反復積分で遊んでみた
目次
・はじめに
・ぷえ〜
・積分祭り
・最後に
はじめに
どうも、色々やる数狂徒です。
積分しましょう。
ここでは等式を示すことができたら「ｖ（＾＿＾ｖ）♪」と書くことにします。理由は特にありません。
ぷえ〜
\begin{align} \zeta(s_1,…,\bar s_i,…,s_r)&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{(-1)^{n_i}}{n_1^{s_1}\cdots n_i^{s_i}\cdots n_r^{s_r}}\\ t(s)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^s}\\ \beta(s)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s} \end{align}
$\displaystyle -\zeta(\bar2)=\frac{1}{2}\zeta(2)=\frac{\pi^2}{12}=\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1}$
$\displaystyle \zeta(1,\bar2)=\frac{1}{8}\zeta(3)=\int_0^1\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1+t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1}$
$\displaystyle t(2)=\frac{\pi^2}{8}=\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t^2}$
$\displaystyle \beta(2)=\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1^2}$
$\displaystyle \zeta(3)=-\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{\ln(1-t_1)}{t_1}dt_1$
積分祭り
この記事では色々な反復積分を級数にして遊んでみます。
反復積分を知らない方は
こちら
をご覧ください。
MZVの反復積分表示は有名だし、今回はノータッチで(知らない方は
こちら
をご覧ください)
$\displaystyle -\zeta(\bar2)=\frac{1}{2}\zeta(2)=\frac{\pi^2}{12}=\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1}$
\begin{align}
\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1}&=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}t_1^{n-1}dt_1\\&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\int_0^1\frac{t_2^{n}}{t_2}dt_2\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}
\end{align}
より上式を得る
ｖ（＾＿＾ｖ）♪
$\displaystyle \zeta(1,\bar2)=\frac{1}{8}\zeta(3)=\int_0^1\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1+t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1}$
\begin{align}
\int_0^1\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1+t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1}&=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\int_0^1\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{dt_2}{1+t_2}\int_0^{t_2}t_1^{n-1}dt_1\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\int_0^1\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}\frac{t_2^n}{1+t_2}dt_2\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{n+m}\int_0^1\frac{dt_3}{t_3}\int_0^{t_3}t_2^{n+m-1}dt_2\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{n(n+m)^2}\\
&=\sum_{0< n_1< n_2}\frac{(-1)^{n_2}}{n_1n_2^2}
\end{align}
より上式を得る
ｖ（＾＿＾ｖ）♪
$\displaystyle t(2)=\frac{\pi^2}{8}=\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t^2}$
\begin{align}
\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t^2}&=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}t_1^{2n-2}dt_1\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)}\int_0^1\frac{t_2^{2n-1}}{t_2}dt_2\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}
\end{align}
より上式を得る
ｖ（＾＿＾ｖ）♪
一般化できそうですね。
やりましょう。
$\colorbox{cyan}{更新予定}$
$\displaystyle \beta(2)=\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1^2}$
\begin{align}
\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1+t_1^2}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)}\int_0^1\frac{t_2^{2n-1}}{t_2}dt_2\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^2}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}
\end{align}
より上式を得る
ｖ（＾＿＾ｖ）♪
$\displaystyle \zeta(3)=-\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{\ln(1-t_1)}{t_1}dt_1$
\begin{align} \int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{\ln(1-t_1)}{t_1}dt_1&=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^1\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}t_1^{n-1}dt_1\\ &=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} \end{align}
これは多重対数関数の性質からも示せるのであまり面白みはないかな
最後に
余余余さんの記事にも$t$多重についての等式があるのですが、彼はあまり$t$多重の導出なんかは教えてくれないので今回自分で出してみました。😎(基本的な反復積分の扱い方とかシャッフル積の扱い方は教えてくれました)
反復積分を使うとかっちょいい級数を簡単に扱うことができて楽しいですね。