非整数階常微分方程式の解の存在性と一意性について
Caputo type fractional ordinary differential equations
ここでは, $m\in\mathbb{N}, \alpha\in(m-1,m)$とし, 次の初期値問題
\begin{eqnarray}\label{ODE:1}\tag{1}
\left\{
\begin{array}{l}
_0^cD_t^{\alpha}u(t) = f(t,u(t)), \\
u^{(k)}(0) = u_0^{k} \in \mathbb{R},\ \ k = 0, \cdots, m-1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を考える. ただし,$_0^cD_t^{\alpha}$は$\alpha$階Caputo微分と呼ばれ, 十分滑らかな$u$に対して,
\begin{equation*}
_0^cD_t^{\alpha}u(t) = I^{m-\alpha}\left(u^{(m)}(t)\right) = \frac{1}{\Gamma(m-\alpha)}\int_0^t(t-s)^{m-\alpha-1}u^{(m)}(s)\ ds
\end{equation*}
と定義される非整数階微分の概念の一種である. ただし, $^{(m)} = \dfrac{d^m}{dt^m}$である. さらに, $I^{\alpha}$は$\alpha$階Riemann-Liouville積分と呼ばれる非整数階積分である.
さて, 問題\eqref{ODE:1}の解の存在性, 一意性は$f$にどんな条件を与えれば得られるのかを考察する. 実は, 通常の常微分方程式と同様, $f$が第2変数に対してLipschitz連続であれば, 存在性, 一意性が得られることが次の定理でわかる.
$m\in\mathbb{N}$, $\alpha \in (m-1,m)$, $u_0^0,\cdots,u_0^{m-1} \in \mathbb{R}$, $K, T > 0$とし, $G$を
\begin{equation}
G = \left\{(t,u); t\in[0,T], \left|u - \sum_{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{\Gamma(k+1)}u_0^k\right| \leqslant K\right\}
\end{equation}
と定義する. また, $f:G\to\mathbb{R}$は連続かつ第2変数に対してLipschitz連続すなわち
\begin{equation}
|f(t,u) - f(t,v)|\leqslant L|u-v|
\end{equation}
となる$L>0$が存在すると仮定し, $\displaystyle M=\sup_{(t,x)\in G}|f(t,u)|$,
\begin{equation}
T_0 =
\begin{cases}
T & {\rm if}\ \ M=0,\\
\min\left\{T,\left(\dfrac{K\Gamma(\alpha)}{M}\right)^{\frac{1}{\alpha}}\right\} & {\rm else}
\end{cases}
\end{equation}
とする. このとき, 初期値問題\eqref{ODE:1}の解$u\in C([0,T_0])$が一意に存在する.
定理1を証明するため, 次の補題を示す.
定理1と同様の仮定をする. このとき, $u\in C([0,T_0])$が積分方程式
\begin{equation}\label{ODE:2}\tag{2}
u(t) = \sum_{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{\Gamma(k+1)}u_0^{(k)} + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}f(s, u(s))\ ds
\end{equation}
の解であるとき, 初期値問題\eqref{ODE:1}の解になる.
方程式\eqref{ODE:1}の両辺を$\alpha$階Riemann-Liouville積分すると, 左辺は
\begin{align}
I^{\alpha}\left({_0^cD_t^{\alpha}} u\right)(t)
& = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}\left\{\frac{1}{\Gamma(m-\alpha)}\int_0^s(s-\tau)^{m-\alpha-1}u^{(m)}(\tau)\ d\tau\right\}ds \\
& = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(m-\alpha)}\int_0^tu^{(m)}(\tau)\left\{\int_{\tau}^t(t-s)^{\alpha-1}(s-\tau)^{m-\alpha-1}\ ds\right\}d\tau \\
& = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(m-\alpha)}\int_0^tu^{(m)}(\tau)\left\{\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(m-\alpha)}{\Gamma(m)}(t-\tau)^{m-1}\right\}\ d\tau \\
& = \frac{1}{\Gamma(m)}\int_0^t(t-\tau)^{m-1}u^{(m)}(\tau)\ d\tau
\end{align}
となる. これはCauchyの積分公式より$u^{(m)}$を$m$階積分したものをみなせる. よって,
\begin{equation}
\frac{1}{\Gamma(m)}\int_0^t(t-\tau)^{m-1}u^{(m)}(\tau)\ d\tau = I^mu^{(m)}(t) = u(t) - \sum_{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{\Gamma(k+1)}u_0^{(k)}
\end{equation}
となるので, 補題の証明が完了した.
定理1の証明において, 特に一意性の証明で次のGronwallの不等式の一般化を用いる.
