大学数学基礎解説

反復積分で遊んでみた

反復積分,積分,ｖ（＾＿＾ｖ）♪

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はじめに

どうも、色々やる数狂徒です。
積分しましょう。

ここでは等式を示すことができたら「ｖ（＾＿＾ｖ）♪」と書くことにします。理由は特にありません。

ぷえ〜

今回扱う関数たち

\begin{align} \zeta(s_1,…,\bar s_i,…,s_r)&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{(-1)^{n_i}}{n_1^{s_1}\cdots n_i^{s_i}\cdots n_r^{s_r}}\\ t(s)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^s}\\ \beta(s)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s} \end{align}

今回示すもの

$\displaystyle -\zeta(\bar2)=\frac{1}{2}\zeta(2)=\frac{\pi^2}{12}=\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1}$
$\displaystyle \zeta(1,\bar2)=\frac{1}{8}\zeta(3)=\int_0^1\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1+t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1}$
$\displaystyle t(2)=\frac{\pi^2}{8}=\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t^2}$
$\displaystyle \beta(2)=\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1^2}$
$\displaystyle \zeta(3)=-\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{\ln(1-t_1)}{t_1}dt_1$

積分祭り

この記事では色々な反復積分を級数にして遊んでみます。
反復積分を知らない方はこちらをご覧ください。
MZVの反復積分表示は有名だし、今回はノータッチで(知らない方はこちらをご覧ください)

$\displaystyle -\zeta(\bar2)=\frac{1}{2}\zeta(2)=\frac{\pi^2}{12}=\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1}$

\begin{align} \int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1}&=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}t_1^{n-1}dt_1\\&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\int_0^1\frac{t_2^{n}}{t_2}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \end{align}
より上式を得る
ｖ（＾＿＾ｖ）♪

$\displaystyle \zeta(1,\bar2)=\frac{1}{8}\zeta(3)=\int_0^1\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1+t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1}$

\begin{align} \int_0^1\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1+t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1}&=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\int_0^1\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1+t_2}\int_0^{t_2}t_1^{n-1}dt_1\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\int_0^1\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{t_2^n}{1+t_2}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{n+m}\int_0^1\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}t_2^{n+m-1}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{n(n+m)^2}\\ &=\sum_{0< n_1< n_2}\frac{(-1)^{n_2}}{n_1n_2^2} \end{align}
より上式を得る
ｖ（＾＿＾ｖ）♪

$\displaystyle t(2)=\frac{\pi^2}{8}=\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t^2}$

\begin{align} \int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t^2}&=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}t_1^{2n-2}dt_1\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)}\int_0^1\frac{t_2^{2n-1}}{t_2}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2} \end{align}
より上式を得る
ｖ（＾＿＾ｖ）♪

一般化できそうですね。
やりましょう。

$\colorbox{cyan}{更新予定}$

$\displaystyle \beta(2)=\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1^2}$

\begin{align} \int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1^2}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)}\int_0^1\frac{t_2^{2n-1}}{t_2}dt_2\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^2}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} \end{align}
より上式を得る
ｖ（＾＿＾ｖ）♪

$\displaystyle \zeta(3)=-\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{\ln(1-t_1)}{t_1}dt_1$

\begin{align} \int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{\ln(1-t_1)}{t_1}dt_1&=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}t_1^{n-1}dt_1\\ &=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} \end{align}

これは多重対数関数の性質からも示せるのであまり面白みはないかな