三角形

始めに

自分用も兼ねて ETC で使われる用語をまとめてみました。需要はたぶんないと思います。

$P=(p:q:r),(p;q;r)$はそれぞれ三線座標、重心座標を表します。
名前はあてにしないことを奨めます。
また先行の和訳が見つからなかった用語に関しては、英語をそのまま用いています。

詳しいことは Forum Geometricorum や ETCのIndex を参照してください。

点の共役

反転 (Inverse)

円と点$P$について、円の半径,中心をそれぞれ$r,O$とし$r^2=OP\cdot OP'$を満たす半直線$OP$上の点$P'$を$P$を反転した点と言う。円錐曲線での反転は、極線と半直線の交点として定義される。

調和共役 (Harmonic conjugate)

点$A,B$とその直線上の点$P$に対して、$AP:PB=AP':-P'B$を満たす点$P'$を$P$の${A,B}$調和共役と言う。
複比でいえば$(A,B;P,P')=-1$となる点のことを指す。

等度共役 (Isoconjugate)

点$P=(p:q:r), Q=(u:v:w)$について$qrvw:rpwu:pquv(=\dfrac{1}{pu}:\dfrac{1}{qv}:\dfrac{1}{rw})$の示す点を$Q$の$P$等共役という。$Q$の$P$等共役と$P$の$Q$等共役は等しい(三線積の等角共役ともいえる)。

$\triangle A'B'C'$を$\triangle ABC$の$P$の反チェバ三角形、$\triangle A''B''C''$を$\triangle A'B'C'$の$Q$の反チェバ三角形とすれば、$\triangle A'B'C',\triangle A''B''C''$の配景の中心は$P$の$Q^{-2}(=u^{-2}:v^{-2}:w^{-2})$等共役である。

等角共役 (Isogonal conjugate)

点$P$について、$AP,BP,CP$をそれぞれ$A,B,C$の角二等分線で鏡映した点の交点を$P$の等角共役という。
$P=(p:q:r)$のとき$P$の等角共役点は$(p^{-1}:q^{-1}:r^{-1})$である。
これは$X_{1}$等共役である。

等長共役 (Isotomic conjugate)

点$P$について、$AP,BP,CP$と$BC,CA,AB$の交点を、$BC,CA,AB$の中点で鏡映した点をそれぞれ$D,E,F$とする。$AD,BE,CF$の交点を$P$の等長共役と言う。
$P=(p:q:r)$のとき$P$の等長共役点は$(\dfrac{1}{a^2p}:\dfrac{1}{b^2q}:\dfrac{1}{c^2r})$である。
これは$X_{31}$(三線三乗点,$a^2:b^2:c^2$)等共役である。

Antitomic conjugate (反長共役?)

点$P$の等長共役の、シュタイナー外接楕円で反転した点の等長共役を$P$のantitomic conjugateと言う。

ベート共役 (Beth conjugate) (工事中)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について
$a'=-a+b+c,b'=a-b+c,c'=a+b-c$
$h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(\cos B + \cos C)(\dfrac{ua'}{p}+\dfrac{vb'}{q}+\dfrac{wc'}{r})-(a+b+c)a'b'c'u$
として
$h(a,b,c,p,q,r,u,v,w):h(b,c,a,q,r,p,v,w,u):h(c,a,b,r,p,q,w,u,v)$
の表す点を$Q$の$P$ベート共役と言う。

Anticomplementary conjugate (反補共役?)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について、$Q$のAnticomplementの$P$等共役のcomplementを$Q$の$P$Anticomplementary conjugateと言う。
三線座標は
$h(a,b,c,p,q,r,u,v,w)=\dfrac{1}{a}(\dfrac{b^2}{q(au+cw)}+\dfrac{c^2}{r(au+bv)}-\dfrac{a^2}{p(bv+cw)})$