$\alpha > 0$, $T > 0$とする, $a, w \in L_{loc}^1[0,\infty)$, $a, g, w$は非負かつ$g$は非減少で有界とする. さらに$w$が不等式
\begin{equation}
w(t) \leqslant a(t) + g(t)(I^{\alpha}w)(t),\ \ {\rm for}\ \ t \in [0,T]
\end{equation}
をみたすとする. このとき,
\begin{equation}
w(t) \leqslant \sum_{k=0}^{\infty}g^k(t)(I^{\alpha k}a)(t),\ \ {\rm for}\ \ t \in [0,T]
\end{equation}
が成立する.
では, 定理1の証明を行う.
Picardの逐次近似法を用いて解の存在証明を行う. 関数列$\{u_n\}$を
\begin{equation}
\begin{cases}
\displaystyle u_1(t) = \sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{t^k}{\Gamma(k+1)}u_0^{(k)}, \\
\displaystyle u_{n} = \sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{t^k}{\Gamma(k+1)}u_0^{(k)} + \dfrac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}f(s, u_{n-1}(s))\ ds\ \ {\rm for}\ \ n \geqslant 2
\end{cases}
\end{equation}
と定義する. この$u_n(t)$がある$u(t)$に収束し, $u(t)$が積分方程式\eqref{ODE:2}をみたすことを示す. まず任意の$n$に対して,
\begin{equation}\label{ODE:3}\tag{3}
\left|u_n(t) - \sum_{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{\Gamma(k+1)}u_0^{(k)}\right| \leqslant K
\end{equation}
が成立することを確かめる. $n=1$のとき,
\begin{equation}
\left|u_1(t) - \sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{t^k}{\Gamma(k+1)}u_0^{(k)}\right| = 0 < K
\end{equation}
である. ある$k \in \mathbb{N}$で式\eqref{ODE:3}が成立すると仮定すると, 仮定より$T_0 \leqslant \left(\dfrac{K\Gamma(\alpha+1)}{M}\right)^{\frac{1}{\alpha}}$であるので,
\begin{align}
\left|u_{k+1}(t) - \sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{t^k}{\Gamma(k+1)}u_0^{(k)}\right|
& = \dfrac{1}{\Gamma(\alpha)}\left|\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}f(s, u_{k}(s))\ ds\right| \\
& \leqslant \dfrac{M}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}\ ds \\
& \leqslant \dfrac{M}{\Gamma(\alpha+1)}T_0^{\alpha} \leqslant \dfrac{M}{\Gamma(\alpha+1)}\dfrac{K\Gamma(\alpha+1)}{M} = K
\end{align}
と評価できる. よって, 数学的帰納法より任意の$n$に対して式\eqref{ODE:3}が成立することが確かめられた. 次に, 定めた関数列$\{u_n(t)\}$がある関数$u(t)$に一様収束することを示す. 級数
\begin{equation}\label{ODE:4}\tag{4}
u_1(t) + \{u_2(t) - u_1(t)\} + \{u_3(t) - u_2(t)\} + \cdots + \{u_{n+1}(t) - u_n(t)\} + \cdots
\end{equation}
を考える. この級数の部分和は, $u_1(t), u_2(t), \cdots, u_n(t)$となるので, 級数が収束することがわかると, $\{u_n(t)\}$が収束することがわかる. そのため,任意の$k \in \mathbb{N}$に対して
\begin{equation}\label{ODE:5}\tag{5}
|u_{k+1}(t) - u_k(t)| \leqslant \frac{L^{k-1}t^{(k-1)\alpha}}{\Gamma((k-1)\alpha+1)}K
\end{equation}
が成立することを示す. $k = 1$のとき, 式\eqref{ODE:3}より
\begin{equation}
|u_2(t) - u_1(t)| \leqslant K
\end{equation}
となる. 次に, ある$k$に対して式\eqref{ODE:5}が成立していると仮定すると,
\begin{align}
|u_{k+2}(t) - u_{k+1}(t)|
& \leqslant \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}|f(s, u_{k+1}(s)) - f(s, u_{k}(s))|\ ds \\
& \leqslant \frac{L}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}|u_{k+1}(s) - u_{k}(s)|\ ds \\
& \leqslant \frac{L}{\Gamma(\alpha)}\frac{L^{k-1}}{\Gamma((k-1)\alpha+1)}K\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}s^{(k-1)\alpha}\ ds \\
& = \frac{L}{\Gamma(\alpha)}\frac{L^{k-1}}{\Gamma((k-1)\alpha+1)}K\cdot \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma((k-1)\alpha + 1)}{\Gamma(k\alpha+1)}t^{k\alpha} \\
& = \frac{L^kt^{k\alpha}}{\Gamma(k\alpha+1)}K
\end{align}
と評価できるので, 任意の$k \in \mathbb{N}$に対して式\eqref{ODE:5}が成立することが示された. このことから, さらに, 任意の$k \in \mathbb{N}$に対して
\begin{align}
|u_{k+1}(t) - u_{k}(t)|
