e =1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+…… の証明
ネイピア数$e$についての以下の等式を示す。
(マクローリン展開での証明が一般的。)
$$e=\sum_{k=0}^{∞} \frac{1}{ k! } = 1+ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots \cdots $$
数列$a_{n}$,$b_{n}$を次のように定める。
$$a_{n}= \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} b_{n} =\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{ k ! } (n =3,4,5\cdots )$$
$$b_{n} =\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{ k ! }\leq 2 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{ 2^{k} } \leq 3 $$
より、$b_{n} $は収束する。
$$a_{n}=1+{}_n \mathrm{ C }_1\left( \frac{1}{n} \right)+\sum_{k=2}^{n}{}_n \mathrm{ C }_k\left( \frac{1}{n} \right)^{k}$$
$$
=2 + \sum_{k=2}^{n} \frac{ n !}{ k!(n - k)!} \left( \frac{1}{n} \right)^{k}
$$
$$
=2 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!} n(n-1)(n-2) \cdot \cdot \cdots (n-(k-1)) \cdot \left( \frac{1}{n} \right)^{k}
$$
$$
=2 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 2}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n - (k-1)}{n}
$$
$$
=2 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!} \left( 1- \frac{1}{n} \right)\left( 1- \frac{2}{n} \right) \cdot \cdot \cdots\left( 1- \frac{k-1}{n} \right) \rightarrow①
$$
$$ 0 \lt 1-\frac{1}{n},1-\frac{2}{n} , \cdots ,1-\frac{k-1}{n} \lt 1 \rightarrow② $$
なので、
$$ a_{n} = (①の式) \leq 2 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} =b_{n} $$
から、$a_{n} $$\leq$$b_{n} $ $\rightarrow③$
0$\lt x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{m} \lt$1 のとき、次が成り立つ。($m$は自然数 )
$$1-(x_{1} + x_{2}+ \cdots +x_{m}) \leq (1-x_{1})(1-x_{2}) \cdot \cdot \cdots(1-x_{m}) $$
[証明]
$m$=1 のとき、 1$-$$x_{1}$$\leq$1$-$$x_{1}$ となり成立する。
$m$=$s$ のとき、成立すると仮定する。
$$(1-x_{1})(1-x_{2}) \cdot \cdot \cdots(1-x_{s})(1-x_{s+1}) $$ $$=(1-x_{1})(1-x_{2}) \cdot \cdot \cdots(1-x_{s}) - x_{s+1}(1-x_{1})(1-x_{2}) \cdot \cdot \cdots(1-x_{s}) $$
$$
\geq1-(x_{1} + x_{2}+ \cdots +x_{s})- x_{s+1}(1-x_{1})(1-x_{2}) \cdot \cdot \cdots(1-x_{s})
$$
$$
\geq1-(x_{1} + x_{2}+ \cdots +x_{s})- x_{s+1}
$$
$$
=1-(x_{1} + x_{2}+ \cdots +x_{s}+x_{s+1})
$$
したがって、数学的帰納法より補題１が示された。
$②$と、補題１から
$$ a_{n} = (①の式) \geq 2 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!} \left(1- \left( \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \cdots + \frac{k-1}{n} \right)\right) $$
$$
= 2 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!} \left( 1- \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2}k(k-1) \right)
$$
$$
=2 + \left( \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!}\right)- \frac{1}{2n} \left( \sum_{k=2}^{n} \frac{k(k-1)}{k!} \right)
$$
$$
= \left( \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\right)- \frac{1}{2n} \left( \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-2)!} \right)
$$
$$
\geq\left( \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\right)- \frac{1}{2n} \left( \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \right)
$$
$$
= \left( 1- \frac{1}{2n} \right)\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}
$$
$$
=\left( 1- \frac{1}{2n} \right)b_{n}
$$
したがって、$$a_{n}\geq
\left( 1- \frac{1}{2n} \right)b_{n} \rightarrow④
$$
$③,④$から、
$$\left( 1- \frac{1}{2n} \right)b_{n} \leq a_{n} \leq b_{n}$$
ここで、$n$$\rightarrow$∞ とする。$b_{n}$が収束することから、
はさみうちの原理により、$$\lim_{n \to \infty} a_{n}=\lim_{n \to \infty} b_{n}$$
が成立する。
$$ \lim_{n \to \infty}a_{n} =e $$であるから、題意は示された。
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