自己共役作用素の自己共役な拡張は自分自身以外に存在しないこと
自己共役作用素は極大対称である. 自己共役作用素は対称作用素でもあるから, 自己共役作用素が対称作用素としての真の拡張を持たないことから, 自己共役作用素の真の拡張で自己共役な物は存在しない.
$X$をヒルベルト空間, $T$を稠密な定義域$D(T)$を持つ線型作用素とする. $X$の内積を$((\cdot,\cdot))$と書く.
$X\times X$の部分集合$G_T^*$を
$(y, z)\in X\times X$で, 全ての$x\in D(T)$に対して$((Tx, y))=((x, z))$
を満たす$(y, z)$全体の集合とする.
$D(T)$が$X$で稠密だから
$(y, z_1), (y, z_1)\in G_T^*$ならば$z_1=z_2$が成り立つ. ゆえに$G_T^*$をグラフとする線型作用素$T^*$が定まる.
$D(T)$が$X$で稠密だから
$X$の任意の元$x$に対して$x$に収束する$D(T)$の点列$(x_n)$が存在して$G_T^*$の定義より
$((Tx_n, y))=((x_n, z_1))=((x_n, z_2))$
ゆえに
$((x_n, z_1-z_2))=0$
内積は連続であるから,
$((x, z_1-z_2))=0$
ゆえに$z_1=z_2.$
$T^*$の定義より
$x\in D(T), y\in D(T^*) \Rightarrow ((Tx, y))=(x, T^*y))$
が成り立つ.
$((Tx_n, ay_1+by_2))$
$$=a((Tx_n, y_1))+b((Tx_n, y_2))$$
$=a((x_n, T^*y_1))+b((x_n, T^*y_2))$
$=((x_n, aT^*y_1+bT^*y_2))$
ゆえに
$((x_n, T^*(ay_1+by_2)))=((x_n, aT^*y_1+bT^*y_2))$
再び内積の連続性より
$((x, T^*(ay_1+by_2)))=((x, aT^*y_1+bT^*y_2))$
ゆえに$T^*$は線型である.
ふたつの作用素$S, T$について
$D(S)\subset D(T)$
かつ
$x\in D(S) \Rightarrow Sx=Tx$
が成り立つとき, $T$を$S$の拡張といい, $S\subset T$と書く. $S$が$T$の拡張でもあるとき$T=S$と書く.
作用素$T$の定義域$D(T)$が$X$で稠密であり$T\subset T^*$であるとき$T$を対称作用素といい, 特に$T=T^*$であるとき$T$を自己共役作用素という.
定義域$D(T)$が$X$で稠密な作用素$T$が対称作用素であるための必要十分条件は
任意の$x, y\in D(T)$に対して$((Tx, y))=((x, Ty))$
となることである.
$T\subset T^*$ならば$y\in D(T)$は$y\in D(T^*)$でもあり, $y\in D(T)$ならば$T^*y=Ty$であるから
$((Tx, y))=((x, T^*y))=((x, Ty)).$
逆に任意の$x, y\in D(T)$に対して$((Tx, y))=((x, Ty))$が成り立てば$(y, Ty)\in G_T^*$であるから$y\in D(T)$かつ$T^*y=Ty$ゆえ$T\subset T^*$を得る.
対称作用素$H$が極大対称であるとは$H$の真の拡張であるような対称作用素が存在しないことである.
自己共役作用素は極大対称である.
$H$を自己共役作用素とし$H_0$が$H$の拡張で対称作用素とする. $H\subset H_0\subset H_0^*\subset H^*$
である. $H^*=H$であるから$H_0=H$すなわち自己共役作用素の対称な拡張は自分自身に限る.