コラッツ順序の導入とコラッツ予想に関する概念の言い換えを少し

はじめに

コラッツ予想に関連する記事ですが、証明ではありません。

コラッツ順序を導入する。
コラッツ予想の操作(コラッツ操作と呼ぶことにする。)を振り返る。

コラッツ操作

自然数$n\in \mathbb{N}$($0$を含まない)に対して$n$が偶数なら$÷2$、奇数なら$×3+1$すること。

これから、順序を作る。

コラッツ順序

$a$にたいしてコラッツ操作を繰り返して$b$を作れたら$b≦a$

こうしてできた順序を使ってみる。
コラッツ順序は前順序である。
コラッツ操作を繰り返しおこなうと同じ数を繰り返すとき、それをループという、
ループをコラッツ順序であらわしてみる、

ループ

$a≦b \land b≦a \land a\neq b$

と表せる。まあ、わかりずらいので、aとbがおなじでないのに不等号が入れ替えられるのはループするときだけだろうと思ってください。
次にコラッツ操作で値がいくらでも増えるとき発散という。
これも、コラッツ順序を使って表す。

発散

$n\in \mathbb{N}$($0$を含む)
$a_0,a_1,a_2,・・・,a_n$
$n$はコラッツ操作の回数
$\forall n、\exists m \in \mathbb{N},n< mのときa_n< a_m$(不等号はコラッツ順序ではなく実数にたいしてよく使われるものです。)

最後にコラッツ予想

コラッツ予想

$\forall n \in \mathbb{N}.1≦n$だろう

別の表現として、全ての自然数はあるループになり、ループは4.2.1だけである。とかいろいろできる。

なにか間違いがありましたら、教えていただくと嬉しいです。

投稿日：4月22日

更新日：4月23日

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高二です

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