として
$h(a,b,c,p,q,r,u,v,w):h(b,c,a,q,r,p,v,w,u):h(c,a,b,r,p,q,w,u,v)$

$X_{1}$Anticomplementary conjugateに関しては the anticomplementary conjugateとも言う。

チェバ共役、チェバ商 (Ceva conjugate, Cevian quotient)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について、$P$のチェバ三角形と$Q$の反チェバ三角形の配景の中心を$Q$の$P$チェバ共役と言う。
$u(-qru+rpv+pqw):v(qru-rpv+pqw):w(qru+rpv-pqw)$
で表される。

交差共役,交叉共役 (Cross conjugate,クロス共役?)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について、$Q$のチェバ三角形を$\triangle A'B'C'$とし、
$A''=PA'\cap B'C',B''=PB'\cap C'A',C''=PC'\cap A'B'$と定義する(つまり$\triangle A''B''C''$は$\triangle A'B'C'$に対する$P$のチェバ三角形である)。
$\triangle ABC,\triangle A''B''C''$の配景の中心を$Q$の$P$交差共役と言う。
$\dfrac{u}{-pvw+qwu+ruv}:\dfrac{v}{pvw-qwu+ruv}:\dfrac{w}{pvw+qwu-ruv}$
で表される。

頂点共役 (Vertex conjugate)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について、$P,Q$の外接チェバ三角形をそれぞれ$\triangle DEF,D'E'F'$とする。
$DD',EE',FF'$の成す三角形と元の三角形の配景の中心を$Q$の$P$頂点共役と言う。$Q$の$P$頂点共役と$P$の$Q$頂点共役は等しい。三線座標は以下の式で与えられる。
$\dfrac{a}{a^2qrvw-up(bw+cv)(bq+cr)}:\dfrac{b}{b^2wurp-vq(cu+aw)(cp+ar)}:\dfrac{c}{c^2uvpq -wr(av+bu)(aq+bp)}$

直線共役 (Line conjugate)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について、$Q$のCentral lineと$PQ$の交点を$P$直線共役と言う。
$p(v^2+w^2)-u(qv+rw):q(w^2+u^2)-v(rw+pu):r(u^2+v^2)-w(pu+qv)$
で表される。

ハースト反転 (Hirst inverse)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について、
二次曲線$pyz+qzx+rxy=0$の$Q$の極線と、$PQ$の交点を$Q$の$P$ハースト反転と言う。
$qru^2-vwp^2:rpv^2-wuq^2:pqw^2-uvr^2$
で表される。

Antigonal,Antigonal conjugate (反角共役?)

点$P=(p:q:r)$を$BC,CA,AB$ で鏡映したものをそれぞれ$A',B',C'$(このとき$\triangle A'B'C' $はsymmetric triangleと呼ばれる)とし、円$BCA',CAB',ABC'$の交点を$P$のAntigonal conjugateと言う。
$h(a,b,c,p,q,r) =\dfrac{p}{(b^2+c^2-a^2)p^2-a^2qr+(b^2-a^2)pq+(c^2-a^2)pr}$
として
$h(a,b,c,p,q,r) : h(b,c,a,q,r,p) : h(c,a,b,r,p,q)$で表される。

チェバ円共役 (Cyclocevian conjugate)

点$P=(p:q:r)$について、$P$のチェバ三角形$DEF$の外接円と$BC,CA,AB$の$D,E,F$でない方の交点を$D',E',F'$とする。$AD',BE',CF'$の交点を$P$のチェバ円共役と言う。
$h(a,b,c,p,q,r)=\dfrac{1}{a(p^2q^2+p^2r^2-q^2r^2)+2pqr\cos A(ap+br+cr)}$
として
$h(a,b,c,p,q,r):h(b,c,a,q,r,p):h(c,a,b,r,p,q)$
で表される。

ダオ共役 (Dao conjugate)

点$P=(p;q;r)$について、点$Q=(x;y;z)$を中心とする外接円錐曲線$C(Q)$と$AP,BP,CP$の第二交点を通るそれぞれ$BC,CA,AB$と平行な直線と$C(Q)$の第二交点を$A',B',C'$とする。$AA',BB',CC'$は共点でこの点を$P$の$Q$-ダオ共役点という。
$xqr(x-y-z)::$で表される。

