MSW公式の証明について

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要約

MSW公式の連結和法による証明は、多重ゼータ値の反復積分表示の（ふつうの）証明の離散化とみなせる。

MSW公式とは

インデックス $k = (k_{1}, \dots, k_{r})$ に対し、その累積和を
$k (0) = 0, k (i) = k_{1} + k_{2} + \dots + k_{i}$
で表す。 $k_{r} \geq 2$ のとき、多重ゼータ値 $ζ (k)$ が以下のような反復積分表示を持つことはよく知られている：
$ζ (k) = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} = \int_{0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{k (r)} < 1} \prod_{i = 0}^{r - 1} \frac{d t_{k (i) + 1}}{1 - t_{k (i) + 1}} \frac{d t_{k (i) + 2}}{t_{k (i) + 2}} \dots \frac{d t_{k (i + 1)}}{t_{k (i + 1)}} .$
つい最近（2024年）、この反復積分表示の離散化が発見された。

Maesaka-Seki-Watanabe (arXiv: 2402.05730)

正整数 $N$ に対し、以下のように $ζ_{< N} (k)$ および $ζ_{< N}^{♭} (k)$ を定める：
$ζ_{< N} (k) = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r} < N} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}},$
$ζ_{< N}^{♭} (k) = \sum_{Δ} \prod_{i = 0}^{r - 1} \frac{1}{N - a_{k (i) + 1}} \cdot \frac{1}{a_{k (i) + 2}} \dots \frac{1}{a_{k (i + 1)}} .$
ただし $Δ$ は不等式
$\begin{aligned} 0 & < \underset{k_{1}}{\underset{⏟}{a_{1} \leq \dots \leq a_{k (1)}}} < \underset{k_{2}}{\underset{⏟}{a_{k (1) + 1} \leq \dots \leq a_{k (2)}}} < \dots < \underset{k_{r}}{\underset{⏟}{a_{k (r - 1) + 1} \leq \dots \leq a_{k (r)}}} < N \end{aligned}$
を満たす整数列 $(a_{1}, \dots, a_{k (r)})$ 全体を表す。このとき
$ζ_{< N} (k) = ζ_{< N}^{♭} (k)$
が成り立つ。

多重ゼータ値の反復積分表示は項別積分するだけで素直に示すことができる。それに対して定理1（以下MSW公式と呼ぶ）の原論文での証明は連結和法を利用していて、証明方法が全く異なるように見える。ところが実はそんなことはなくて、MSW公式の連結和法による証明は、まさに反復積分表示の証明の離散化になっている、ということを以下で述べたい。

反復積分表示の証明

多重ゼータ値の反復積分表示の標準的な証明では次の簡単な事実を用いる。

正整数 $m$ および実数 $s > 0$ に対して
$\int_{0 < t < s} t^{m} \frac{d t}{t} = \frac{1}{m} \cdot s^{m} .$
また、非負整数 $m$ および実数 $0 < s < 1$ に対して
$\int_{0 < t < s} t^{m} \frac{d t}{1 - t} = \sum_{m < n} \frac{1}{n} \cdot s^{n} .$

この補題を繰り返し使えば反復積分表示を示すことができる。例えば $k = (2, 3)$ の場合の証明は次のようになる：
$\begin{aligned} \int_{0 < t_{1} < t_{2} < t_{3} < t_{4} < t_{5} < 1} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \frac{d t_{1}}{t_{2}} \frac{d t_{3}}{1 - t_{3}} \frac{d t_{4}}{t_{4}} \frac{d t_{5}}{t_{5}} & = \sum_{0 < n_{1}} \frac{1}{n_{1}} \cdot \int_{0 < t_{2} < t_{3} < t_{4} < t_{5} < 1} t_{2}^{n_{1}} \frac{d t_{2}}{t_{2}} \frac{d t_{3}}{1 - t_{3}} \frac{d t_{4}}{t_{4}} \frac{d t_{5}}{t_{5}} \\ = \sum_{0 < n_{1}} \frac{1}{n_{1}^{2}} \cdot \int_{0 < t_{3} < t_{4} < t_{5} < 1} t_{3}^{n_{1}} \frac{d t_{3}}{1 - t_{3}} \frac{d t_{4}}{t_{4}} \frac{d t_{5}}{t_{5}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}} \cdot \int_{0 < t_{4} < t_{5} < 1} t_{4}^{n_{2}} \frac{d t_{4}}{t_{4}} \frac{d t_{5}}{t_{5}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{2}} \cdot \int_{0 < t_{5} < 1} t_{5}^{n_{2}} \frac{d t_{5}}{t_{5}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{3}} = ζ (2, 3) . \end{aligned}$

MSW公式の証明

上の証明を離散化するために、下降冪
$x^{\underset{―}{m}} = x (x - 1) \dots (x - m + 1), x^{\underset{―}{0}} = 1$
を考える。このとき整数 $N \geq 2$ に対し、次のようなアナロジーが存在する：

連続	離散
$0 < t < 1$	$\frac{a}{N} (a = 1, 2, \dots, N - 1)$
$\int$	$\sum$
$d t$	$\frac{1}{N}$
$\frac{d t}{1 - t}$	$\frac{1}{N - a}$
$\frac{d t}{t}$	$\frac{1}{a}$
$t^{m}$	$\frac{a^{\underset{―}{m}}}{(N - 1)^{\underset{―}{m}}}$

上から5行目まではすぐに納得できるが、最後の行は非自明だと思う。例えば次の補題は等式 $\frac{1}{1 - t} = \sum_{0 < m} t^{m - 1}$ の離散類似である。

