4!?_2=1352605460594688 ガンマ関数の一般化 (1^1^a * 2^2^a * ...)
定義
$\displaystyle n!?_a \coloneqq
\prod_{k=1}^n k^{k^a}$
$\displaystyle K(z,a) \coloneqq
\exp\!\qty({\zeta^{(1,0)}(-a,z)-\zeta'(-a)}) =
\exp\!\qty[\pdv a(\zeta(-a)-\zeta(-a,z))]$
$a=2$であるなら、
$\beginend{alignat}{2
&0!?_2 &&= 1!?_2 &&= 1 \\
&2!?_2 &&= 2^{2^2} &&= 16 \\
&3!?_2 &&= 2^{2^2}3^{3^2} &&= 314928 \\
&4!?_2 &&= 2^{2^2}3^{3^2}4^{4^2} &&= 1352605460594688
}$
となり急速に増大していきます。
また、$K{\qty(\dfrac12,2)}=\exp\!\dfrac{7\zeta(3)}{16\pi^2}$という非自明な結果も判明しました。
| 記号 | 意味 | マクロ/実装 |
|---|---|---|
| $(a)_n^\pm$ | 階乗冪 | |
| $\gamma_n,\gamma_n(z)$ | スティルチェス定数 | |
| $A$ | グレイシャー・キンケリンの定数 | |
| $K(z)$ | K関数 | |
| $\eta(s)$ | ディリクレのイータ関数 | |
| $\displaystyle\rprod$ | 正規化積 |
|
定理
関数方程式
$\beginend{alignat}{2 &K(1,a) &&= 1 \\ &K(z+1,a) &&= z^{z^a}K(z,a) \\ &K(mz,a) &&= m^{-\zeta(-a,mz)}e^{\lr({m^{a+1}-1})\zeta'(-a)} {\lr({\prod_{k=0}^{m-1} K\lr({z+\frac km,a})})^{m^a}} }$
3行目
フルヴィッツのゼータ関数の倍数公式$\displaystyle \zeta(s,mz) = m^{-s}\sum_{k=0}^{m-1} \zeta\lr({s,z+\frac km})\ \cdots(1)$
を用いて右辺の$\prod$を計算します。
$ \beginend{align}{ \ln\prod_{k=0}^{m-1} K\lr({z+\frac km,a}) &= \sum_{k=0}^{m-1} \ln K\lr({z+\frac km,a}) \\&= \frac\partial{\partial a}\sum_{k=0}^{m-1} \lr({\zeta(-a)-\zeta\lr({-a,z+\frac km})}) \\&= \frac\partial{\partial a}\lr({m\zeta(-a)-m^{-a}\zeta\lr({-a,mz})}) \quad\because (1) \\&= -m\zeta'(-a)+m^{-a}\lr({\ln m\ \zeta\lr({-a,mz})+ \zeta^{(1,0)}(-a,mz)}) \\&= -m\zeta'(-a)+m^{-a}\lr({\ln m\ \zeta\lr({-a,mz})+ \ln K(mz,a)+\zeta'(-a)}) \\&= \lr({m^{-a}-m})\zeta'(-a)+m^{-a}\lr({\ln m\ \zeta\lr({-a,mz})+ \ln K(mz,a)}) \\ \ln K(mz,a) &= \ln m\ \zeta\lr({-a,mz})+\lr({m^{a+1}-1})\zeta'(-a)+ m^a\ln\prod_{k=0}^{m-1} K\lr({z+\frac km,a}) }$
$\beginend{alignat}{2 &K(n,a) &&=(n-1)!?_a \\ &\frac{K(z+n,a)}{K(z,a)} &&= \prod_{k=0}^{n-1} (z+k)^{(z+k)^a} }$
$\displaystyle \ln K(z,a+1) = \frac{\zeta(-a-1)-\zeta(-a-1,z)}{a+1} + (a+1)\lr[{(z-1)\zeta'(-a)+\int_1^z \ln K(t,a)dt}]$
$ \beginend{align}{ \int_1^z \ln K(t,a)dt &= \int_1^z \lr({\zeta^{(1,0)}(-a,t)-\zeta'(-a)})dt \\&= (1-z)\zeta'(-a) - \frac\partial{\partial a}\int_1^z \zeta(-a,t)dt \\&= (1-z)\zeta'(-a) - \frac\partial{\partial a}\sum_{n=0}^\infty \frac{(z+n)^{a+1}-(n+1)^{a+1}}{a+1} \\&= (1-z)\zeta'(-a) - \frac\partial{\partial a}\frac{\zeta(-a-1,z)-\zeta(-a-1)}{a+1} \\&= (1-z)\zeta'(-a) + \frac{\ln K(z,a+1)}{a+1} + \frac{\zeta(-a-1,z)-\zeta(-a-1)}{(a+1)^2} }$
$\beginend{alignat}{2 &K(z,-1) &&= e^{\gamma_1-\gamma_1(z)} \\ &K(z,0) &&= \Gamma(z) \\ &K(z,1) &&= K(z) }$
1行目