アレフ共役 (Aleph conjugate) (工事中)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について
$h(p,q,r,u,v,w)=-q^2r^2u^2 + r^2p^2v^2+p^2q^2w^2+(vw+wu+uv)(-q^2r^2+r^2p^2+p^2q^2)$
として
$h(p,q,r,u,v,w):h(q,r,p,v,w,u):h(r,p,q,w,u,v)$
の表す点を$Q$の$P$アレフ共役と言う。

ダレス共役 (Daleth conjugate) (工事中)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について
$h(p,q,r,u,v,w)=p(\dfrac{v}{q}-\dfrac{w}{r})^2+x(2\dfrac{u}{p}-\dfrac{v}{q}-\dfrac{w}{r})$
として
$h(p,q,r,u,v,w):h(q,r,p,v,w,u):h(r,p,q,w,u,v)$
の表す点を$Q$の$P$ダレス共役と言う。

ギメル共役 (Gimel conjugate) (工事中)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について
$S=(bq+cr)u+(cr+ap)v+(ap+bq)w,\sigma=|\triangle ABC|$
$h(a,b,c,p,q,r,u,v,w)=abc(-\dfrac{\cos A}{p}+\dfrac{\cos B}{q}+\dfrac{\cos C}{r})S - 8u\sigma^2,$
として
$h(a,b,c,p,q,r,u,v,w):h(b,c,a,q,r,p,v,w,u):h(c,a,b,r,p,q,w,u,v)$
の表す点を$Q$の$P$ギメル共役と言う。

点の変換

点から点

Complement (補図形?)

重心を中心に$-\dfrac{1}{2}$倍に拡大した図形
点$(x:y:z)$のcomplement (補点)は
$\dfrac{by+cz}{a}:\dfrac{cz+ax}{b}:\dfrac{ax+by}{c}$
重心座標$(x;y;z)$では
$y+z;z+x;x+y$
である。

Anticomplement (反補図形?)

重心を中心に$-2$倍に拡大した図形
点$(x:y:z)$のAnticomplementは
$\dfrac{-ax+by+cz}{a}:\dfrac{ax-by+cz}{a}:\dfrac{ax+by-cz}{c}$
重心座標$(x;y;z)$では
$-x+y+z;x-y+z;x+y-z$
である。

チェバ点 (cevapoint)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について、$Q$の反チェバ三角形を$A'B'C'$とする。また$A''=PA' \cap BC,B''=PB' \cap CA,C''=C' \cap AB$とする。
$\triangle ABC,A''B''C''$の配景の中心を$P,Q$のチェバ点と言う。
このとき$Q$の$P,Q$チェバ点-チェバ共役は$P$、$P$の$P,Q$チェバ点-チェバ共役は$Q$となる。
三線座標は$(pv+qu)(pw+ru):(qw+rv)(qu+pv):(ru+pw)(rv+qw)$である。

crosssum (交差和?,積和?,クロス和?)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について
$qw+rv:ru+pw:pv+qu$
を$P,Q$のcrosssumと言う。
$P,Q$の等角共役のcrosspointとなる。

垂足チェバ点 (pedal-cevian point)

$P$の垂足三角形がチェバ三角形となるとき、基準三角形と垂足三角形の配景中心を$P$の垂足チェバ点という。

クロス積 (crossdifference,crossproduct,交差差?,交差積?)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について
$qw-rv:ru-pw:pv-qu$
を$P,Q$のcrossdifferenceまたはcrossproductと言う。
直線$PQ$の三線極の等角共役となる。

trilinear product/quotient (三線積?/三線商?)

二点$P(p:q:r),Q(u:v:w)$について$(pu:qv:rw)$を$P,Q$のtrilinear productという。
また、$(\dfrac{p}{u}:\dfrac{q}{v}:\dfrac{r}{w})$をtrilinear quotientと言う。
重心座標、barycentric product/quotientについても同様。

crosspoint (交叉点?,クロス点?)

