Muirhead の不等式の一般化と幾何学的意味

$3$変数の相加相乗平均の不等式

お久しぶりです．今回は，対称式に関する不等式として大変有名なムーアヘッド Muirhead の定理の幾何学的意味と，その一般化につきまして私が考察した内容を述べようと思います．

相加相乗平均の不等式を始めとする実数についての一般的な不等式は多くの場面で重宝され，現在ではその応用性の真価を否定する人はいません．対称不等式はそれ自身独特な奥ゆかしさをもつものが多く，数学オリンピックでは毎年かならずどこかの国の本選試験で不等式についての出題があり，競技数学の中でひとつの大きな分野を形成しています．

対称不等式の（恐らく）最も汎用的な一般化として知られているのが Muirhead の定理です．この定理は非常に精巧な形にまとめられており，かつ対称多項式からなる多くの不等式を包含しているという長所がありますが，証明は煩雑になりがちであり，定理の趣旨は単純明晰であるにもかかわらず，直観的意味が掴みにくいという短所があります．

今回の記事では，図形的解釈を用いることで Muirhead の定理の証明をわかりやすくし，また Muirhead の定理の拡張をおこなうことを試みようと思います．これから登場する図形は$N$次元空間の中に描かれ，それらの実態を眺めることはできないのですが，個々の多項式における指数の偏り具合を抽象的に実現することでもって，私たちの絡まった認知を抱擁してくれることでしょう．

以上のような動機で，私はつぎのように考えました：

$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$


$\mathrm{\S }1.$ $x_1,x_2,x_3$は正の数を表すとする．$2$個の変数をもつ相加相乗平均の不等式は，多重指数を用いて
$$x^{(2,0)}+x^{(0,2)}⩾2x^{(1,1)},x=(x_1,x_2)$$
と書かれ，$3$個の変数をもつ相加相乗平均の不等式は
$$x^{(3,0,0)}+x^{(0,3,0)}+x^{(0,0,3)}⩾3x^{(1,1,1)},x=(x_1,x_2,x_3)$$
と書かれる．また$3$個の変数をもつ有名な$2$次の並べかえ不等式は，
$$x^{(2,0,0)}+x^{(0,2,0)}+x^{(0,0,2)}⩾x^{(0,1,1)}+x^{(1,0,1)}+x^{(1,1,0)},x=(x_1,x_2,x_3)$$
と表すことができる．一般に，$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$を$N$個の正数からなる組，$a\in {\mathbb{R}}^N$を$N$個の実数からなる組とし，$x=(x_1,\dots ,x_N),a=(a_1,\dots ,a_N)$とおくとき，$x$を底とする多重指数$x^a$は
$$x^a=\prod _{i=1}^N{x}_i^{a_i}$$
と定義される．

主題の Muirhead の定理とはつぎの命題であった．


$\mathrm{\S }2$ 定理． $S_N$は集合$\{1,\dots ,N\}$から$\{1,\dots ,N\}$への全単射の集合（対称群）を表すとする．$a=(a_1,\dots ,a_N),$ $b=(b_1,\dots ,b_N)\in {\mathbb{R}}^N$とし，
$$a_i⩾a_{i+1},b_i⩾b_{i+1}(i=1,\dots ,N-1)$$
と仮定する．もし
$$\sum _{j=1}^i{a}_j⩽\sum _{j=1}^i{b}_j(i=1,\dots ,N-1),\sum _{j=1}^N{a}_j=\sum _{j=1}^N{b}_j$$
であるならば，すべての$x=(x_1,\dots ,x_N)\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$に対し，
$$\sum _{\sigma \in S_N}\prod _{i=1}^N{x}_i^{a_{\sigma (i)}}⩽\sum _{\sigma \in S_N}\prod _{i=1}^N{x}_i^{b_{\sigma (i)}}$$
がなりたつ．

たとえば$a=(1,\dots ,1)$で$b=(N,0,\dots ,0)$のとき，
$$N!\prod _{i=1}^N{x}_i⩽(N-1)!\sum _{i=1}^N{x}_i^N$$
は相加相乗平均の不等式である．また，$N=3$で$a=(1,1,0),b=(2,0,0)$の場合から
$$2x_1{x}_2+2x_2{x}_3+2x_1{x}_3⩽2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2$$
が得られる．

Muirhead の定理は対称性と指数の偏り具合というふたつの材料からなりたっている．ここでは，指数の偏り具合が凸集合を用いて記述できることに着目して，定理の前提部分を図形的なイメージに置きかえる．つぎに，対称性を一般の有限群$G$に拡張する．凸集合の議論と整合的であるためには，群の空間への作用は線型であることを要する．よって，群$G$の表現を考えることになる．


$\mathrm{\S }3$ 定義. $V$を$\mathbb{R}$線型空間とし，$A$を$V$の部分集合とする．すべての$a,b\in A$と$t\in [0,1]$に対して$(1-t)a+tb\in A$がなりたつとき，$A$は$V$の凸集合であるという．すなわち$V$の凸集合とは，内分点をとる演算に関して閉じた$V$の部分集合である．線型空間$V$はそれ自身$V$の凸集合である．$A$が$V$の凸集合であるとき，任意のの$a_1,\dots ,a_n\in A$と$t_1,\dots ,t_n\in [0,1]$に対し，${\displaystyle \sum t_i=1}$ならば，
$$\sum _{i=1}^n{t}_i{a}_i\in A$$
が成立する．実際，${\mathbb{R}}^N$の点列$(b_i{)}_{i=1}^n$をつぎのように定めると，$b_i\in A$ $(i=1,\dots ,n)$かつ$b_n={\displaystyle \sum t_i{a}_i}$がなりたつ．
$$\begin{array}{rl}{b}_1& =a_1,\\ b_2& =\frac{t_1{b}_1+t_2{a}_2}{t_1+t_2},\\ b_3& =\frac{(t_1+t_2)b_2+t_3{a}_3}{t_1+t_2+t_3},\\ & ⋮\\ b_n& =\frac{(t_1+\cdots +t_{n-1})b_{n-1}+t_n{a}_n}{t_1+\cdots +t_n}.\end{array}$$
点列$(b_i)$


