AgarwalによるBarnesの第2補題のq類似

前回の記事 で示したBarnesの第1補題の$q$類似
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(q^{1-c+s},q^{1-d+s};q)_{\infty}}{(q^{a+s},q^{b+s};q)_{\infty}}\frac{\pi q^s}{\sin\pi(c-s)\sin\pi(d-s)}\,ds\\ &=\frac{q^c}{\sin\pi(d-c)}\frac{(q,q^{1+c-d},q^{d-c},q^{a+b+c+d};q)_{\infty}}{(q^{a+c},q^{a+d},q^{b+c},q^{b+d};q)_{\infty}} \end{align}
において, $c\mapsto n,d\mapsto d-a-b$とすると
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(q^{1-n+s},q^{1-d+a+b+s};q)_{\infty}}{(q^{a+s},q^{b+s};q)_{\infty}}\frac{\pi q^s}{\sin\pi s\sin\pi(d-a-b-s)}\,ds\\ &=-\frac{q^n}{\sin\pi(d-a-b)}\frac{(q,q^{1+n+a+b-d},q^{d-a-b-n},q^{d+n};q)_{\infty}}{(q^{a+n},q^{b+n},q^{d-a},q^{d-b};q)_{\infty}}\\ &=-\frac{1}{\sin\pi(d-a-b)}\frac{(q,q^{1+a+b-d},q^{d-a-b},q^{d};q)_{\infty}}{(q^{a},q^{b},q^{d-a},q^{d-b};q)_{\infty}}\frac{(q^a,q^b;q)_n}{(q^d;q)_n}(-q^{d-a-b})^nq^{-\binom n2} \end{align}
となる. 両辺に
\begin{align} \frac{(q^c;q)_n}{(q,q^e;q)_n}(-q^{e-c})^nq^{\binom n2} \end{align}
を掛けて足し合わせると
\begin{align} &-\frac{1}{\sin\pi(d-a-b)}\frac{(q,q^{1+a+b-d},q^{d-a-b},q^{d};q)_{\infty}}{(q^{a},q^{b},q^{d-a},q^{d-b};q)_{\infty}}\Q32{q^a,q^b,q^c}{q^d,q^e}{q^{d+e-a-b-c}}\\ &=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(q^{1+s},q^{1-d+a+b+s};q)_{\infty}}{(q^{a+s},q^{b+s};q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q^c;q)_n}{(q,q^e;q)_n}(-q^{e-c})^nq^{\binom n2}(q^{1-n+s};q)_n\frac{\pi q^s}{\sin\pi s\sin\pi(d-a-b-s)}\,ds\\ &=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(q^{1+s},q^{1-d+a+b+s};q)_{\infty}}{(q^{a+s},q^{b+s};q)_{\infty}}\Q21{q^{-s},q^c}{q^e}{q^{e-c+s}}\frac{\pi q^s}{\sin\pi s\sin\pi(d-a-b-s)}\,ds\\ &=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(q^{1+s},q^{1-d+a+b+s};q)_{\infty}}{(q^{a+s},q^{b+s};q)_{\infty}}\frac{(q^{e-c},q^{e+s};q)_{\infty}}{(q^e,q^{e-c+s};q)_{\infty}}\frac{\pi q^s}{\sin\pi s\sin\pi(d-a-b-s)}\,ds \end{align}
を得る. ここで, 最後の等号は Heineの和公式 による.　ここで, $d=c$とすると左辺もHeineの和公式より
\begin{align} &-\frac{1}{\sin\pi(c-a-b)}\frac{(q,q^{1+a+b-c},q^{c-a-b},q^c;q)_{\infty}}{(q^{a},q^{b},q^{c-a},q^{c-b};q)_{\infty}}\Q21{q^a,q^b}{q^e}{q^{e-a-b}}\\ &=-\frac{1}{\sin\pi(c-a-b)}\frac{(q,q^{1+a+b-c},q^{c-a-b},q^c;q)_{\infty}}{(q^{a},q^{b},q^{c-a},q^{c-b};q)_{\infty}}\frac{(q^{e-a},q^{e-b};q)_{\infty}}{(q^e,q^{e-a-b};q)_{\infty}}\\ \end{align}
となるから,
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(q^{1+s},q^{1-c+a+b+s},q^{e+s};q)_{\infty}}{(q^{a+s},q^{b+s},q^{e-c+s};q)_{\infty}}\frac{\pi q^s}{\sin\pi s\sin\pi(c-a-b-s)}\,ds\\ &=-\frac{1}{\sin\pi(c-a-b)}\frac{(q,q^{1+a+b-c},q^{c-a-b},q^c,q^{e-a},q^{e-b};q)_{\infty}}{(q^{a},q^{b},q^{c-a},q^{c-b},q^{e-c},q^{e-a-b};q)_{\infty}} \end{align}
を得る. ここで, $1-c+a+b\mapsto d,e-c\mapsto c$とすると

\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(q^{1+s},q^{d+s},q^{e+s};q)_{\infty}}{(q^{a+s},q^{b+s},q^{c+s};q)_{\infty}}\frac{\pi q^s}{\sin\pi s\sin\pi(1-d-s)}\,ds\\ &=-\frac{1}{\sin\pi(1-d)}\frac{(q,q^d,q^{1-d},q^{e-a},q^{e-b},q^{e-c};q)_{\infty}}{(q^{a},q^{b},q^{c},q^{e-b-c},q^{e-a-c},q^{e-a-b};q)_{\infty}}\\ &=-\frac{1}{\sin\pi d}\frac{(q,q^d,q^{1-d},q^{e-a},q^{e-b},q^{e-c};q)_{\infty}}{(q^{a},q^{b},q^{c},q^{1+a-d},q^{1+b-d},q^{1+c-d};q)_{\infty}} \end{align}
となって示すべき等式を得る.