非整数階常微分方程式の解の存在性と一意性について

方程式$\text{(1)}$の両辺を$\alpha$階Riemann-Liouville積分すると, 左辺は
$$\begin{array}{rl}{I}^{\alpha }\left({}_0^c{D}_t^{\alpha }u\right)(t)& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}\{\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(m-\alpha )}{\int }_0^s(s-\tau {)}^{m-\alpha -1}{u}^{(m)}(\tau )d\tau \}ds\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(m-\alpha )}{\int }_0^t{u}^{(m)}(\tau )\{{\int }_{\tau }^t(t-s{)}^{\alpha -1}(s-\tau {)}^{m-\alpha -1}ds\}d\tau \\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(m-\alpha )}{\int }_0^t{u}^{(m)}(\tau )\{\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(m-\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(m)}(t-\tau {)}^{m-1}\}d\tau \\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(m)}{\int }_0^t(t-\tau {)}^{m-1}{u}^{(m)}(\tau )d\tau \end{array}$$
となる. これはCauchyの積分公式より$u^{(m)}$を$m$階積分したものをみなせる. よって,
$$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(m)}{\int }_0^t(t-\tau {)}^{m-1}{u}^{(m)}(\tau )d\tau =I^m{u}^{(m)}(t)=u(t)-\sum _{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{u}_0^{(k)}$$
となるので, 補題の証明が完了した.

Picardの逐次近似法を用いて解の存在証明を行う. 関数列$\{u_n\}$を
$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle u_1(t)=\sum _{k=0}^{m-1}{\displaystyle \frac{t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}}{u}_0^{(k)},}\\ {\displaystyle u_n=\sum _{k=0}^{m-1}{\displaystyle \frac{t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}}{u}_0^{(k)}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}f(s,u_{n-1}(s))ds\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}n⩾2}\end{array}$$
と定義する. この$u_n(t)$がある$u(t)$に収束し, $u(t)$が積分方程式$\text{(2)}$をみたすことを示す. まず任意の$n$に対して,
$$\begin{array}{}\text{(3)}& |u_n(t)-\sum _{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{u}_0^{(k)}|⩽K\end{array}$$
が成立することを確かめる. $n=1$のとき,
$$|u_1(t)-\sum _{k=0}^{m-1}{\displaystyle \frac{t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}}{u}_0^{(k)}|=0<K$$
である. ある$k\in \mathbb{N}$で式$\text{(3)}$が成立すると仮定すると, 仮定より$T_0⩽{\left({\displaystyle \frac{K\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{M}}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}$であるので,
$$\begin{array}{rl}|u_{k+1}(t)-\sum _{k=0}^{m-1}{\displaystyle \frac{t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}}{u}_0^{(k)}|& ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}}|{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}f(s,u_k(s))ds|\\ & ⩽{\displaystyle \frac{M}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}ds\\ & ⩽{\displaystyle \frac{M}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}}{T}_0^{\alpha }⩽{\displaystyle \frac{M}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}}{\displaystyle \frac{K\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{M}}=K\end{array}$$
と評価できる. よって, 数学的帰納法より任意の$n$に対して式$\text{(3)}$が成立することが確かめられた. 次に, 定めた関数列$\{u_n(t)\}$がある関数$u(t)$に一様収束することを示す. 級数
$$\begin{array}{}\text{(4)}& u_1(t)+\{u_2(t)-u_1(t)\}+\{u_3(t)-u_2(t)\}+\cdots +\{u_{n+1}(t)-u_n(t)\}+\cdots \end{array}$$
を考える. この級数の部分和は, $u_1(t),u_2(t),\cdots ,u_n(t)$となるので, 級数が収束することがわかると, $\{u_n(t)\}$が収束することがわかる. そのため,任意の$k\in \mathbb{N}$に対して
$$\begin{array}{}\text{(5)}& |u_{k+1}(t)-u_k(t)|⩽\frac{L^{k-1}{t}^{(k-1)\alpha }}{\mathrm{\Gamma }((k-1)\alpha +1)}K\end{array}$$
が成立することを示す. $k=1$のとき, 式$\text{(3)}$より
$$|u_2(t)-u_1(t)|⩽K$$
となる. 次に, ある$k$に対して式$\text{(5)}$が成立していると仮定すると,
