筆者が大学受験や塾バイトで蓄積してきた知識を整理したものである。なので、色々おかしいところがあるかもしれない。

入試定石集

今回は、大学受験でよく見る因数分解をまとめてみました。

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**定石**
- *因数分解の公式*
- *高次多項式の因数分解*
 - 複二次式
  - 次数下げ
  - 和と差の積の因数分解 
  - 有理根定理
 - その他
  - 有利根定理
- *その他の多項式* 
 - 交代式の因数分解
 - 最低次数でまとめる 
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&&&fml 因数分解の公式
$n$は自然数とする。
(1) $a^{2}\pm2ab+b^{2}=(a\pm b)^{2}$
(2) $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
(3) $a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}=(a\pm b)^{3}$
(4) ${\small a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)}$
(5) $a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})\quad (n\geq{2})$
(6) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}{}_{n}\mathrm{C}_{k}a^{n-k}b^{k}=(a+b)^{n}$
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&&&exc 忘れがちな因数分解の公式
以下の各式を因数分解しなさい。
(1) $x^{3}+8y^{3}+1-6xy$
(2) $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}$
&&&
(1)
\begin{align*}
x^{3}+8y^{3}+1-6xy&=x^{3}+(2y)^{3}+1^{3}-3\cdot x\cdot2y\cdot1\\
&=(x+2y+1)(x^{2}+4y^{2}-2xy-x-y+1).
\end{align*}

(2)
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}&=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}1^{n-k}\cdot1^{k}\\
&=(1+1)^{n}\\
&=2^{n}.
\end{align*}

&&&exc 高次多項式
以下の各式を因数分解しなさい。
(1) $x^{4}-13x^{2}+36$
(2) $x^{4}+4$
(3) $x^{3}-3x-2$
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**指針**

&&&def 高次多項式
定義 多項式$P$の最高次の次数が3次以上のとき、$P$を高次多項式という。以下、多項式$P$の最高次の次数を$\deg{P}$と表記する。
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&&&def 複二次式
定義 多項式$P$の任意の奇数次の係数が0であるとき、$P$を複二次式という。
&&&

&&&thm 因数定理
$P$を複素係数の多項式、$\alpha$を複素数とする。
以下は同値である。
- $P$が$\alpha$を根に持つ
- $P$が$x-\alpha$で割り切れる
**補足**　どの次数の係数も複素数のとき、その多項式を複素多項式という。
多項式に代入して$0$にするものをその多項式の根という。
&&&

&&&thm 有利根定理
$p, q \ (p\neq{0})$を整数とし、$p, q$は互いに素であるとする。また、$P$の最高次の係数を$a_{n}, $ $P$の定数項を$a_{0}$とする。このとき$P$が$\dfrac{q}{p}$を根にもつ、つまり$P\left(\dfrac{q}{p}\right)=0$ならば
$$\TextCenter
\dfrac{q}{p}=\pm\dfrac{a_{0}\mbox{の約数}}{a_{n}\mbox{の約数}}$$
である。
補足 有利根定理という、名前が正式なものかどうかは知らないが、便利なので使います。証明はいつかやろうかな。
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入試定石集

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