二項係数を使う

はじめに

昔作った問題です。

本題

長くなってしまったがこのままで考えるのもいいけど工夫して良い感じに解きたい。
工夫といっても簡単で点Bから繋がる2つの点から点Bへの最短経路はどちらも1
その後ろの３つの点は端っこは1だけど真ん中は点Bと繋がっている点どちらを通っても最短経路なので2
これを正方形で作られる大きな正方形の点全てにするとパスカルの三角形の一部になる
これを命題と対応させると点Bは
パスカルの三角形の一番上の1
点Aは必ず$\binom {2x}{x}$になる
なので答えは$\binom{2x}{x}$になる。