2
高校数学解説
Diaryの積分を解いてみた3
88
0
$$$$
できるもの
できないものはやりません。できるものをやります。
カテゴリに高校数学がついていますが、以下に示す問題では一応特異点があるので超ギリギリ大学範囲です。高校生でも解けはします。
問題と解説
次の定積分を求めよ。
$$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^3{\theta}}{\sqrt{1-\sin{\theta}}}d\theta$$
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
$$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{\theta}(1-\sin^2{\theta})}{\sqrt{1-\sin{\theta}}}d\theta$$
$\sqrt{1-\sin{\theta}}=x$とおくと、$\cos{\theta}d\theta=-2xdx$
$$I=\int_{0}^{1}\frac{(2-x^2)x^2}{x}\cdot 2xdx=\int_{0}^{1}(4x^2-2x^4)dx=\frac{4}{3}-\frac{2}{5}$$
$$I=\frac{14}{15}$$
以上です。見た目に一瞬でもひるんではいけませんね。
おまけのベータ関数
$\sin{\theta}=x$とおけば、
$$I=\int_{0}^{1}\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x}}dx=\int_{0}^{1}(1+x)\sqrt{1-x}\ dx$$
$$=B\left(1,\frac{3}{2}\right)+B\left(2,\frac{3}{2}\right)=\frac{2}{3}+\frac{4}{15}=\frac{14}{15}$$
投稿日：9月4日
更新日：9月4日
この記事を高評価した人
この記事を高評価した人
高評価したユーザはいません
この記事に送られたバッジ
この記事に送られたバッジ
バッジはありません。
投稿者
投稿者
コメント
コメント
他の人のコメント
コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中