q類多重の拡張
目次
・はじめに
・内容
・最後に
はじめに
どうも、色数です。
今回は多重ゼータ値のq類似であるq類多重ゼータ値について軽く紹介して僕が考えたものを少し考察します。
内容
$q\to1$としたとき元の定義と一致するものをq類似というそうです。
$\displaystyle [n]_q:=\frac{1-q^n}{1-q}=\sum_{k=0}^{n-1}q^k$
$\displaystyle \zeta_q(\mathbf k):=\sum_{0<\mathbf n}\frac{q^{(\mathbf k-1)\mathbf n}}{[\mathbf n]_q^{\mathbf k}}$
めんどくさいのでここでは太字で書いてしまいます。(察して)
なんと嬉しいことにこの多重ゼータにも双対性が成り立ちます！
$\displaystyle \zeta_q(\mathbf k)=\zeta_q(\mathbf k^{\dagger})$
$\displaystyle Z_q^x(\mathbf k;\mathbf l):=\sum_{\substack{0<\mathbf m\\0<\mathbf n}}\frac{q^{(\mathbf k-1)\mathbf m}}{([\mathbf m]-q^{\mathbf m}x)[\mathbf m]^{\mathbf k-1}}\frac{q^{m_rn_s}[n_s;x][m_r;x]}{[m_r+n_s;x]}\frac{q^{(\mathbf l-1)\mathbf n}}{([\mathbf n]-q^{\mathbf n}x)[\mathbf n]^{\mathbf l-1}}$という連結和を考える
($[]_q$を省略し$[n;x]=([1]-qx)\cdots([n]-q^nx)$とした
\begin{align}
\sum_{m< a}\frac{q^{an}}{[a]-q^ax}\frac{[a;x][n;x]}{[a+n;x]}&=\sum_{m< a}\frac{q^n}{[n]}\left(q^{(a-1)n}\frac{[a-1;x][n;x]}{[a+n-1;x]}-q^{an}\frac{[a;x][n;x]}{[a+n;x]}\right)\\
&=\frac{q^n[m;x][n;x]}{[n][n+m;x]}q^{mn}
\end{align}
以上より$Z_q^x(\mathbf k_{\rightarrow};\mathbf l)=Z_q^x(\mathbf k;\mathbf l_{\uparrow}),Z_q^x(\mathbf k_{\uparrow};\mathbf l)=Z_q^x(\mathbf k;\mathbf l_{\rightarrow})$を得るためweight分輸送すれば双対性が示せる
ではこれ以上拡張することはできないのでしょうか？
\begin{align} &\zeta_{q_1…q_s}(\mathbf k):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{(q_1^{n_1}+\cdots+q_s^{n_1})^{k_1-1}\cdots(q_1^{n_r}+\cdots +q_s^{n_r})^{k_r-1}}{[n_1]_{q_1\cdots q_s}^{k_1}\cdots[n_r]_{q_1\cdots q_s}^{k_r}}\\ &[n]_{q_1\cdots q_s}:=\frac{1-q_1^n-\cdots-q_s^n}{1-q_1-\cdots-q_s} \end{align}
とりあえず$\zeta_{q_1q_2}(3)=\zeta_{q_1q_2}(1,2)$が成り立てば嬉しいですね。
$\displaystyle $
$\displaystyle $
$\displaystyle $
…成り立ちませんね
参考文献[1]と同じように変形してみます。
\begin{align}
\zeta_{q_1q_2}(3)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(q_1^n+q_2^n)^2}{[n]_{q_1q_2}^3}\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_1^n+q_2^n}{[n]_{q_1q_2}^3}-(1-q_1-q_2)\frac{q_1^n+q_2^n}{[n]_{q_1q_2}^2}\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_1^n+q_2^n}{[n]_{q_1q_2}^3}-(1-q_1-q_2)\zeta_{q_1q_2}(2)\\
\zeta_{q_1q_2}(3)+\zeta_{q_1q_2}(1,2)&=\sum_{0< n_1≦n_2}\frac{q_1^{n_2}+q_2^{n_2}}{[n_1]_{q_1q_2}[n_2]_{q_1q_2}^2}-(1-q_1-q_2)\zeta_{q_1q_2}(2)
