相加平均，相乗平均，調和平均の大小関係の一般化
はじめに
$a_1,\ldots,a_n$を正の実数とするとき，$$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\leq (a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}\leq \frac{a_1+\cdots+a_n}{n} $$
という不等式が成り立つことはよく知られている．左辺，中辺，右辺はそれぞれ$a_1,\ldots,a_n$の調和平均，相乗平均，相加平均と呼ばれる．
一方で解析をちょっとかじったことのある人なら，$$\left\| f \right\|_p \leq \mu(X)^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\left\| f \right\|_q $$という不等式を目にしたことがあるだろう．ここで，$(X,\Sigma,\mu)$は$\mu(X) < \infty$を満たす測度空間，$f$は$X$上の可測関数，$1\leq p < q \leq \infty $ である．
この記事の目標は，一見全く関係ないように見えるこれら2つの不等式の共通の一般化となる定理を証明することである．
関数$M_f(t)$
以下，確率空間$(X,\Sigma,\mu)$および$X$上の正値可測関数$f$を固定する．なお，$\log\circ f$は有界であると仮定しておく．
$M_f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$を$$M_f(t)= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ( \int_X f^td\mu )^{\frac{1}{t}} &(t\neq0) \\ \exp(\int_X(\log f)d\mu)&(t=0) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$によって定める．
$p\in [1,\infty)$のとき，$M_f(p)$は$f$の$L_p$ノルム$\left \| f \right \|_p$に他ならない．
$X=\{1,\ldots,n\}, \Sigma=2^{X}, \mu(\{k\})=\frac{1}{n}\;(k=1,\ldots,n)$であるときを考え，$f(k)=a_k \;(k=1,\ldots,n)$とおく．このとき，$$M_f(t)= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac{a_1^t+\cdots+a_n^t}{n}\right)^{\frac{1}{t}} &(t\neq0) \\ (a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}&(t=0) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$である．よって，$M_f(-1), M_f(0), M_f(1)$はそれぞれ$a_1,\ldots,a_n$の調和平均，相乗平均，相加平均に他ならない．
$M_f$は$\mathbb{R}$上の連続関数である．
$0$以外の点で$M_f$が連続であることは有界収束定理を使って容易に示せる．よって$M_f$が$0$で連続であることを示す．
関数$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$を$g(t)=\int_Xf^td\mu$によって定める．このとき，$g$は$\mathbb{R}$上で微分可能で$ g'(t)=\int_Xf^t\log f d\mu$となる．よって，
$\begin{align}
\lim_{t \to 0}M_f(t) &= \lim_{t \to 0}\exp\left(\frac{1}{t}\log(g(t))\right) \\
&= \exp\left(\left.\frac{d}{dt}\log(g(t))\right|_{t=0}\right) \\
&= \exp\left(\frac{g'(0)}{g(0)}\right)\\
&= \exp\left(\int_X \log fd\mu\right)\\
&= M_f(0)
\end{align}$
となり，$t=0$での連続性も従う．
$M_f$の単調増加性
この記事の目標は以下の定理を証明することである．
$M_f$は$\mathbb{R}$上で単調増加である．
命題1より$M_f$は$\mathbb{R}$上連続で，また$0$以外の点では微分可能であるから，$t\neq 0$に対し$M_f'(t)\geq 0$であることを示せば十分である．
$t\neq0$に対し，$$M_f'(t) = \frac{1}{t^2}\left(\frac{\int_Xf^t\log f^td\mu}{\int_Xf^td\mu}-\log\left(\int_X f^td\mu\right)\right)M_f(t) $$が成り立つ．ゆえに，$$\int_Xf^t\log f^td\mu\geq\left(\int_Xf^t d\mu\right)\log\left(\int_Xf^td\mu\right) $$を示せばよいが，これは関数$h(t)=t\log t$が凸関数であることから，Jensenの不等式より従う．
上の定理より，特に$M_f(-1)\leq M_f(0)\leq M_f(1)$である．この不等式を$X=\{1,\ldots,n\}, \Sigma=2^{X}, \mu(\{k\})=\frac{1}{n}\;(k=1,\ldots,n)$の場合に適用することによって相加平均，相乗平均，調和平均の大小関係を得る．
$a_1,\ldots,a_n$を正の実数とするとき，$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\leq (a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}\leq \frac{a_1+\cdots+a_n}{n}$が成り立つ．
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