ζ(2)の表示の証明

今回の記事では前回の記事の$5$行目の表示を示します。

以下簡単のために右辺の級数を$R(2)$と表します。
$\sigma$と表す文献もあるようですが僕が最初に見たのがNKSさんの記事だったのでそこで使われていた$R$という記法を用います。

$\zeta(2)=3R(2)$
\begin{align} \sum_{0< n< m}\frac{n!m!}{nm(n+m)!}&=\sum_{0< n}\frac{n!}{n}\frac{n!}{n(2n)!}…(1)\\&=\sum_{0< n}\frac{1}{n^2\binom{2n}{n}} \end{align}
$\displaystyle (1):\sum_{a< m}\frac{m!}{m(n+m)!}=\frac{a!}{n(a+n)!}$
\begin{align} 2R(2)&=\sum_{0< n< m}\frac{n!m!}{nm(n+m)!}+R(2)\\&=\sum_{0< n\le m}\frac{n!m!}{nm(n+m)!}\\&=\sum_{m=1}^\infty\frac{m!}{m}\sum_{n=1}^m\frac{n!}{n(n+m)!}\\&=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty\frac{m!}{m}\left(\frac{n!}{n(n+m)!}-\frac{(n+m)!}{(n+m)(n+2m)!} \right)\\&=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty\frac{m!}{m}\frac{n!}{n(n+m)!}-\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty\frac{m!}{m}\frac{(n+m)!}{(n+m)(n+2m)!}\\&=\sum_{m=1}^\infty\frac{m!}{m}\frac{1}{mm!}-\sum_{0< n< m}\frac{n!}{n}\frac{m!}{m(n+m)!}\\&=\zeta(2)-\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n}\frac{n!}{n(2n)!} \end{align}