\end{align}
\begin{align}
\sum_{n_2=1}^{\infty}\frac{q_1^{n_2}+q_2^{n_2}}{[n_2]_{q_1q_2}^2}\sum_{n_1=1}^{n_2}\frac{1}{[n_1]_{q_1q_2}}&=\sum_{n_2=1}^\infty\frac{q_1^{n_2}+q_2^{n_2}}{[n_2]}\sum_{n_1=1}^{n_2}\left((1-q_1-q_2)+\frac{q_1^{n_1}+q_2^{n_1}}{[n_1]_{q_1q_2}}\right)
\\
&=\sum_{n_2=1}^{\infty}\frac{q_1^{n_2}+q_2^{n_2}}{[n_2]_{q_1q_2}^2}\left(n_2(1-q_1-q_2)+\sum_{n_1=1}^{\infty}\left(\frac{q_1^{n_1}+q_2^{n_1}}{[n_1]_{q_1q_2}}-\frac{q_1^{n_1+n_2}+q_2^{n_1+n_2}}{[n_1+n_2]_{q_1q_2}}\right)\right)\\
&=(1-q_1-q_2)\sum_{n_2=1}^{\infty}\frac{(q_1^{n_2}+q_2^{n_2})n_2}{[n_2]_{q_1q_2}^2}+\sum_{0< n_1,n_2}\frac{q_1^{n_1+n_2}+q_2^{n_1+n_2}}{[n_1]_{q_1q_2}[n_2]_{q_1q_2}[n_1+n_2]_{q_1q_2}}
\end{align}
\begin{align}
\sum_{0< n_1,n_2}\frac{q_1^{n_1+n_2}+q_2^{n_1+n_2}}{[n_1]_{q_1q_2}[n_2]_{q_1q_2}[n_1+n_2]_{q_1q_2}}&=\sum_{0< n_1,n_2}\frac{(q_1^{n_1+n_2}+q_2^{n_1+n_2})[n_1+n_2]_{q_1q_2}}{[n_1]_{q_1q_2}[n_2]_{q_1q_2}[n_1+n_2]_{q_1q_2}^2}\\
&=\sum_{0< n_1,n_2}\frac{q_1^{n_1+n_2}+q_2^{n_1+n_2}}{[n_1]_{q_1q_2}[n_1+n_2]_{q_1q_2}^2}+\sum_{0< n_1,n_2}\frac{(q_1^{n_2}+q_2^{n_2})(q_1^{n_1+n_2}+q_2^{n_1+n_2})}{[n_2]_{q_1q_2}[n_1+n_2]_{q_1q_2}^2}+\frac{1}{1-q_1-q_2}\left(\sum_{0< n_1,n_2}(q_1^{n_1}q_2^{n_2}+q_1^{n_2}q_2^{n_1})(q_1^{n_1+n_2}+q_2^{n_1+n_2})\right)\\
&=\sum_{0< n_1< n_2}\frac{q_1^{n_2}+q_2^{n_2}}{[n_1]_{q_1q_2}[n_2]_{q_1q_2}^2}+\sum_{0< n_1< n_2}\frac{(q_1^{n_1}+q_2^{n_1})(q_1^{n_2}+q_2^{n_2})}{[n_1]_{q_1q_2}[n_2]_{q_1q_2}^2}+\frac{1}{1-q_1-q_2}\left(\sum_{0< n_1,n_2}q_1^{2n_1+n_2}q_2^{n_2}+q_1^{n_2}q_2^{2n_1+n_2}\right)\\&=
\zeta_{q_1q_2}(1,2)+\sum_{0< n_1< n_2}\frac{q_1^{n_2}+q_2^{n_2}}{[n_2]_{q_1q_2}^2}\left(\frac{1}{[n_1]_{q_1q_2}}-(1-q_1-q_2)\right)+\frac{q_1^3q_2}{(1-q_1-q_2)(1-q_1^2)(1-q_1q_2)}+\frac{q_1q_2^3}{(1-q_1-q_2)(1-q_2^2)(1-q_1q_2)}\\
&=2\zeta_{q_1q_2}(1,2)-\sum_{0< n}\frac{(1-q_1-q_2)(q_1^{n}+q_2^{n})(n-1)}{[n]_{q_1q_2}^2}+\frac{q_1^3q_2}{(1-q_1-q_2)(1-q_1^2)(1-q_1q_2)}+\frac{q_1q_2^3}{(1-q_1-q_2)(1-q_2^2)(1-q_1q_2)}\\
\end{align}
$\displaystyle \zeta_{q_1q_2}(3)=\zeta_{q_1q_2}(1,2)+\frac{q_1^3q_2}{(1-q_1-q_2)(1-q_1^2)(1-q_1q_2)}+\frac{q_1q_2^3}{(1-q_1-q_2)(1-q_2^2)(1-q_1q_2)}$
なんか微妙…
最後に
うまい拡張があれば教えていただきたいです。