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合流型超幾何関数, 演習問題と解答例: Whittaker&Watson 問題16.2
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E. T. Whittaker and G. N. Watson, "A Course of Modern Analysis, 5th ed. (2021)$^{[1]}$の演習問題を解くシリーズ
Chapter 16. The Confluent Hypergeometric Function
16.8 Miscellaneous examples
Example 16.2
Problem
Show that
\begin{equation}
M_{k,m}(z)=z^{\frac{1}{2}+m}e^{-\frac{1}{2}z}\lim_{\rho\to\infty}F(\frac{1}{2}+m-k,\frac{1}{2}+m-k+\rho; 2m+1; \frac{z}{\rho})
\end{equation}
略解
以下の関係式$^{[1,2]}$を用いて、$\lim_{\rho\to\infty}(1-zt/\rho)^{-\rho-m+k-1/2}=e^{zt}$に注意すれば自明。
超幾何関数の積分表示
\begin{equation} F(a,b,c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}dt, 0<\Re{a}<\Re{c},|z|<1 \end{equation}
第一種合流型超幾何関数（Kummer関数）の積分表示
\begin{equation} {}_1F_1(a,c;z)=M(a,c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}e^{tz}ds, \Re{c}>\Re{a}>0 \end{equation}
Kummer関数とWhittaker関数の関係
\begin{equation} M_{k,m}(z)=e^{-\frac{1}{2}z}z^{m+\frac{1}{2}} {}_1F_1(m-k+\frac{1}{2},1+2m;z) \end{equation}
参考文献
[1]
E.T. Whittaker, G. N. Watson, and V. H. Moll, A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 2021
[2]
R. Beals and R. Wong, Special Functions: A Graduate Text, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, 2010
投稿日：2023年12月16日
更新日：2023年12月17日
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特殊関数の記事をメインに投稿します。私の専攻は数学ではなく物性理論なので、厳密性には拘らず、応用数学・物理数学として特殊関数を扱いたいと思います。
最終学歴：東京大学大学院 修了、博士（工学）
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