Γ関数の積分と級数の関係に関する予想
\begin{eqnarray}
A_n,a_n,B_n,b_n∈\mathbb{R}\\
p,q,r,s∈\mathbb{N}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{\prod_{n_1=1}^{p}Γ(a_{n_1}+x)\prod_{n_2=1}^{q}Γ(b_{n_2}-x)}{\prod_{n_3=1}^{r}Γ(A_{n_3}+x)\prod_{n_4=1}^{s}Γ(B_{n_4}-x)}e^{itx}dx=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\prod_{n_1=1}^{p}Γ(a_{n_1}+n)\prod_{n_2=1}^{q}Γ(b_{n_2}-n)}{\prod_{n_3=1}^{r}Γ(A_{n_3}+n)\prod_{n_4=1}^{s}Γ(B_{n_4}-n)}e^{itn}
\end{eqnarray}
反例はあるが,ではどのような
$p,q,r,s,A_n,a_n,B_n,b_n$でこれは成り立つのか
僕の考え
微分方程式を考えてみた.
\begin{eqnarray}
I(t):&=&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\prod_{n_1=1}^{p}Γ(a_{n_1}+x)\prod_{n_2=1}^{q}Γ(b_{n_2}-x)}{\prod_{n_3=1}^{r}Γ(A_{n_3}+x)\prod_{n_4=1}^{s}Γ(B_{n_4}-x)}e^{itx}dx\\
S(t):&=&\sum_{n=-\infty}^{\infty}
\frac{\prod_{n_1=1}^{p}Γ(a_{n_1}+n)\prod_{n_2=1}^{q}Γ(b_{n_2}-n)}{\prod_{n_3=1}^{r}Γ(A_{n_3}+n)\prod_{n_4=1}^{s}Γ(B_{n_4}-n)}e^{itn}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\prod_{n_1=1}^{p}(a_n+x)\prod_{n_4=1}^{s}(B_{n_4}-x-1)&=&\sum_{k_1=0}^{p+s}c_{k_1} x^{k_1}\\
\prod_{n_3=1}^{r}(A_{n_3}-1+x)\prod_{n_2=1}^{q}(b_{n_2}-x)&=&\sum_{k_2=0}^{q+r}C_{k_2} x^{k_2}
\end{eqnarray}
とした時,
\begin{eqnarray}
\sum_{k_1=0}^{r+q}C_{k_1}(-i)^{k_1}f^{(k_1)}(t)=e^{it}\sum_{k_2=0}^{p+s}c_{k_2}(-i)^{k_2}f^{(k_2)}(t)
\end{eqnarray}
をI,Sは満たす.
微分方程式の知識は全くないので
I=Sを言うにはどのような条件が必要なのかがわからない.
なぜこれを考えたのか
先ず次が成り立つ,
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^{\infty}\binom{n}{x}\binom{m}{x}\binom{n+m+x}{x}dx
=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\binom{n }{k}\binom{m}{k}\binom{n+m+k}{k}=\binom{n+m}{n}^{2} (n≥m,n,m∈\mathbb{N})
\end{eqnarray}
またNKSさんの投稿から次がわかる.
① https://twitter.com/multiple_zeta/status/1717042855846482230?t=ji4ZJUp5sUATfjodEsHgNA&s=19
② https://twitter.com/multiple_zeta/status/1717056021632557424?t=ji4ZJUp5sUATfjodEsHgNA&s=19
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{Γ(a+x)Γ(b+x)Γ(c-x)Γ(d-x)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{Γ(a+n)Γ(b+n)Γ(c-n)Γ(d-n)}…①
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{Γ(a+x)Γ(b+x)Γ(c+x)Γ(d-x)Γ(e-x)Γ(f-x)}dx≠\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{Γ(a+n)Γ(b+n)Γ(c+n)Γ(d-n)Γ(e-n)Γ(e-n)}…②
\end{eqnarray}
湧水さんのかなり前の記事ではp=q=0,r=s=1についてI,S両者求めることによりI=Sを示している.
また僕が前に解いた下の積分においても
krutrさんが面白い例を挙げてくれた.
https://twitter.com/krutr_y_tus/status/1717015907288129878?t=aNO_E3xrbTFAuc_bZDx8Og&s=19
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^x}{Γ(1+x)}e^{-(a-\ln a)x}dx=\frac{1}{a-1}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^n}{n!}(xe^{-x})^n=\frac{1}{1-x}
\end{eqnarray}
また,Γ関数の引数のxがixなる積分と級数の関係性については超幾何級数と関係してくることがわかった.
例えばで2次の超幾何級数との関係を載せておく.
これらはRamanujan's Master Theoremからわかる.
\begin{eqnarray}
_2F_1\left[ a,b;c;z\right]=\frac{Γ(c)}{2πiΓ(a)Γ(b)}\int_{-x-i\infty}^{-x+\infty}\frac{Γ(a+t)Γ(b+t)}{Γ(c+t)}Γ(-t)(-z)^t dt\\
\Re a>x>0,\Re c>x>0,\Re b>\Re a+\Re c
\end{eqnarray}
湧水さんが他にもガンマ関数の積分をまとめている記事を見つけました.
いつか解いてみます.
これらのようにΓ関数の積分と級数には何かしら関係性があるように思う.
留数定理や微分方程式の観点から考えてみたという感じです.
示せた方は是非教えてもらいたいです.