0次のBessel関数, Struve関数に関する等式メモ

この記事において, $\overset{\text{?}}=$が付いているものはまだ証明ができていないことを意味する. まず, 以下のように定義する.
\begin{align*} \gamma(x)&:=\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{n!^2}\\ \gamma^{\sharp}(x)&:=\sum_{0\leq n}\frac{x^{n+\frac 12}}{\Gamma\left(n+\frac 32\right)^2}\\ \gamma_1(x)&:=-\frac 1{\pi}\left.\frac{d}{dw}\sum_{0\leq n}\frac{x^{n+w}}{\Gamma(n+w+1)^2}\right|_{w=0}\\ \overline{\gamma}(x)&:=\sum_{0\leq n}(-1)^n\frac{x^n}{n!^2}\\ \overline{\gamma}^{\sharp}(x)&:=\sum_{0\leq n}(-1)^n\frac{x^{n+\frac 12}}{\Gamma\left(n+\frac 32\right)^2}\\ \overline{\gamma}_1(x)&:=-\frac 1{\pi}\left.\frac{d}{dw}\sum_{0\leq n}(-1)^n\frac{x^{n+w}}{\Gamma(n+w+1)^2}\right|_{w=0} \end{align*}
これらの記法と, 通常のBessel関数とStruve関数との間の関係は以下のようになる.

\begin{align*} J_0(x)&=\ol{\gamma}\left(\frac{x^2}4\right)\\ Y_0(x)&=-\ol{\gamma}_1\left(\frac{x^2}4\right)\\ I_0(x)&=\gamma\left(\frac{x^2}4\right)\\ K_0(x)&=\frac{\pi}2 \gamma_1\left(\frac{x^2}4\right)\\ \mathbf{H}_0(x)&=\ol{\gamma}^{\sharp}\left(\frac{x^2}4\right)\\ \mathbf{L}_0(x)&=\gamma^{\sharp}\left(\frac{x^2}4\right)\\ \mathbf{K}_0(x)&=\ol{\gamma}^{\sharp}\left(\frac{x^2}4\right)+\ol{\gamma}_1\left(\frac{x^2}4\right)\\ \mathbf{M}_0(x)&=\gamma^{\sharp}\left(\frac{x^2}4\right)-\gamma\left(\frac{x^2}4\right) \end{align*}

以下の積分表示が成り立つ.
\begin{align*} \ol{\gamma}^{\sharp}(x)&=\frac{1}{\pi}\int_0^x\frac{\sin(2\sqrt{t})}{\sqrt{t(x-t)}}\,dt\\ \ol{\gamma}(x)&=\frac{1}{\pi}\int_0^{x}\frac{\cos(2\sqrt{t})}{\sqrt{t(x-t)}}\,dt\\ \ol{\gamma}(x)&=\frac{1}{\pi}\int_x^{\infty}\frac{\sin(2\sqrt{t})}{\sqrt{t(t-x)}}\,dt\\ \ol{\gamma}_1(x)&=\frac{1}{\pi}\int_x^{\infty}\frac{\cos(2\sqrt{t})}{\sqrt{t(t-x)}}\,dt\\ \gamma_1\left(x\right)&=\frac 1{\pi}\int_x^{\infty}\frac{e^{-2\sqrt{t}}}{\sqrt{t(t-x)}}\,dt\\ \gamma_1\left(x\right)&=\frac 1{\pi}\int_0^{\infty}\frac{\cos(2\sqrt{t})}{\sqrt{t(t+x)}}\,dt\\ \gamma(x)-\gamma^{\sharp}(x)&=\frac 1{\pi}\int_0^x\frac{e^{-2\sqrt{t}}}{\sqrt{t(x-t)}}\,dt\\ \gamma(x)-\gamma^{\sharp}(x)&=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin(2\sqrt{t})}{\sqrt{t(x+t)}}\,dt\\ \ol{\gamma}^{\sharp}(x)+\ol{\gamma}_1(x)&=\frac 1{\pi}\int_0^{\infty}\frac{e^{-2\sqrt{t}}}{\sqrt{t(x+t)}}\,dt \end{align*}

