私の考えた超限帰納法の解説

私の考えた超限帰納法の解説

初めに

超限帰納法はインチキ臭い理論ですが、私が実際に成り立つ超限帰納法を考えました。
ですので、一般的な超限帰納法とは違います。

超限帰納法とは何か

単調増加の数列で、指数関数のように各項が下に凸の全域関数に従うもので表される何かの条件を満たす数が無限にあることを証明するために使うのが超限帰納法です。
拙作の
「双子素数が無限にあることの証明」に類似した方法を使います。

数列の全ての隣り合った項の差が有限なら、数列の項は無限個ある。

条件$A$を満たす数列$a_n$の項$a_n$の後に数列の項が無限にあることを言うためには、ある項と隣り合った項の差$a_m-a_{m-1}=X_n$が有限であればよいです。
$(n,m∈N，a_m,X_n∈\mathbb{N})$
自然数の数列で有限個しか項がない場合、一番大きな項の後の差が無限大です。

ではどうやってそれを言うか。 まずある数の範囲$M-N(M,N∈\mathbb{N})$を考えます。$M,N$をある数列の項$b_m,b_{m-1}$だとすると、数列$b_m$が狭義単調増加、かつ数列が従う関数が下に凸の場合$m$を大きくしていくと、$M-N=c_k$も大きくなります。($b_m,m,k∈\mathbb{N},k$はさほど大きくない)
すると、十分に$M-N$が大きい時、必ずこの間に$a_l$が存在します。従って、証明するまでもなく$m>N_2(N_2∈\mathbb{N} )$の時$N< a_m< M$の範囲に$a_m$という項は存在します。
（この存在する理由に関しては後述）


今、数列は関数$f(m)$に従い、関数$f(m)$はある数式で表されます。
では今自明だと分かった$m>N_2$の範囲でなく、 $m\leqq N_2$の範囲で$a_n$が無限にあることを示しましょう。今$N_2$(本当はこれを$N$と置きたいが仕方がない) は、$a_n=o_n-N_2$と表せ、$o$を大きくすることで$N_2$も無限に大きくできるので、$N_2$はムチャクチャ大きいです。（それをどう数式で表すのか知りません。）
すると、ある項と隣り合った項の差$a_m-a_{m-1}=X_n$は
$\begin{eqnarray}&a_m-a_{m-1}& =o_m-o_{m-1}-N_2+N_{2_{-1}}\\ &&=X_n \end{eqnarray} $
ここで$o_m-o_{m-1}$は有限の値で置けます。さらに、
$-N_2+N_{2_{-1}}>0$、かつ
$a_m-a_{m-1}>0$となるように常に置けます。そうすると、$a_m-a_{m-1}$は有限の値で押さえられます。
なぜなら、
$a_m-a_{m-1} =o_m-o_{m-1}-N_2+N_{2_{-1}}$
と置ける上に、こう置いた時点で全ての変数が有限の範囲で定まってしまうからです。
置けるだけでよく、反証を示すには立式が不可能であることを示す必要があります。

$X_n$の下限は$0$、
$X_n$の上限は
$o_m-o_{m-1}$と$-N_2+N_{2_{-1}}$の差が極端に大きくない為、具体的に値を求めることはできませんが、上界があります。上限は無限大ではありません。
今証明することは、$X_n$が無限大でないことでしたね。

$M$と$N$の間に$a_n$が存在する理由

$M$と$N(M,N∈\mathbb{N},M\geqq N)$という数を出しましたね。 これはつまり、$M$と$N$の間に$a_n$が存在しなければ、存在するようになるまで実質無限に$N,M$を大きくできるということです。$(a_m,m,n∈N)$
つまりもっと簡単に言うと、 今$b_l$が存在して、$b_{l+1}$が存在して、その2つが$N$と$M$で、$N=100$億、$M=1$無量大数だとします。しかし、その間に$a_n$は存在しませんでした。これでは証明の完成を遂行できません。$(b_k,l,k∈\mathbb{N})$
そういう時は、$N=1.1$無量大数、$M=$グラハム数というようになるまで、$l$を大きくして間が更に広がるようにします。するとこれは、 「どこまでしか大きくしてはいけないという決まり」 はどこにもないので、無限に大きくできます。しかし$M-N$は、決して無限大にはなりません。
ですので、普通の数の性質を持ったようなごく一般的な数に限れば、必ず$a_n$は$N$と$M$の間に存在するということです。$a_m$と$a_{m-1}$の間$a_m-a_{m-1}=X_n$が有限なら、 無限に大きくできる$M-N>X_n$に必ずなるということです。