& \leqslant \frac{L^{k-1}t^{(k-1)\alpha}}{\Gamma((k-1)\alpha+1)}K \\
& \leqslant \frac{L^{k-1}T_0^{(k-1)\alpha}}{\Gamma((k-1)\alpha+1)}K \\
& \leqslant \frac{1}{\Gamma((k-1)\alpha+1)}K\left(\frac{LK\Gamma(1+\alpha)}{M}\right)^{k-1}
\end{align}
という評価が得られる. $A = \dfrac{LK\Gamma(1+\alpha)}{M}$とおくと,
\begin{align}
& u_1(t) + \{u_2(t) - u_1(t)\} + \{u_3(t) - u_2(t)\} + \cdots + \{u_{n+1}(t) - u_n(t)\} + \cdots \\
& \leqslant |u_1(t)| + |u_2(t) - u_1(t)| + |u_3(t) - u_2(t)| + \cdots + |u_{n+1}(t) - u_n(t)| + \cdots \\
& \leqslant \sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{t^k}{\Gamma(k+1)}\left|u_0^{(k)}\right| + K\left(1 + \frac{A}{\Gamma(\alpha+1)} + \cdots + \frac{A^{n-1}}{\Gamma((n-1)\alpha+1)} + \cdots \right\} \\
& \leqslant \max_{0 \leqslant k \leqslant m-1}\left|u_0^{(k)}\right|\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{\Gamma(k+1)} + K\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{\Gamma(\alpha n + 1)} \\
& \leqslant \max_{0 \leqslant k \leqslant m-1}\left|u_0^{(k)}\right| \exp\left(\frac{K\Gamma(\alpha+1)}{M}\right) + KE_{\alpha,1}(A) < \infty
\end{align}
と評価できる. ここで, $E_{\alpha,\beta}(z)=\sum_{k=0}^\infty\dfrac{z^k}{\Gamma(\alpha k+\beta)}$はMittag-Leffler関数と呼ばれる. 以上の議論より, 級数\eqref{ODE:4}はWeierstrassの優級数定理より一様に絶対収束することがわかるので, 関数列$\{u_n(t)\}$がある関数$u(t)$に一様収束することが示された. すなわち, 任意の$\varepsilon > 0$に対して, ある$n_0(\varepsilon) = n_0 \in \mathbb{N}$が存在し, $n \geqslant n_0$のとき
\begin{equation}
|u_n(t) - u(t)| < \varepsilon,\ \ \forall t \in [0,T_0]
\end{equation}
が成立する. 以下, 得られた$u(t)$が積分方程式\eqref{ODE:2}をみたしていることを確かめる. $f$のLipschitz連続性を用いると, $n \geqslant n_0(\varepsilon)$なる$n$に対して
\begin{align}
& \left|\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}f(s, u_n(s))\ ds - \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}f(s, u(s))\ ds\right| \\
& \leqslant \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}|f(s, u_n(s)) - f(s, u(s))|\ ds \\
& \leqslant \frac{L}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}|u_n(s) - u(s)|\ ds \\
& < \frac{L}{\Gamma(\alpha)}\frac{T_0^{\alpha}}{\alpha}\varepsilon \leqslant \frac{LK}{M}\varepsilon
\end{align}
と評価できる. よって,
\begin{align}
u_{n+1}(t)
& = \sum_{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{\Gamma(k+1)}u_0^{(k)} + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}f(s,u_n(s))\ ds \\
& = \sum_{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{\Gamma(k+1)}u_0^{(k)} + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}f(s,u(s))\ ds + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}\left(f(s,u_n(s)) - f(s, u(s))\right)\ ds
\end{align}
とし, $n \to \infty$とすれば, 左辺は$u(t)$に収束し, 右辺第3項は$0$になるので,
\begin{equation}
u(t) = \sum_{k=0}^{m-1}\frac{t^k}{\Gamma(k+1)}u_0^{(k)} + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}f(s,u(s))\ ds
\end{equation}
となり, 積分方程式\eqref{ODE:2}の解, すなわち問題\eqref{ODE:1}の解の存在性が示された. 次に, 一意性を示す.
問題\eqref{ODE:1}の2つの解を$u_1(t)$, $u_2(t)$とすると
\begin{align}
|u_1(t) - u_2(t)|
& \leqslant \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}|f(s, u_1(s)) - f(s, u_2(s))|\ ds \\
& \leqslant \frac{L}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}|u_1(s) - u_2(s)|\ ds
\end{align}
となる. よって, Gronwallの不等式より, $|u_1(t) - u_2(t)| = 0$すなわち$u_1(t) = u_2(t)$が得られる. 以上の議論より, 定理の証明が完了した.
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