以下のような積に関する級数表示がある.
\begin{align*} \gamma(x)\ol{\gamma}(x)&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!^2(2n)!}x^{2n}\\ \gamma_1(x)\ol{\gamma}(x)+\gamma(x)\ol{\gamma}_1(x)&\overset{\text{?}}=-\frac 1{\pi}\left.\frac{d}{dw}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{\Gamma(n+w+1)^2\Gamma(2n+2w+1)}x^{2n+2w}\right|_{w=0}\\ 2\gamma_1(x)\ol{\gamma}_1(x)-\frac 12\gamma(x)\ol{\gamma}(x)&\overset{\text{?}}=\frac 1{2\pi^2}\left.\left(\frac{d}{dw}\right)^2\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{\Gamma(n+w+1)^2\Gamma(2n+2w+1)}x^{2n+2w}\right|_{w=0}\\ \gamma_1(x)\ol{\gamma}(x)-\gamma(x)\ol{\gamma}_1(x)&\overset{\text{?}}=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{\Gamma\left(n+\frac 32\right)^2(2n+1)!}x^{2n+1} \end{align*}

$\beta_w:=\frac{\Gamma\left(\frac 12+w\right)}{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma(w+1)}$として, $\gamma(x)$の類似として, 以下のような関数を導入する.

\begin{align*} \alpha(x)&:=\sum_{0\leq n}\frac{\beta_n}{n!^2}x^n\\ \alpha_k(x)&:=\frac 1{k!}\left.\left(-\frac 1{\pi}\frac{d}{dw}\right)^k\sum_{0\leq n}\frac{\beta_{n+w}x^{n+w}}{\Gamma(n+w+1)^2}\right|_{w=0}\\ \ol{\alpha}(x)&:=\sum_{0\leq n}(-1)^n\frac{\beta_n}{n!^2}x^n\\ \ol{\alpha}_k(x)&:=\frac 1{k!}\left.\left(-\frac 1{\pi}\frac{d}{dw}\right)^k\sum_{0\leq n}(-1)^n\frac{\beta_{n+w}x^{n+w}}{\Gamma(n+w+1)^2}\right|_{w=0} \end{align*}

このとき, 積に関して以下のような関係式がある.

\begin{align*} \gamma(x)^2&=\alpha(4x)\\ \gamma(x)\gamma_1(x)&\overset{\text{?}}=\alpha_1(4x)\\ \gamma_1(x)^2&\overset{\text{?}}=2\alpha_2(4x)\\ \ol{\gamma}(x)^2&=\ol{\alpha}(4x)\\ \ol{\gamma}(x)\ol{\gamma}_1(x)&\overset{\text{?}}=\ol{\alpha}_1(4x)\\ \ol{\gamma}_1(x)^2&\overset{\text{?}}=2\ol{\alpha}_2(4x)\\ \end{align*}

積に関する積分表示としては, 以下のようなものがある.
\begin{align*} \gamma(x)^2&=\frac 1{\pi}\int_0^x\frac{\gamma(4t)}{\sqrt{t(x-t)}}\,dt\\ \gamma(x)\gamma_1(x)&=\frac 1{\pi}\int_0^{\infty}\frac{\ol{\gamma}(4t)}{\sqrt{t(x+t)}}\,dt\\ \gamma_1(x)^2&=\frac 2{\pi}\int_x^{\infty}\frac{\gamma_1(4t)}{\sqrt{t(t-x)}}\,dt\\ \frac 12(\ol{\gamma}(x)^2+\ol{\gamma}_1(x)^2)&=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{\gamma_1(4t)}{\sqrt{t(x+t)}}\,dt \end{align*}