前回の記事
では、ピタゴラス数を求める問題を上の方程式
と捉え、これがコホモロジーの等式
から解けるということを扱いました。
今回は、この方法をより一般の場合に拡張し、ヒルベルトの定理90を証明します。
前回の証明
絶対値がのの元はを用いてと書けるという主張は、以下のように示せるのでした。
この証明を幾つかのステップに分けて、各ステップを一般化していきます。
デデキントの補題
前回の証明における、の存在性はデデキントの補題として一般化されます。
デデキントの補題
を群,を体, を相異なる準同型とする.
に対して,
ならば
数学的帰納法で示す.
のとき, 任意のに対してなので明らかである.
での成立を仮定する. のとき, なるを固定すると, 任意のに対して
なので, 帰納法の仮定よりであり, なのでである. 従って帰納法の仮定より, である.
よって, 主張はのときも成立し, 数学的帰納法により, 任意のに対して示された. (証明終)
コホモロジー版の証明
前回の証明ではという数を考え、その共役をとりましたが、この数の正体は何なのでしょうか?この手法は一般化できるのでしょうか?
とします。
コホモロジーへの言い換えでは、なるは、なるに対応するのでした。このとき、に対して、は
と書くことができます。デデキントの補題の対偶より、このようなは存在します。ここで、が-サイクルであることから
が成り立つので
となり、特にを複素共役とすればが得られます。
この式変形は、一般の有限次ガロア拡大に対して成り立ちます。つまり、とし、上記の通りにを定めれば
であり、従って
となります。よって
であり、纏めると
を得ます。
ヒルベルトの定理の証明
ヒルベルトの定理のコホモロジー版は、一般の有限次ガロア拡大に対して成り立つことを確認しましたが、ノルムを使った本来の主張はさらに巡回拡大であることを要求します。
を次巡回拡大とし、とします。
のとき
なので, を
により定めることができる. このとき
よりは-コサイクルであり, より示された. (証明終)
これで、ヒルベルトの定理90を証明するための道具が揃いました。
()は明らかなので, ()を示す.
補題3より, なる-コサイクルがとれるが, ヒルベルトの定理90(コホモロジー版)よりは-コバウンダリである.
従ってなるがとれる.
このときとおくと
.
(証明終)
おわりに
ヒルベルトの定理90は、当然、コホモロジーを使わなくても、より短い手順で示すことができます。しかし、コホモロジーを使うと、証明の手順が細分化されていくのが、浅学ながら面白いと思いました。以上です。