JMO2017 予選8

割と珍しい解き方？な気がするので共有します。(長さ追跡メイン)

考
え
た
い
人
の
た
め
に
ス
ペ
ー
ス
を
空
け
て
お
き
ま
す

解答

まず，$AX$は2円の根軸になっているので，方べきを考えたいですね．
$BF\cdot FE$=$DF\cdot FC(=AF\cdot FX)$より，$0< x<1$なる実数$x$を用いて$DF=5x,FE=6x$とおけます．
円周角による簡単な角度追跡から，$AD=AE$がわかり，$\triangle CAE～\triangle ABD$から$AD=AE=\sqrt{30}(1-x)$と計算できます．
ここで,角度追跡をすると$\triangle CAE～\triangle ABX$がわかるので，$AD$と$AE$を伸ばしたい！という気持ちになりますね．(そこまでならないかもしれない...)
$AD$と$BX$,$AE$と$CX$との交点をそれぞれ$P,Q$とすると，方べきの定理から$(DP=)EQ=\sqrt{30}x$がわかります．
ここで，$XD=3$の条件を使っていないことを思い出すと，$XD$を含む三角形と$XE$を含む三角形が相似になってほしいという気持ちになります．
ここでなんと，$\triangle XDF$と$XEQ$が相似になっているではありませんか！！！
ということで，$XE=EQ\cdot\frac{XD}{DF}=\sqrt{30}x\cdot\dfrac{3}{5x}=\dfrac{3\sqrt{30}}{5}$とわかります．

余談

なんか，これやったら解ける！！！っていう強い確信がなくただできることをやってたら解けちゃった感じなのでなんだか釈然としない感じでしたね...
ところで，もうすぐJMO予選ですね．僕はものすごく幾何が苦手なので最近は必死で幾何精進をしています．去年がCN優遇だったので今年はＧ優遇になりそうでかなり焦っています．
受ける方はお互い頑張りましょう．ではまた～