斎藤正彦-線形代数学

斎藤正彦 - 線形代数学　行間うめ

解いたものからチョコチョコ書き足していきます．学生のこしらえものなので間違いがあるかもしれません．不適切な言明や間違いなどありましたらごめんなさい

chapter 5

section 2

5.2.7

chapter 6

$\mathrm{\S }$1 線形空間と線形写像

6.1.8

$T(x)=Ax$とすると$T(x+y)=Ax+Ay=T(x)+T(y)$で表されるし，$T(\alpha x)=A(\alpha x)=\alpha Ax=\alpha T(x)$
$T(x)=x^{T}Ax$とかだと$T(\alpha x)={\alpha }^{2}T(x)$であるからこれは線形写像ではない．
$0$は$V$のゼロ元なので$0+x=x$
$T$の線形性より$T(x+0)=T(x)+T(0)$
また$T(x+0)=T(x)$より$T(x)=T(x)+T(0)$よって$T(0)$は$V^{\prime }$のゼロ元である

6.1.13

2. について$V\cong V^{\prime }$かつ$V^{\prime }\cong V^{″}$であるとは，$V$から$V^{\prime }$への同型写像$T_1$ また$V^{\prime }$から$V^{″}$への同型写像$T_2$が存在することを意味する．$V\cong V^{″}$を示すには，$V$から$V^{″}$への同型写像が存在することを示せば良い．ここで同型写像とはそれ自身が全単射であることだったから，$T_1,T_2$が共に全単射であればその合成写像$T_2\circ T_1$が全単射であることを示せば良い．これを示すのは容易である．例えば 引用先p3命題5.1.3

引用　東京女子大学-新國先生の講義資料
https://www.lab.twcu.ac.jp/~nick/lecture/2013/bijection.pdf

6.1.14

1. 行列を縦に並べ替えただけ．行列とベクトルはもれなく一対一対応するので同型である．
2. 1.1.14で確かめたように$K^n$から$K^m$への線形写像は $m\times n$行列による写像ともれなく一対一対応するので同型である
3. $x$の$n$次から$0$次までの係数を取り出すだけの作業．これももれなく一対一対応するため同型

$\mathrm{\S }$1の問題

問題1

(1)$||\mathbf{a}||=1$となる$\mathbf{a}\in S$に対して$\mathbf{b}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{a}$とすると$\mathbf{b}\in V$であり$||\mathbf{b}||=1$であるから$\mathbf{b}\in S$だが$||\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}||=||\mathbf{0}||=0$となり，$\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\notin S$．和について閉じていないので$S$は$V$の部分空間ではない
(2)$Y\in V,AYB=C$を仮定する．$X+Y\in V$について$A(X+Y)B=AXB+AYB=C+C$である．これは一般の$C$については成り立たないが，$C=O$の場合のみ成立する．以降$C=O$とする．つまり$S=\{X\in V;AXB=O\}$.
例えば$X=O$は$AXB=O$を満たすので$S\ne \varnothing$．$S$の元は和について閉じていることは上で確認した．任意の$\alpha \in K$について$A(\alpha X)B=\alpha AXB=\alpha O=O$である．以上で部分空間の定義を満たすことが確認できた．
(3)部分空間ではない．反例：$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$はどちらもdeterminantが$0$であるがこれらの和の行列式は$1$となる．
(4)$f=0$を用意すれば$S$が空集合でないことを確認できる．和と積については積分の線形性より示すことができる
(5)同じく$f=0$を用意すれば空集合でないことが確認できる．$g\in S,\alpha \in K$について和と積が閉じていることを確認できる．

問題2

(1)$0\in W\wedge 0\in U$であるため$W\cap U$は空集合ではない
$\alpha ,\beta \in K,x,y\in (W\cap U)\Rightarrow \alpha x,\beta y\in W\wedge \alpha x,\beta y\in U$
$\Rightarrow (\alpha x+\beta y)\in W\wedge (\alpha x+\beta y)\in U$
$\Rightarrow (\alpha x+\beta y)\in (W\cap U)$
となり和と積について閉じていることが示された
(2) (1)と同様に，$X$は空集合ではない．
$z_1,z_2\in X$とするとそれぞれ対応する$x_1,x_2\in W,y_1,y_2\in U$があって$z_1=x_1+y_1,z_2=x_2+y_2$とかける．そのため$z_1+z_2=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)$
$(x_1+x_2)\in W,(y_1+y_2)\in U$であるため$(z_1+z_2)\in X$である．
さらに$\alpha \in K$を考えると
$\alpha z_1=\alpha (x_1+y_1)=\alpha x_1+\alpha y_1$であり，$\alpha z_1$も$X$の元であることが確認できた

問題3

(1)Yes
$T(x+y)=(x+y|b)=(x|b)+(y|b)=T(x)+T(y)$
$T(\alpha x)=(\alpha x|b)=\alpha (x|b)=\alpha T(x)$
(2)No 反例:
$T(x+(-x))=||0||$
$T(x)+T(-x)=||x||+||x||$
$x=0$の時しか$T(x+(-x))=T(x)+T(-x)$が成り立たない
(3)$T(X+Y)=A(X+Y)B=AXB+AYB=T(X)+T(Y)$
$T(\alpha X)=A(\alpha X)B=\alpha AXB=\alpha T(X)$
(4)No 反例:
$T(\alpha X)=\alpha XA\alpha X={\alpha }^{2}T(X)$
ただし$A=O$の時のみ線形性が成り立つ
(5)No 反例:
$T\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+T\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=0$だが
$T(\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right))=T\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=1$

問題4

$T[\cdot ]$が何を表すかを考える．$T(\cdot )$が要素と要素を対応づけしていたのに対し$T[\cdot ]$は集合と集合の対応づけを行っている．
(1)$A$は$V$の部分空間だからそのゼロ元$0$を含み，$T(0)\in T[A]$それゆえに$T[A]\ne \varnothing$
次に$u,v\in T[A],\alpha \in K$を仮定する．$u,v$は$A$の何らかの要素の射影なので$u=T(x),v=T(y)$なる$x,y\in A$がある．$A$は部分空間を構成するので$x+y\in A$以上の事実から$u+v=T(x)+T(y)=T(x+y)=T(x+y)\in T[A]$また$\alpha u=\alpha T(x)=T(\alpha x)\in T[A]$であるから$T[A]$は部分空間を構成する
(2)$T(0)$は$V^{\prime }$のゼロ元であるから$T(0)\in P$それゆえ$0\in T^{-1}[P]$であり$T^{-1}[P]\ne \varnothing$
$x,y\in T^{-1}[P],\alpha \in K$とすると$u=T(x),v=T(y)$なる$u,v\in P$があって$T(x+y)=T(x)+T(y)=u+v\in P$だから$x+y\in T^{-1}[P]$また$T(\alpha x)=\alpha u\in P$であるから$\alpha u\in P$となる．以上の事実より$T^{-1}[P]$は部分空間を構成する