点$P=(p:q:r),Q=(u:v:w)$について、
$P,Q$のチェバ三角形を$\triangle A'B'C',A''B''C''$とする。また$A'''=AA'' \cap B'C',B'''=BB'' \cap C'A',C'''=CC' \cap A'B'$として、$\triangle A'B'C',A'''B'''C'''$の配景の中心をcrosspointと言う。このとき$Q$の$P,Q$crosspoint交差共役は$P$、$P$の$P,Q$crosspoint交差共役は$Q$となる。
三線座標は$pu(rv+qw):qv(pw+ru):rw(qu+pv)$である。

$\Lambda(P,Q)$

$P(p:q:r),Q(u:v:w)$を通る直線上の無限遠点の等角共役を$\Lambda(P,Q)$と書く。
三線座標では
$\dfrac{1}{b(pv-uq)-c(ru-wp)}:\dfrac{1}{c(qw-rv)-a(pv-uq)}:\dfrac{1}{a(ru-wp)-b(qw-rv)}$
重心座標では
$\dfrac{a^2}{(pv-uq)-(ru-wp)};\dfrac{b^2}{(qw-rv)-(pv-uq)};\dfrac{c^2}{(ru-wp)-(qw-rv)}$
$=\dfrac{a^2}{p(v+w)-u(q+r)};\dfrac{b^2}{q(w+u)-v(r+p)};\dfrac{c^2}{r(u+v)-w(p+q)}$

$\Psi(P,X)$

$Y$を$\Lambda(P,X)$、$Q$を$P$の等角共役とする。直線$YQ$と外接円の交点の$Y$でない方を$\Psi(P,X)$と書く.

Symgonal,Symgonal point (同角点?、類似角点?)

点$P=(p:q:r)$のAnticomplementのAntigonalをsymgonalと言う。
$A,B,C$を$P$で鏡映した点を$A',B',C'$(このとき$\triangle A'B'C' $はantisymmetric triangleと呼ばれる)とし、円$BCA',CAB',ABC'$の交点は$P$のsymgonalである。

カンディ・パリー$\Phi$変換 (Cundy-Parry Phi Transform)

$P$の等角共役を$P'$として$X_{3}P\cap X_{4}P'$を$P$のカンディ・パリー$\Phi$変換と言う。単に$\Phi$変換とも。

カンディ・パリー$\Psi$変換 (Cundy-Parry Psi Transform)

$P$の等角共役を$P'$として$X_{4}P\cap X_{3}P'$を$P$のカンディ・パリー$\Psi$変換と言う。単に$\Psi$変換とも。

ミモザ変換 (Mimosa transform)

内心の、点$P=(p:q:r)$と垂心の三線積-チェバ共役点を$P$のミモザ変換と言う。
$-yz\cos A+zx\cos B+xy\cos C:-zx\cos B+xy\cos C+yz\cos A:-xy\cos C+yz\cos A+xy\cos C$
で表される。

Inverse Mimosa transform (逆ミモザ変換?)

$X_{1}$と点$P(p:q:r)$のcrosssumを$P(x)$とし三線商$\dfrac{X_{3}}{P(x)}$を$P$のInverse Mimosa transformと言う。
$\dfrac{\cos A}{q+r}:\dfrac{\cos B}{r+p}:\dfrac{\cos C}{p+q}$で表される。

ゾズマ変換 (Zosma transform)

Inverse Mimosa transformの等角共役をゾズマ変換と言う。
$(q+r)\sec A:(r+p)\sec B:(p+q)\sec C$
で表される。

Collings Transform

$P=(p:q:r)$で$A,B,C$を鏡映した点をそれぞれ$A',B',C'$とし、円$AB'C',A'BC',A'B'C$の交点を$P$のCollings Transformと言う。
$f(a,b,c)=\dfrac{1}{br(ap+bq-cr)-cq(ap+cr-bq)}$として
$f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$で表される。

Eigentransform (固有変換?)

点$P=(p:q:r)$について、そのチェバ三角形のEigencenterをEigentransformと言う。ET(U)と略される。
$P$の等角共役の$P$等共役はEigentransformである。
$f(p,q,r)=qr(p^2q^2 + p^2q^2 - q^2r^2)$として
$f(p,q,r):f(q,r,p):f(r,p,q)$で表される。

Circum-Eigentransform (外接固有変換?)