$ \beginend{align}{ \ln\!\sahen &= \lim_{a\to-1} \pdv a(\zeta(-a)-\zeta(-a,z)) = \lim_{a\to-1} \pdv a\sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma_n-\gamma_n(z)}{n!}(a+1)^n \\&= \lim_{a\to-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma_{n+1}-\gamma_{n+1}(z)}{n!}(a+1)^n = \ln\!\uhen }$2行目:
まめけびのごきげん数学・物理【ζ6】 第3式
$\zeta^{(1,0)}(0,z) = \ln\Gamma(z)-\dfrac{\ln(2\pi)}2$
3行目
2行目を踏まえた上で定理2に$a=0$を代入すれば、$\beginend{align}{ \ln\!\sahen &= \zeta(-1) - \zeta(-1,z) + (z-1)\zeta'(0) + \int_1^z \ln K(t,0)dt \\&= -\frac1{12} - \lr[{-\frac1{12}-\binom z2}] + (z-1){\lr({-\frac{\ln(2\pi)}2})} + \int_1^z \ln\Gamma(t)dt \\&= \binom z2 + \frac{\ln(2\pi)(1-z)}2 + \int_1^z \ln\Gamma(t)dt \\&= \ln\!\uhen }$
乗積展開
$\displaystyle K(z,a) = \rprod_{n=0}^\infty \frac{(1+n)^{(1+n)^a}}{(z+n)^{(z+n)^a}}$
$\displaystyle K(z,a) = \prod_{n=2}^\infty \lr({\prod_{k=2}^n k^{(-1)^k\binom{n-1}{k-1}k^a}})^{\frac{(1-z)_n}{n!}}$
グラフを書いてみたところ$a\ge0$でないと成り立たないようです。
$\displaystyle \because \zeta(s,w)-\zeta(s,z) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{(z-w)_n}{n!}
\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\binom{n-1}k(z+k)^{-s}$
右辺を$\displaystyle z^{-s} =
\frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty
t^{s-1}e^{-zt}dt
$で積分表示します。
$z=\frac12$
$\displaystyle K{\lr({\frac12,a})} = \lr({2^{\eta(-a)}e^{\eta'(-a)}})^{2^{-a}} = 2^{2^{-a}\zeta(-a)} \exp\!\lr[{\lr({2^{-a}-2})\zeta'(-a)}]$
$ \beginend{align}{ \ln\!\sahen &= \lr({\zeta(-a)-\zeta{\lr({-a,\frac12})}})' = \lr({-2^{-a}\eta(-a)})' \\&= 2^{-a}\lr({\ln2\ \eta(-a)+\eta'(-a)}) = \ln\!\hen中 \\&= \ln\!\uhen \quad\because \eta(s) = \lr({1-2^{1-s}}) \zeta(s) }$
$\displaystyle K\lr({\frac12,a})^{2^a\big/\eta(-a)} K\lr({\frac12,-a-1})^{2^{-a-1}\big/\eta(a+1)} = 2^{1\big/\lr({2^a-1})-1\big/\lr({2^{a+1}-1})+2}\pi \exp\!\lr({-\frac\pi2\cot\frac{\pi a}2-\psi(a+1)})$
関数等式より、
$\beginend{align}{ \zeta(s) &= 2(2\pi)^{s-1}\sin\frac{\pi s}2\Gamma(1-s)\zeta(1-s) \\ \eta(s) &= \frac{1-2^{1-s}}{1-2^s}2(2\pi)^{s-1}\sin\frac{\pi s}2\Gamma(1-s)\eta(1-s) \\&= -\frac{1-2^{1-s}}{1-2^{-s}}\pi^{s-1}\sin\frac{\pi s}2\Gamma(1-s)\eta(1-s) \\ \asupplement{-3.5em}{対数微分して、} \\ \frac{\eta'(s)}{\eta(s)} &= \ln2\ \lr({\frac1{1-2^{1-s}}-\frac1{1-2^{-s}}})+\ln\pi+ \frac\pi2\cot\frac{\pi s}2-\psi(1-s)-\frac{\eta'(1-s)}{\eta(1-s)} \\ \asupplement{-3.5em}{よって、} \\ \ln\!\sahen &= \frac{2^a}{\eta(-a)}2^{-a}\lr({\ln2\ \eta(-a)+\eta'(-a)})+ \frac{2^{-a-1}}{\eta(a+1)}2^{a+1}\lr({\ln2\ \eta(a+1)+\eta'(a+1)}) \\&= 2\ln2+\frac{\eta'(-a)}{\eta(-a)}+\frac{\eta'(a+1)}{\eta(a+1)} \\&= \ln2\ \lr({2+\frac1{2^a-1}-\frac1{2^{a+1}-1}})+\ln\pi- \frac\pi2\cot\frac{\pi a}2-\psi(a+1) \\&= \ln\!\uhen }$
