OMC263-Bをtan置換で解く

どうも、SuamaXです。
先日行われたOMC263にて出題されたB問題にて、tan置換により解く方法を発見しました。
実際にこの解法で答えを出せたのはコンテスト後ですが、公式の解説やユーザー解説とは違う手法であったため、せっかくなので公開します。

TeXに不慣れなため、少し読みにくい点があるかもしれません。ご容赦ください。

引用: https://onlinemathcontest.com/contests/omc263/tasks/14959

解答

$$ \begin{gather} a_n=\frac{i}{\tan\theta_n} \end{gather} $$
と置換する。2つ目の条件の右辺を整理すると、
$$ \begin{gather} a_n+\frac{1}{a_n} =\frac{i}{\tan\theta_n}-i\tan\theta_n =\frac{i(1-\tan^2\theta_n)}{\tan\theta_n} =\frac{2i(1-\tan^2\theta_n)}{2\tan\theta_n} =\frac{2i}{\tan(2\theta_n)} \end{gather} $$
となる。よって、漸化式は
$$ \begin{gather} \frac{i}{\tan\theta_{n+1}}=\frac{i}{\tan(2\theta_n)} \\ \\ {\tan\theta_{n+1}}={\tan(2\theta_n)} \end{gather} $$
と表すことができる。

この漸化式を元に、1つ目の条件の左辺を展開すると
$$ \begin{gather} \prod_{k=2}^{9}\left(1+\frac{1}{a_k}\right) =\prod_{k=2}^{9}(1-i\tan(\theta_k)) =\prod_{k=2}^{9}\bigl(1-i\tan(2^{k-1}\theta_1)\bigr) \end{gather} $$
ここで、
$$ \begin{gather} 1-i\tan x=\frac{\cos x-i\sin x}{\cos x}=\frac{e^{-ix}}{\cos x} \end{gather} $$
であるから、
$$ \begin{gather} \prod_{k=2}^{9}\left(1+\frac{1}{a_k}\right) =\, \prod_{j=1}^{8}\frac{e^{-i\sum_{k=2}^{9}2^{k-1}\theta_1}}{\cos(2^{j}\theta_1)} =\, \prod_{j=1}^{8}\frac{e^{-510i\theta_1}}{\cos(2^{j}\theta_1)} =\, \prod_{j=1}^{8}\frac{e^{-510i\theta_1}\sin(2\theta_1)}{\sin(2\theta_1)\cos(2^{j}\theta_1)} =\, \frac{2^8e^{-510i\theta_1}\sin(2\theta_1)}{\sin(2^{9}\theta_1)} \\ \\ \because\ \sin(x)\cos(x) =\, \frac{2}{\sin(2x)} \text{を繰り返し分母に用いればよい} \end{gather} $$
次に、右辺は
$$ \begin{gather} 10(1+a_{10}) =10\,\frac{1-i\tan\theta_{10}}{-i\tan\theta_{10}} =10\,\frac{1-i\tan(2^9\theta_1)}{-i\tan(2^9\theta_1)} =10\,\frac{e^{-512i\theta_1}}{-i\sin(2^9\theta_1)} \end{gather} $$
したがって、
$$ \begin{gather} \frac{2^8e^{-510i\theta_1}\sin(2\theta_1)}{\sin(2^9\theta_1)} =10\,\frac{e^{-512i\theta_1}}{-i\sin(2^9\theta_1)} \\ \\ 128\sin(2\theta_1)=5\,ie^{-i2\theta_1} \\ \\ 128\sin(2\theta_1)=5(i\cos(2\theta_1)+\sin(2\theta_1)) \\ \\ 123\sin(2\theta_1)=5i\cos(2\theta_1) \\ \\ \frac{i}{\tan(2\theta_1)}=a_2=\frac{123}{5} \end{gather} $$
を得る。2つ目の条件に代入して、
$$ \begin{gather} \frac{246}{5}=a_1+\frac{1}{a_1} \\ \\ a_1^2-\frac{246}{5}a_1+1=0 \\ \\ a_1=\frac{123}{5}\pm\sqrt{\left(\frac{123}{5}\right)^2-1} \end{gather} $$
より、$a_1$の総和は$\frac{246}{5}$であり、答えるべき値は$246+5=251.$