第1回OMC Proxima Technology杯予選第1問について

第1回OMC Proxima Technology杯
の, 予選問題 の第1問の最後の答えについて.
（公開されている正答は こちら ）

考えたこと

記号は問題文にあるものを用いることにする.
$\operatorname{GL}_4(\mathbb{F}_2)$から2-Sylow部分群全体の集合への全射$P\mapsto P\operatorname{U}(4,\mathbb{F}_2)P^{-1}$は, 全単射
$$\operatorname{GL}_4(\mathbb{F}_2)/ \operatorname{U}(4,\mathbb{F}_2) \to \{ 2-Sylow 部分群 \}$$
を誘導する.
さて, $\mathfrak{S}_4$への制限が2-Sylow部分群になる条件は, $P$が問題の冒頭の条件1を満たすことで, それは$P=(v_1 \, v_2 \, v_3 \, v_4)$と表すとき, 旗$\langle v_1 \rangle \subset \langle v_1,v_2 \rangle \subset \langle v_1,v_2,v_3 \rangle\subset \langle v_1,v_2,v_3,v_4 \rangle$が次の旗に一致することである:
$$\langle e_1+e_2+e_3+e_4 \rangle \subset \langle e_1+e_2+e_3+e_4,e_2+e_4 \rangle \subset \langle e_1+e_2+e_3+e_4,e_2+e_4,e_3+e_4 \rangle\subset \langle e_1+e_2+e_3+e_4,e_2+e_4,e_3+e_4 ,e_4 \rangle. $$
この条件は, $P$がcoset
$$ (e_1+e_2+e_3+e_4 \, e_2+e_4 \, e_3+e_4 \, e_4 )\operatorname{U}(4,\mathbb{F}_2)$$
の元であることと同値である.
したがって, 求める個数は
$$ |\operatorname{GL}_4(\mathbb{F}_2)/ \operatorname{U}(4,\mathbb{F}_2)|-1$$
（のはず）である.
$|\operatorname{GL}_4(\mathbb{F}_2)|=(2^4-1)(2^4-2)(2^4-2^2)(2^4-2^3)=2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$,
$|\operatorname{U}(4,\mathbb{F}_2)|=2^6$なので, 求める個数は$3^2\cdot 5\cdot 7 -1=314$個である.

しかし

公開されている解答例によれば312個らしい.
上の議論でどこが間違っているのか, 自分でわかっていない.