}}{3^{m-1}}(\pm\frac{3^{m-2}}{2^{m-2}} \pm \frac{3^{m-3}}{2^{m-3}} \pm \cdots\pm \frac{3^1}{2} \pm1)$$\cdots$(2)
(2)式と(3)式を比べると、
$ \mp\frac{2^{m}}{3^{m}} a_{m+1}^{ \pm e}\mp\frac{2^{m}}{3^{m}}(\pm\frac{3^{m-1}2}{2^{m}} \pm \frac{3^{m-3}2^2}{2^{m}} \pm \cdots\pm \frac{3^12^{m-1 }}{2^{m}} \pm1)=\mp\frac{2^{m-1}}{3^{m-1}} a_{m}^{ \pm e}+\frac{2^{m-1}}{3^{m-1}}(\pm\frac{3^{m-2}}{2^{m-2}} \pm \frac{3^{m-3}}{2^{m-3}} \pm \cdots\pm \frac{3^1}{2} \pm1) $
$ \mp\frac{2^{m}}{3^{m}} a_{m+1}^{ \pm e}\mp\frac{2^{m}}{3^{m}}(\pm\frac{3^{m-1}2}{2^{m}} \pm \frac{3^{m-3}2^2}{2^{m}} \pm \cdots\pm \frac{3^12^{m-1 }}{2^{m}} \pm1)=\mp\frac{2^{m-1}}{3^{m-1}} a_{m}^{ \pm e}+\frac{2^{m-1}}{3^{m-1}}(\pm\frac{3^{m-2}}{2^{m-2}} \pm \frac{3^{m-3}}{2^{m-3}} \pm \cdots\pm \frac{3^1}{2} \pm1) $
$a_{1}^{ \pm e}$ $a_{m}^{ \pm e}$
であるので、
$\lim_{m \to \infty}a_{mk}^e \lt \pm \infty $
で、$a_{m}^e$ は有限である。
２節(循環なし)と３節(発散なし)の結果からの鳩ノ巣原理によりCollatz演算は停止しなければならない、よって$3n+1$のシステムは 1 に、$3n-1$のシステムは -1 に収束する。以上によりコラッツ予想を自然数から整数に拡張できた。