$$\begin{array}{rl}|u_{k+2}(t)-u_{k+1}(t)|& ⩽\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}|f(s,u_{k+1}(s))-f(s,u_k(s))|ds\\ & ⩽\frac{L}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}|u_{k+1}(s)-u_k(s)|ds\\ & ⩽\frac{L}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\frac{L^{k-1}}{\mathrm{\Gamma }((k-1)\alpha +1)}K{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}{s}^{(k-1)\alpha }ds\\ & =\frac{L}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\frac{L^{k-1}}{\mathrm{\Gamma }((k-1)\alpha +1)}K\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }((k-1)\alpha +1)}{\mathrm{\Gamma }(k\alpha +1)}{t}^{k\alpha }\\ & =\frac{L^k{t}^{k\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(k\alpha +1)}K\end{array}$$
と評価できるので, 任意の$k\in \mathbb{N}$に対して式$\text{(5)}$が成立することが示された. このことから, さらに, 任意の$k\in \mathbb{N}$に対して
$$\begin{array}{rl}|u_{k+1}(t)-u_k(t)|& ⩽\frac{L^{k-1}{t}^{(k-1)\alpha }}{\mathrm{\Gamma }((k-1)\alpha +1)}K\\ & ⩽\frac{L^{k-1}{T}_0^{(k-1)\alpha }}{\mathrm{\Gamma }((k-1)\alpha +1)}K\\ & ⩽\frac{1}{\mathrm{\Gamma }((k-1)\alpha +1)}K{\left(\frac{LK\mathrm{\Gamma }(1+\alpha )}{M}\right)}^{k-1}\end{array}$$
という評価が得られる. $A={\displaystyle \frac{LK\mathrm{\Gamma }(1+\alpha )}{M}}$とおくと,
$$\begin{array}{rl}& u_1(t)+\{u_2(t)-u_1(t)\}+\{u_3(t)-u_2(t)\}+\cdots +\{u_{n+1}(t)-u_n(t)\}+\cdots \\ & ⩽|u_1(t)|+|u_2(t)-u_1(t)|+|u_3(t)-u_2(t)|+\cdots +|u_{n+1}(t)-u_n(t)|+\cdots \\ & ⩽\sum _{k=0}^{m-1}{\displaystyle \frac{t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}}\left|u_0^{(k)}\right|+K(1+\frac{A}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}+\cdots +\frac{A^{n-1}}{\mathrm{\Gamma }((n-1)\alpha +1)}+\cdots \}\\ & ⩽\underset{0⩽k⩽m-1}{max}\left|u_0^{(k)}\right|\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}+K\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^n}{\mathrm{\Gamma }(\alpha n+1)}\\ & ⩽\underset{0⩽k⩽m-1}{max}\left|u_0^{(k)}\right|\exp \left(\frac{K\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{M}\right)+K{E}_{\alpha ,1}(A)<\mathrm{\infty }\end{array}$$
と評価できる. ここで, $E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{z^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )}}$はMittag-Leffler関数と呼ばれる. 以上の議論より, 級数$\text{(4)}$はWeierstrassの優級数定理より一様に絶対収束することがわかるので, 関数列$\{u_n(t)\}$がある関数$u(t)$に一様収束することが示された. すなわち, 任意の$\epsilon >0$に対して, ある$n_0(\epsilon )=n_0\in \mathbb{N}$が存在し, $n⩾n_0$のとき
$$|u_n(t)-u(t)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }t\in [0,T_0]$$
が成立する. 以下, 得られた$u(t)$が積分方程式$\text{(2)}$をみたしていることを確かめる. $f$のLipschitz連続性を用いると, $n⩾n_0(\epsilon )$なる$n$に対して
$$\begin{array}{rl}& |\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}f(s,u_n(s))ds-\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}f(s,u(s))ds|\\ & ⩽\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}|f(s,u_n(s))-f(s,u(s))|ds\\ & ⩽\frac{L}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}|u_n(s)-u(s)|ds\\ & <\frac{L}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\frac{T_0^{\alpha }}{\alpha }\epsilon ⩽\frac{LK}{M}\epsilon \end{array}$$
と評価できる. よって,
$$\begin{array}{rl}{u}_{n+1}(t)& =\sum _{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{u}_0^{(k)}+\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}f(s,u_n(s))ds\\ & =\sum _{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{u}_0^{(k)}+\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}f(s,u(s))ds+\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}(f(s,u_n(s))-f(s,u(s)))ds\end{array}$$
とし, $n\to \mathrm{\infty }$とすれば, 左辺は$u(t)$に収束し, 右辺第3項は$0$になるので,
$$u(t)=\sum _{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{u}_0^{(k)}+\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}f(s,u(s))ds$$
となり, 積分方程式$\text{(2)}$の解, すなわち問題$\text{(1)}$の解の存在性が示された. 次に, 一意性を示す.　
問題$\text{(1)}$の2つの解を$u_1(t)$, $u_2(t)$とすると
$$\begin{array}{rl}|u_1(t)-u_2(t)|& ⩽\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}|f(s,u_1(s))-f(s,u_2(s))|ds\\ & ⩽\frac{L}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^t(t-s{)}^{\alpha -1}|u_1(s)-u_2(s)|ds\end{array}$$
となる. よって, Gronwallの不等式より, $|u_1(t)-u_2(t)|=0$すなわち$u_1(t)=u_2(t)$が得られる. 以上の議論より, 定理の証明が完了した.