点$P=(p:q:r)$について、その擬調和三角形のEigencenterをCircum-Eigentransformと言う。CET(P),CIR(P)などと略される。
$\dfrac{aqr}{a(q^2-r^2)+p(bq-cr)}:\dfrac{arp}{b(r^2-p^2)+q(cr-ap)}:\dfrac{cpq}{c(p^2-q^2)+r(ap-bq)}$
で表される。

ジベール-シムソン変換 (Gibert-Simson transform) (工事中)

$P=(p:q:r)$のシムソン三次曲線K010上への変換をGibert-Simson transformと言う。コンウェイの記法を用いて、
$\dfrac{(\dfrac{b^2S_{B}}{q}-\dfrac{c^2S_{C}}{r})p}{a^2}:\dfrac{(\dfrac{c^2S_{C}}{r}-\dfrac{a^2S_{A}}{p})q}{b^2}:\dfrac{(\dfrac{a^2S_{A}}{p}-\dfrac{b^2S_{B}}{q})r}{c^2}$
で表される。

Brisse transform

外接円上の点$P=(p:q:r)$について、その点を通る内接円の2接線と外接円の$P$でない方の交点を$Q,R$とする。ポンスレの閉形定理より直線$QR$は内接円に接する。その接点を$P$のBrisse transformという。
三線座標では、以下の式で表される。
$\dfrac{a}{(b+c-a)p^2}:\dfrac{b}{(c+a-b)q^2}:\dfrac{c}{(a+b-c)r^2}$

Incircle tarnsform (内接円変換?)

点$P=(p:q:r)$について$\Psi(X_{6},P) $のBrisse transformを$P$のIncircle Tarnsformという。$T(P)$などと略される。
三線座標では
$a(a-b+c)(a+b-c)(cv-bw)^2::$
である。

Pedal Antipodal Perspector (垂足対蹠配景中心?)

$P$の垂足円の中心で$P$の垂足三角形を鏡映してできる三角形と、元の三角形の配景の中心をpedal antipodal perspectorと言う。PA(P)などと略される。

Dao image (ダオ像?)

$\triangle ABC$と点$P(p:q:r)$について、円$BPC,CPA,APB$の中心を通る$AP,BP,CP$に平行な直線は共点である。この点を$P$のDao imageと言う。
$f(a,b,c,p,q,r)=p(c^2q^2+(-a^2+b^2+c^2)qr+b^2r^2)(2a^2qr+p(-(-a^2+b^2+c^2)p+(a^2-b^2+c^2) q+(a^2+b^2-c^2)r))$
として$f(a,b,c,p,q,r):f(b,c,a,q,r,p):f(c,a,b,r,p,q)$で表される。

ベゴニア点 (Begonia point)

$P$のチェバ三角形を$\triangle A'B'C'$とする。$P$を$B'C',C'A',A'B'$で鏡映した直線が成す三角形と元の三角形の配景の中心を$P$のBegonia pointと言う。

他

三角形の心、中心 (Triangle center)(工事中)

三線座標または重心座標を用いて、$f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$と表せる点。

Triangle Center Function (三角形の心関数?)

点$P$が三線座標で$\alpha:\beta:\gamma=f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$と、それぞれの頂点や辺について対称的に書けるとき
$\alpha=f(a,b,c)$のように省略されたものをTriangle Center Functionと言う。

直極点 (Orthopole)

ある直線$l$に$A,B,C$から下した垂線の足、から$BC,CA,AB$に降ろした垂線の交点を$l$の直極点と言う。

円の相似中心 (Insimilicenter/Exsimilicenter)

円の内側、外側の相似中心をそれぞれInsimilicenter,Exsimilicenterと言う。
internal/external center of similitudeとも。

Eigencenter (固有心?)

三角形$T$とそのUnary Cofactor Triangleの配景の中心をEigencenterと言う。

直線

三線極線(trilinear polar)

$P=(p:q:r)$のチェバ三角形と元の三角形の配景の軸を$P$のtrilinear polarと言う。
$\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}+\dfrac{z}{r}=0$で表される。
逆に直線に対して、直線が三線極線となるような点を三線極 (trilinear pole)と言う。

Central line (心線?)

