相加平均，相乗平均，調和平均の大小関係の一般化

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はじめに

$a_{1}, \dots, a_{n}$ を正の実数とするとき， $\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}} \leq (a_{1} \dots a_{n})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}$

という不等式が成り立つことはよく知られている．左辺，中辺，右辺はそれぞれ $a_{1}, \dots, a_{n}$ の調和平均，相乗平均，相加平均と呼ばれる．

一方で解析をちょっとかじったことのある人なら， ${‖ f ‖}_{p} \leq μ (X)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} {‖ f ‖}_{q}$ という不等式を目にしたことがあるだろう．ここで， $(X, Σ, μ)$ は $μ (X) < \infty$ を満たす測度空間， $f$ は $X$ 上の可測関数， $1 \leq p < q \leq \infty$ である．

この記事の目標は，一見全く関係ないように見えるこれら2つの不等式の共通の一般化となる定理を証明することである．

関数 $M_{f} (t)$

以下，確率空間 $(X, Σ, μ)$ および $X$ 上の正値可測関数 $f$ を固定する．なお， $\log \circ f$ は有界であると仮定しておく．

関数

M_{f} (t)

$M_{f} : R \to R$ を $M_{f} (t) = \begin{array}{r} {\begin{cases} (\int_{X} f^{t} d μ)^{\frac{1}{t}} & (t \neq 0) \\ \exp (\int_{X} (\log f) d μ) & (t = 0) \end{cases} \end{array}$ によって定める．

$p \in [1, \infty)$ のとき， $M_{f} (p)$ は $f$ の $L_{p}$ ノルム ${‖ f ‖}_{p}$ に他ならない．

$X = {1, \dots, n}, Σ = 2^{X}, μ ({k}) = \frac{1}{n} (k = 1, \dots, n)$ であるときを考え， $f (k) = a_{k} (k = 1, \dots, n)$ とおく．このとき， $M_{f} (t) = \begin{array}{r} {\begin{cases} {(\frac{a_{1}^{t} + \dots + a_{n}^{t}}{n})}^{\frac{1}{t}} & (t \neq 0) \\ (a_{1} \dots a_{n})^{\frac{1}{n}} & (t = 0) \end{cases} \end{array}$ である．よって， $M_{f} (- 1), M_{f} (0), M_{f} (1)$ はそれぞれ $a_{1}, \dots, a_{n}$ の調和平均，相乗平均，相加平均に他ならない．

$M_{f}$ は $R$ 上の連続関数である．

$0$ 以外の点で $M_{f}$ が連続であることは有界収束定理を使って容易に示せる．よって $M_{f}$ が $0$ で連続であることを示す．

関数 $g : R \to R$ を $g (t) = \int_{X} f^{t} d μ$ によって定める．このとき， $g$ は $R$ 上で微分可能で $g^{'} (t) = \int_{X} f^{t} \log f d μ$ となる．よって，
$\begin{aligned} lim_{t \to 0} M_{f} (t) & = lim_{t \to 0} \exp (\frac{1}{t} \log (g (t))) \\ = \exp ({\frac{d}{d t} \log (g (t)) |}_{t = 0}) \\ = \exp (\frac{g^{'} (0)}{g (0)}) \\ = \exp (\int_{X} \log f d μ) \\ = M_{f} (0) \end{aligned}$
となり， $t = 0$ での連続性も従う．

$M_{f}$ の単調増加性

この記事の目標は以下の定理を証明することである．

$M_{f}$ は $R$ 上で単調増加である．

命題1より $M_{f}$ は $R$ 上連続で，また $0$ 以外の点では微分可能であるから， $t \neq 0$ に対し $M_{f}^{'} (t) \geq 0$ であることを示せば十分である．

$t \neq 0$ に対し， $M_{f}^{'} (t) = \frac{1}{t^{2}} (\frac{\int_{X} f^{t} \log f^{t} d μ}{\int_{X} f^{t} d μ} - \log (\int_{X} f^{t} d μ)) M_{f} (t)$ が成り立つ．ゆえに， $\int_{X} f^{t} \log f^{t} d μ \geq (\int_{X} f^{t} d μ) \log (\int_{X} f^{t} d μ)$ を示せばよいが，これは関数 $h (t) = t \log t$ が凸関数であることから，Jensenの不等式より従う．

上の定理より，特に $M_{f} (- 1) \leq M_{f} (0) \leq M_{f} (1)$ である．この不等式を $X = {1, \dots, n}, Σ = 2^{X}, μ ({k}) = \frac{1}{n} (k = 1, \dots, n)$ の場合に適用することによって相加平均，相乗平均，調和平均の大小関係を得る．

$a_{1}, \dots, a_{n}$ を正の実数とするとき， $\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}} \leq (a_{1} \dots a_{n})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}$ が成り立つ．