Glasser's master theoremを被積分関数のグラフを通して考察する

\begin{align} S & = \int_{-\infty}^{\infty} \max(0, 1-|f(x)|) \dx \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \max(0, 1 - \left|x - \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}\right|) \dx \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \max(0, 1 - |x|) \dx \qquad (\because Glasser's \; master \; theorem) \\ & = 1 \end{align}

$y=t$に対して上側の領域を考えるとき、
\begin{align} S & = \int_{-\infty}^{\infty} \max\left(0, f\left(x + a - \sum_{i = 1}^{n}\frac{a_i}{x+b_i}\right) - t\right) \dx \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \max(0, f(x) - t) \dx \qquad (\because Glasser's \; master \; theorem) \\ \end{align}
この値は$a,n,\left\{a_i\right\}\left\{b_i\right\}$に依存せず、曲線$y=f(x)$と直線$y=t$に囲まれた領域のうち上側にある領域の面積を足し合わせた値と等しい。

$y=t$に対して下側の領域を考えるとき、
\begin{align} S & = \int_{-\infty}^{\infty} \max\left(0, t - f\left(x + a - \sum_{i = 1}^{n}\frac{a_i}{x+b_i}\right)\right) \dx \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \max(0, t - f(x)) \dx \qquad (\because Glasser's \; master \; theorem) \\ \end{align}
この値は$a,n,\left\{a_i\right\}\left\{b_i\right\}$に依存せず、曲線$y=f(x)$と直線$y=t$に囲まれた領域のうち下側にある領域の面積を足し合わせた値と等しい。

問題1の時と同じように$\alpha, \beta, \gamma$をおくと、
$$ \alpha + \beta + \gamma = 1 $$
より、
\begin{align} AB + CD + EF & = |-\gamma - \beta| + |-\alpha - \alpha| + |-\beta - \gamma| \\ & = 2|\beta + \gamma| + 2|\alpha| \\ & = 2(\beta + \gamma) + 2\alpha \qquad \left(\because \alpha \geq 0, -\beta \leq \gamma\right) \\ & = 2(\alpha + \beta + \gamma) \\ & = 2 \cdot 1 \\ & = 2 \end{align}

問題1で求めた値を引き続き$S$とおき、線分$AB$と$x$軸、線分$CD$と$x$軸、線分$EF$と$x$軸を平行な辺のうちの一組とする3つの長方形の面積の和を$S'$とおく。
$$ g(x) = \begin{cases} x & \text{if $x \leq 1$,} \\ 0 & \text{if $x > 1$,} \end{cases} $$
と置くと、
\begin{align} S' = 1 \cdot (AB + CD + EF) & = S + \int_{-\infty}^{\infty} g\left(\left|f(x)\right|\right) \d x \\ & = S + \int_{-\infty}^{\infty} g\left(|x|\right) \d x \\ & = 1 + 1 \\ & = 2 \end{align}
$$ \therefore AB + CD + EF = 2 $$