等角共役の三線極線をCentral lineという。
例えば、外心のCentral lineは垂心のtrilinear polar,垂軸である。
$px+qy+rz=0$で表される。

Vu circle cevian point

2つの点のCirclecevian triagleの対応する頂点を結ぶ直線と対応する基準三角形の辺の交点はチェバ三角形となる。このCevian pointをVu circle cevian pointという。

orthotransversal (直交截線?)

$P$を通る$AP,BP,CP$の垂線と$BC,CA,AB$の交点 (orthotraces)は共線である。この直線をorthotransversalと言う。
orthotransversalの三線極はOrthocorrespondent、oc(P)と呼ばれる。一般にOrthocorrespondent$Q$を共有する点は2つ存在し、$Q$のantiorthocorrespondentsという。また、一方に対してもう一方ををorthoassociatesという(実点とは限らない)。

三角形

基準三角形 (Reference triangle,参考三角形,基礎三角形)

起点となる三角形。

Central triangle (心三角形?)(工事中)

※詳細は こちら を参照してください
Triangle Center Functionまたは零関数である関数$f,g$を用いて、
$A'=f(a,b,c):g(b,c,a):g(c,a,b)$
$B'=g(a,b,c):f(b,c,a):g(c,a,b)$
$C'=g(a,b,c):g(b,c,a):f(c,a,b)$
と書ける三角形$A'B'C'$をCentral triangleと言う。

チェバ三角形 (Cevian triangle)

$\triangle ABC$と点$P$について$AP,BP,CP$と$BC,CA,AB$の交点が成す三角形をチェバ三角形と言う。
チェバ三角形の頂点はcevian tracesと呼ばれる。元の点はCevian pointと呼ばれる。
重心座標または三線座標で$P(p:q:r)$とすると
$ \begin{bmatrix} 0 & q & r\\ p & 0 & r\\ p & q & 0\\ \end{bmatrix} $
で表される。

反チェバ三角形 (Anticevian triangle)

$\triangle ABC$と点$P$について、$\triangle ABC$を$P$のチェバ三角形とするような三角形を反チェバ三角形と言う。
$ \begin{bmatrix} -p & q & r\\ p & -q & r\\ p & q & -r\\ \end{bmatrix} $
で表される。
例えば重心の反チェバ三角形はAnticomplementary triangleである。

垂足三角形 (Pedal triangle)

$\triangle ABC$と点$P$について、$BC,CA,AB$に対する点$P$を通る垂線の足が成す三角形を垂足三角形と言う。
$P=X_{4}$のとき、単に垂足三角形または垂心三角形と言う(本稿では後者を採用する)。
　垂足三角形の外接円は$P$の垂足円(Pedal circle)と呼ばれ、等角共役の垂足円と一致する。またその中心は$P$とその等角共役の中点である。

反垂足三角形,逆垂足三角形 (Antipedal triangle)

$\triangle ABC$と点$P$について$AP,BP,CP$に対する$A,B,C$を通る垂線が成す三角形を反垂足三角形と言う。

擬調和三角形 (Circumcevian triangle,外接チェバ三角形?)

$P$のチェバ線と外接円の、頂点でない方の交点が成す三角形をCircumcevian triangleと言う。

Circumanticevian Triangle (外接反チェバ三角形?)

$P$の反チェバ三角形を$\triangle A'B'C' $とし、外接円と$B'C',C'A',A'B'$の$A,B,C$でない方の交点が成す三角形をCircumanticevian Triangleと言う。

Circumantipedal Triangle (外接垂足三角形?)

$P$の垂足三角形を$\triangle A'B'C' $とし、外接円と$B'C',C'A',A'B'$の$A,B,C$でない方の交点が成す三角形をCircumantipedal Triangleと言う。

triangle vertex matrix (三角形の頂点行列?)