正整数 $a < N$ に対して
$\frac{N}{N - a} = \sum_{0 < m < N} \frac{a^{\underset{―}{m - 1}}}{(N - 1)^{\underset{―}{m - 1}}} .$

右辺を $F (N, a)$ とおくと
$F (N + 1, a + 1) = 1 + \frac{a + 1}{N} F (N, a)$
が成り立つことが簡単にわかる。これと $F (N, 1) = \frac{1}{1 - (1 / N)}$ を合わせることで帰納的に $F (N, a) = \frac{1}{1 - (a / N)}$ が得られる。

次の補題は補題2の離散類似であり、証明も補題2と並行する形で与えることができる。そしてこれが、MSW公式の連結和法による証明の「輸送関係式」（を変数変換したもの）に他ならない。ただし、二つ目の等式の左辺では $a^{\underset{―}{m}}$ の代わりに $(a - 1)^{\underset{―}{m}}$ を用いることに注意が必要である。

$N$ を $2$ 以上の整数とする。正整数 $m \leq N$ に対して
$\sum_{m \leq a \leq k} \frac{a^{\underset{―}{m}}}{(N - 1)^{\underset{―}{m}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{m} \cdot \frac{k^{\underset{―}{m}}}{(N - 1)^{\underset{―}{m}}} .$
また、非負整数 $m < k \leq N$ に対して
$\sum_{m < a \leq k} \frac{(a - 1)^{\underset{―}{m}}}{(N - 1)^{\underset{―}{m}}} \cdot \frac{1}{N - a} = \sum_{m < n < N} \frac{1}{n} \cdot \frac{k^{\underset{―}{n}}}{(N - 1)^{\underset{―}{n}}} .$

一つ目の式は
$\frac{a^{\underset{―}{m}}}{(N - 1)^{\underset{―}{m}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{m} \cdot \frac{a^{\underset{―}{m}} - (a - 1)^{\underset{―}{m}}}{(N - 1)^{\underset{―}{m}}}$
から従う。二つ目の式は補題3と一つ目の式から得られる：
$\begin{aligned} \sum_{m < a \leq k} \frac{(a - 1)^{\underset{―}{m}}}{(N - 1)^{\underset{―}{m}}} \cdot \frac{1}{N - a} & = \sum_{m < a \leq k} \frac{(a - 1)^{\underset{―}{m}}}{(N - 1)^{\underset{―}{m}}} \cdot \frac{1}{(N - m - 1) - (a - m - 1)} \\ = \sum_{m < a \leq k} \frac{(a - 1)^{\underset{―}{m}}}{(N - 1)^{\underset{―}{m}}} \cdot \sum_{0 < ℓ < N - m} \frac{(a - m - 1)^{\underset{―}{ℓ - 1}}}{(N - m - 1)^{\underset{―}{ℓ}}} \\ = \sum_{m < a \leq k} \sum_{0 < ℓ < N - m} \frac{a^{\underset{―}{m + ℓ}}}{(N - 1)^{\underset{―}{m + ℓ}}} \cdot \frac{1}{a} \\ = \sum_{0 < ℓ < N - m} \frac{1}{m + ℓ} \cdot \frac{k^{\underset{―}{m + ℓ}}}{(N - 1)^{\underset{―}{m + ℓ}}} \\ = \sum_{m < n < N} \frac{1}{n} \cdot \frac{k^{\underset{―}{n}}}{(N - 1)^{\underset{―}{n}}} . \end{aligned}$

この補題を繰り返し用いれば反復積分表示の証明と同様にMSW公式が証明できるが、これは連結和法による証明と本質的に同じである。例として $k = (2, 3)$ の場合にMSW公式を示してみよう。

$\begin{aligned} ζ_{< N}^{♭} (2, 3) & = \sum_{0 < a_{1} \leq a_{2} < a_{3} \leq a_{4} \leq a_{5} < N} \frac{1}{N - a_{1}} \cdot \frac{1}{a_{2}} \cdot \frac{1}{N - a_{3}} \cdot \frac{1}{a_{4}} \cdot \frac{1}{a_{5}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < N} \frac{1}{n_{1}} \sum_{n_{1} \leq a_{2} < a_{3} \leq a_{4} \leq a_{5} < N} \frac{a_{2}^{\underset{―}{n_{1}}}}{(N - 1)^{\underset{―}{n_{1}}}} \cdot \frac{1}{a_{2}} \cdot \frac{1}{N - a_{3}} \cdot \frac{1}{a_{4}} \cdot \frac{1}{a_{5}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < N} \frac{1}{n_{1}^{2}} \sum_{n_{1} < a_{3} \leq a_{4} \leq a_{5} < N} \frac{(a_{3} - 1)^{\underset{―}{n_{1}}}}{(N - 1)^{\underset{―}{n_{1}}}} \cdot \frac{1}{N - a_{3}} \cdot \frac{1}{a_{4}} \cdot \frac{1}{a_{5}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < N} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}} \cdot \sum_{n_{2} \leq a_{4} \leq a_{5} < N} \frac{a_{4}^{\underset{―}{n_{2}}}}{(N - 1)^{\underset{―}{n_{2}}}} \cdot \frac{1}{a_{4}} \cdot \frac{1}{a_{5}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < N} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{2}} \cdot \sum_{n_{2} \leq a_{5} < N} \frac{a_{5}^{\underset{―}{n_{2}}}}{(N - 1)^{\underset{―}{n_{2}}}} \cdot \frac{1}{a_{5}} \\ = \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < N} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{3}} = ζ_{< N} (2, 3) . \end{aligned}$