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自己紹介

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面白そうな数式を並べておきます。

定義

記号	名称、解説
$δ_{a, b}$	クロネッカーのデルタ
$K_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$	連分数
$σ (n)$	約数関数
$_{r} F_{s} [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}; z]$	超幾何関数
$P$	素数全体の集合
$ϖ$	レムニスケート周率
$ζ (s)$	多重ゼータ値
$ζ^{⋆} (s)$	多重ゼータスター値

定理（著者）

定理名をクリックすれば記事に飛びます。
信頼性に疑念がある式は赤で着色してあります。

q-ガウスの連分数

$\begin{aligned} \frac{\sqrt[8]{2} - 1}{\sqrt[8]{2} + 1} & = K_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2 \sinh ((2 n + 1) π)} \\ \tan \frac{π}{48} & = K_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2 \cosh \frac{(2 n + 1) π \sqrt{3}}{2}} \\ \frac{1}{\sqrt[4]{2}} & = K_{n = 0}^{\infty} \frac{\cosh^{2} \frac{n π}{4}}{\sinh \frac{(2 n + 1) π}{4}} \\ \frac{\sqrt[4]{2} - 1}{\sqrt[4]{2} + 1} & = K_{n = 0}^{\infty} \frac{\cosh^{2} (n π)}{\sinh ((2 n + 1) π)} \\ \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} & = \frac{1}{2} K_{n = 0}^{\infty} \frac{2 \cosh \frac{n π}{2}}{2 \sinh \frac{(2 n + 1) π}{4}} \\ \frac{ϖ}{2 π} & = K_{n = 0}^{\infty} \frac{\sinh^{2} \frac{n π}{2} + δ_{n, 0}}{\sinh \frac{(2 n + 1) π}{2}} \end{aligned}$

何進法でも成り立つ連分数

任意の基数において、
$\frac{1}{1} + \frac{z^{1}}{111} + \frac{z^{1 + 1}}{11111} + \frac{z^{1 + 1 + 1}}{1111111} + \dots = \frac{1}{1 - \frac{1^{1 + 1} 1 z}{111 - \frac{11^{1 + 1} 10 z}{11111 - \frac{111^{1 + 1} 100 z}{1111111 - ⋱}}}}$

約数関数の漸化式

$\begin{array}{rcl} σ (n) & = & \sum_{k \in Z ∖ {0}} (- 1)^{k - 1} (σ (n - \frac{k (3 k - 1)}{2}) + δ_{n, k (3 k - 1) / 2} n) \\ = & \sum_{k \geq 1} (- 1)^{k - 1} (2 k + 1) (σ (n - (\binom{k + 1}{2})) + δ_{n, (\binom{k + 1}{2})} \frac{n}{3}) \end{array}$
ただし、 $σ (n) = 0 (n \leq 0)$ 。
1行目はオイラーによって発見されています。

ゼータ関数のあまり知られていない特殊値

$\frac{\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} \ln (2 n + 1)}{\sqrt{2 n + 1}}}{\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{2 n + 1}}} = \frac{γ + \ln (2 π)}{2} - \frac{π}{4}$

3F2と2F1の有限和の恒等式

$_{3} F_{2} [\begin{matrix} a, b, - n \\ \frac{a + b}{2}, \frac{a + b + 1}{2} \end{matrix}; 1] =_{2} F_{1} [\begin{matrix} a, - 2 n \\ a + b \end{matrix}; 2]$

ζ(s,∙∙∙,s)の一般項

$\begin{aligned} ζ ({s}^{m}) & = \sum_{j = 1}^{m} (- 1)^{m - j} & \sum_{0 = k_{0} < \dots < k_{j} = m} \prod_{l = 1}^{j} \frac{ζ ((k_{l} - k_{l - 1}) s)}{k_{l}} \\ ζ^{⋆} ({s}^{m}) & = \sum_{j = 1}^{m} & \sum_{0 = k_{0} < \dots < k_{j} = m} \prod_{l = 1}^{j} \frac{ζ ((k_{l} - k_{l - 1}) s)}{k_{l}} \end{aligned}$

定理（著者以外）

組み合わせ数の合同式 by くさだんご (id:mochi-mochi61)

$p \in P$
$(\binom{a p}{b p}) \equiv (\binom{a}{b}) (\mod p)$

ガウスの連分数

$\begin{aligned} π & = \frac{4}{1 + \frac{1}{3 + \frac{1 + 3}{5 + \frac{1 + 3 + 5}{7 + ⋱}}}} \\ ϖ & = \frac{2}{1 - \frac{1}{5 - \frac{1 + 5}{9 - \frac{1 + 5 + 9}{13 - ⋱}}}} \end{aligned}$