三角形$DEF$について
$D=(p:q:r),E=(x:y:z),F=(s:t:u)$と書けるとき、
行列
$ \begin{bmatrix} p & q & r\\ x & y & z\\ s & t & u\\ \end{bmatrix} $
を$\triangle DEF$のtriangle vertex matrixと言う。

対垂三角形 (Orthologic triangle)

$\triangle ABC,DEF$について、$A$から$EF$、$B$から$FD$、$C$から$DE$に降ろした垂線が共点であるとき、$D$から$BC$、$E$から$CA$、$F$から$AB$に降ろした垂線も共点である。このとき$\triangle ABC,DEF$の組を対垂である、または対垂三角形と言う。また垂線の交点は対垂の中心(orthology centers)と呼ばれる。

対平三角形 (Parallelogic triangle)

$\triangle ABC,DEF$について、それぞれ$A,B,C$を通り$EF,FD,DE$に平行な直線が共点であるとき、それぞれ$D,E,F$を通り$BC,CA,AB$に平行な直線も共点である。また$\triangle ABC,DEF$を対平であるという。

極三角形 (Polar triangle,極線三角形)

ある円錐曲線について、三角形の頂点の極線が成す三角形を極三角形という。
極三角形と元の三角形は配景(Chasles's Polar Triangle Theorem)で、その配景の中心は核心(Kernel)と呼ばれる。

外向 (extraversion)

点$P$を$f(a,b,c);f(b,c,a);f(c,a,b)$とする。
$a$を$-a$に置き換えたものを$P$の$A$による外向(A-extraversion)と言う。この時、角については$A \rightarrow -A,B \rightarrow \pi-B,C \rightarrow \pi-C$と置換する。
$B,C$についても同様である。
また$P$の$A,B,C$による外向が成す三角形を$P$の外向三角形(extraversion triangle,extra-triangle)と言う。

頂点三角形 (Vertex triangle)

$T,S$をそれぞれ$P_{i},Q_{i}\quad (i=1,2,3)$の三点からなる三角形とする。
直線$P_{1}Q_{1},P_{2}Q_{2},P_{3}Q_{3}$が成す三角形を$T,S$の頂点三角形と言う。

フールマン三角形 (Fuhrumann triangle)

点$X$の$A,B,C$に対する外接チェバ三角形$\triangle DEF $について、$D,E,F$を$BC,CA,AB$で鏡映した点のなす三角形を$X$フルーマン三角形と言う。フールマン三角形の外接円は、フールマン円またはヘギー円(Hagge Circle)と言う。$X=X_{1}$の時は単にフールマン三角形、フールマン円と呼ばれる。

エールマン三角形（Ehrmann triangle）

辺上にない点$P$について、
円$PBC$と$AB,AC$の$B,C$でない方の交点を通る直線、円$PCA$と$BA,BC$の$A,C$でない方の交点を通る直線、円$PAB$と$CA,CB$の$A,B$でない方の交点を通る直線のなす三角形を$P$のEhrmann triangleと言う。垂心三角形と相似である。
$P=X_{6}$のとき、単に第二Ehrmann triangleと言う。

Desmic Mate

$\triangle ABC,A'B'C'$が$D$を中心に配景であるとする。$A''=BC'\cap B'C,B''=CA'\cap C'A,C''=AB'\cap A'B $として$\triangle A''B''C'' $を$\triangle A'B'C' $のDesmic Mateと言う。
$\triangle ABC,A'B'C',A''B''C''$はどの二つも配景で、配景の中心は共線である。

Unary Cofactor Triangle (単進小行列三角形?)

$T$を$P_{i}\quad (i=1,2,3)$の三点からなる三角形とする。
$P_{2},P_{3}$のクロス積、$P_{3},P_{1}$のクロス積、$P_{1},P_{2}$のクロス積が成す三角形をUnary Cofactor Triangleと言う。
$T$のtriangle vertex matrixの小行列式の成す三角形ともいえる。

Binary Cofactor Triangle (二進小行列三角形?)