| $a$ | $K\lr({\frac12,a})$ | 値 |
|---|---|---|
| $2n\ (n\in\N_+)$ | $e^{(-1)^{n-1}\lr({2^{2n+1}-1})(2n)!\zeta(2n+1)\big/\lr[{2(4\pi)^{2n}}]}$ | N/A |
| $1$ | $\dfrac{A^{3/2}}{\sqrt[24]2\raise1pt{\sqrt[8]e}}$ | $1.24514\cdots$ |
| $0$ | $\sqrt\pi$ | $1.77245\cdots$ |
| $-\dfrac12$ | $\lr[{2^{5\raise2pt\big/\!\sqrt2-3}\lr({\pi e^{\pi/2+\gamma}})^{1\raise2pt\big/\!\sqrt2-1}}]^{\zeta(1/2)}$ | $2.37811\cdots$ |
| $-1$ | $2^{\ln2+2\gamma}$ | $3.59895\cdots$ |
| $-2$ | $\lr({\dfrac{2\sqrt[3]{\pi e^\gamma}}{A^4}})^{\pi^2}$ | $14.66742\cdots$ |
スターリングの公式
$\beginend{alignat}{2 &\ln K(z,a) &&= -\zeta'(-a)-\zeta(-a,z)\ln z+\sum_{n=0}^\infty \frac{B_{2n}}{(2n)!} \qty[\frac d{da}(a)_{2n-1}^-]z^{a+1-2n} \\ &K(z,a) &&= e^{-\zeta'(-a)}z^{-\zeta(-a,z)}{\qty(e^{-(a+1)^{-2}} \sum_{n=0}^\infty \frac{P_{2n}(a)}{(2n)!}z^{-2n})}^{z^{a+1}} }$
$\displaystyle P_0(a) = 1, P_{2n}(a) =
\sum_{k=1}^n \binom{2n-1}{2k-1}B_{2k}{\cdot}{\qty[\frac d{da}(a)_{2k-1}^-]}P_{2n-2k}(a)$
$P_2(a) = \dfrac16,P_4(a) = \dfrac{1+12a-6a^2}{60},\cdots$
この証明は厳密ではなく、厳密な証明には オイラーの和公式 等を使います。
1行目
『ゼータ関数を加速させよ』より、$\beginend{align}{ \zeta(-a,z) &= -\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n{\cdot}(a)_{n-1}^-}{n!}z^{a+1-n} \\ \frac d{da}\zeta(-a,z) &= -\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} \qty[\qty(\ln z+\frac d{da})(a)_{n-1}^-]z^{a+1-n} \\&= \zeta(-a,z)\ln z-\sum_{n=0}^\infty \frac{B_{2n}}{(2n)!} \qty[\frac d{da}(a)_{2n-1}^-]z^{a+1-2n} \\ \sahen &= \qty[\pdv a(\zeta(-a)-\zeta(-a,z))] = \uhen }$
2行目
$P_{2n}(a)$は$\qquad\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{P_{2n}(a)}{(2n)!}w^{2n} \coloneqq \exp\!\qty{\sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{(2n)!} \qty[\frac d{da}(a)_{2n-1}^-]w^{2n}}$
と定義されます。
これに$\qty(e^f)' = e^ff'$と 畳み込み を用いて漸化式を導出します。
$w=0$を代入して、$P_0(a) = 1$
両辺微分して、
$\beginend{align}{ \sum_{n=1}^\infty \frac{P_{2n}(a)}{(2n-1)!}w^{2n-1} &= \exp\!\qty{\sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{(2n)!} \qty[\frac d{da}(a)_{2n-1}^-]w^{2n}} \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{(2n-1)!} \qty[\frac d{da}(a)_{2n-1}^-]w^{2n-1} \\&= \qty(\sum_{n=0}^\infty \frac{P_{2n}(a)}{(2n)!}w^{2n}) {\qty{\sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{(2n-1)!} \qty[\frac d{da}(a)_{2n-1}^-]w^{2n-1}}} }$
畳み込みから漸化式が求まります。
$(a)_{-1}^-=\dfrac1{a+1}$等を用いれば$\sahen=\uhen$が確認できます。