$T,S$をそれぞれ$P_{i},Q_{i}\quad (i=1,2,3)$の三点からなる三角形とする。
$P_{1},Q_{1}$のクロス積、$P_{2},Q_{2}$のクロス積、$P_{3},Q_{3}$のクロス積が成す三角形を$T,S$のBinary Cofactor Triangleと言う。

ブロカール三角形 (Brocard triangle)

外心と$P$を直径とする円と各辺の垂直二等分線の交点のうち、元の三角形の頂点でない方の成す三角形を$P$ブロカール三角形と言う。

Cocevian Triangle

点$P$の等角共役のチェバ三角形と元の三角形のBinary Cofactor TriangleをCocevian Triangleと言う。

Circlecevian triangle

点$P$について、それぞれ直線$AP,BP,CP$と円$PBC,PCA,PAB$の$P$でない方の交点のなす三角形を$P$のCirclecevian triangleと言う。

円錐曲線

Circle Function (円関数?)

三線座標$(x:y:z)$とある定数$k$で円が
$(px+qy+rz)(ax+by+cz)+k(ayz+bzx+cxy)=0$
と書けるとき$(p:q:r)$を円のCircle Functionと言う。$k=1$の場合のみを指す場合もある。
例えば$(p:q:r)=X_{1}$のときベバン円、$(p:q:r)=(0:0:0)$のとき外接円となる。
Triangle Center Functionと同様、$p$のみを書かれることもある。

Becevian conic

二点$P,Q$のチェバ三角形の頂点を通る円錐曲線をBecevian conicという。

ヴ―円 (Vu circle)

点$P$のCirlcecevian三角形を$P_AP_BP_C$、点$Q$のチェバ三角形を$Q_AQ_BQ_C$とする。
$P_AQ_A,P_BQ_B,P_CQ_C$とそれぞれ円$P_ABC,P_BCA,P_CAB$の第二交点は$P$と共円である。
これをヴ―円という。フールマン円（ヘギー円）は$P=X_4$の場合。

三次曲線

orthopivotal cubic

点$P$について、$M,\text{oc}(M),P$が共線となるような$M$の軌跡をorthopivotal cubicという。

pivotal cubic

曲線上の点$P$とその共役点とある点$Q$が共線であるような点の軌跡をpivotal cubicという。$Q$はPivot pointと呼ばれる。

他

重心座標、三線座標 (barycentric/trilinear coordinates)

$\overrightarrow{OP}=\dfrac{p\overrightarrow{OA}+q\overrightarrow{OB}+r\overrightarrow{OC} }{p+q+r}$
であるとき$(p;q;r)$を$\triangle ABC $に対する$P$の重心座標という。
$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=p:q:r$となる(ただし符号付面積)。

$(p;q;r)=(|BC|s;|CA|t;|AB|u)$のとき、$(s:t:u)$を$P$の三線座標という。
三線座標から重心への変換は
$(p:q:r) \mapsto (bcp:caq:abr) $のように行う。

配景 (Perspctive)

$\triangle ABC,DEF$について$AD,BE,CF$が共点であるとき$\triangle ABC,DEF$の関係を配景と言う。
$AB,DE$の交点、$BC,EF$の交点、$CA,FD$の交点をそれぞれ$P,Q,R$とすると、デザルグの定理により$P,Q,R$は共線である。
$AD,BE,CF$の交点は配景の中心(Perspector,Center of perspectivity)、直線$PQR$は配景の軸(Axis of Perspctivity)と呼ばれる。

品川係数 (Sinagawa coefficients)

$X=(f(a,b,c);f(b,c,a);f(c,a,b))$について、コンウェイの記法で
$f(a,b,c)=G(a,b,c)S^2+H(a,b,c)S_{B}S_{C} $　　($f(b,c,a),f(c,a,b)$でも同様)
を満たすとき$(G(a,b,c),H(a,b,c))$をShinagawa coefficientsと言う。
オイラー線上の点を表すときに使われる。

コンウェイの記法 (Conway Triangle Notation)

$S=2|\triangle ABC |,S_{ \phi }=S\cot(\phi) $
$s=\dfrac{a+b+c}{2},s_{p}=s-p $
としてあらわすもの。

チェバ線の入れ子 (Cevian nest)

3つの三角形$T,U,S$について、$T$が$U$の、$U$が$S$のチェバ三角形であるとき、$T,S$は配景である。
これらの関係をチェバ線の入れ子という。