$\mathrm{\S }4$ 定義. $V$を$\mathbb{R}$線型空間とし，$X$を$V$の部分集合とする．$X$を含むすべての$V$の凸集合の共通部分を$\mathrm{Conv}X$とおき，これを$X$の凸包または$X$によって生成される凸集合という．$\mathrm{Conv}X$は明らかに$V$の凸集合であり，したがって$X$を含む最小の$V$の凸集合である．$X$が有限集合で，$X=\{a_1,\dots ,a_n\}$であるとき，$X$を含む任意の$V$の凸集合は，${\displaystyle \sum t_i=1}$となるすべての$t_1,\dots ,t_n\in [0,1]$に対する${\displaystyle \sum t_i{a}_i}$を含むから，
$$\left\{\sum _{i=1}^n{t}_i{a}_i\right|t_1,\dots ,t_n\in [0,1],\sum _{i=1}^n{t}_i=1\}\subseteq \mathrm{Conv}X$$
がなりたつ．また，左辺は$X$を含む凸集合であり，$\mathrm{Conv}X$は$X$を含む最小の凸集合だから，
$$\mathrm{Conv}X=\left\{\sum _{i=1}^n{t}_i{a}_i\right|t_1,\dots ,t_n\in [0,1],\sum _{i=1}^n{t}_i=1\}.$$


$\mathrm{\S }5$ 補題. $a,b\in {\mathbb{R}}^N,t\in [0,1]$とするとき，任意の$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$に対し，
$$x^{(1-t)a+tb}⩽(1-t)x^a+t{x}^b$$
がなりたつ．
証明. $y=x^a,$ $z=x^b$とおく．指数函数$(z/y{)}^s(s\in \mathbb{R})$は$[0,1]$上で下に凸だから，凸不等式により
$$(z/y{)}^t⩽(1-t)+t(z/y)$$
がなりたつ．ゆえに，
$$y^{1-t}{z}^t⩽(1-t)y+tz$$
である．$◻$


$\mathrm{\S }6$ 定義. 一般に，$V$を$\mathbb{R}$線型空間，$A\subseteq V$を凸集合とし，$f:A\to \mathbb{R}$とするとき，任意の$a,b\in A$と$t\in [0,1]$に対して，
$$f(ta+(1-t)b)⩽tf(a)+(1-t)f(b)$$
がなりたつならば，$f$は凸函数と呼ばれる．

線型写像の制限写像として得られる$f$はすべて凸函数である．$\mathrm{\S }5$により，任意の$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$に対し，${\mathbb{R}}^N$から$\mathbb{R}$への函数$a\mapsto x^a$は凸函数である．さらに，$f$が凸函数であるとき，任意の凸函数$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$との合成写像$g\circ f$は凸函数を与える．


$\mathrm{\S }7$ 補題. $V$を$\mathbb{R}$線型空間，$A\subseteq V$を凸集合とし，$f:A\to \mathbb{R}$を凸函数とする．このとき，任意の$a_1,\dots ,a_n\in A$と$t_1,\dots ,t_n\in [0,1]$に対し，${\displaystyle \sum t_i=1}$ならば，
$$f\left(\sum _{i=1}^n{t}_i{a}_i\right)⩽\sum _{i=1}^n{t}_{i}f(a_i)$$
がなりたつ．
証明. $\mathrm{\S }3$と同様に${\mathbb{R}}^N$の点列$(b_i{)}_{i=1}^n$を定義すると，$b_i\in A$ $(i=1,\dots ,n)$であり，
$$\begin{array}{rl}f(b_1)& =f(a_1),\\ f(b_2)& ⩽\frac{t_{1}f(b_1)+t_{2}f(a_2)}{t_1+t_2},\\ f(b_3)& ⩽\frac{(t_1+t_2)f(b_2)+t_{3}f(a_3)}{t_1+t_2+t_3},\\ & ⋮\\ f(b_n)& ⩽\frac{(t_1+\cdots +t_{n-1})f(b_{n-1})+t_{n}f(a_n)}{t_1+\cdots +t_n}\end{array}$$
だから，
$$f\left(\sum _{i=1}^n{t}_i{a}_i\right)=f(b_n)⩽\frac{t_{1}f(a_1)+\cdots +t_{n}f(a_n)}{t_1+\cdots +t_n}=\sum _{i=1}^n{t}_{i}f(a_i)$$
を得る．$◻$

この補題はイェンゼン Jensen の不等式の名で知られている．

Jensen の不等式に対称性の条件を加えることで，つぎの一般的な定理が生じる．$\mathrm{GL}(V)$は$\mathbb{R}$線型空間$V$から$V$自身への同型写像の集合（一般線型群）を表すとする．

とくに，$V={\mathbb{R}}^N$で，ある$x=(x_1,\dots ,x_N)\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$について$f(\alpha )=x^{\alpha }$ $(\alpha \in \mathrm{Conv}Y)$のとき，
$$\sum _{g\in G}{x}^{\rho (g)(a)}⩽\sum _{g\in G}{x}^{\rho (g)(b)}.$$
加えて$G=S_N$で，$\rho$が標準的な置換表現ならば，
$$\sum _{\sigma \in S_N}\prod _{i=1}^N{x}_i^{a_{\sigma (i)}}⩽\sum _{\sigma \in S_N}\prod _{i=1}^N{x}_i^{b_{\sigma (i)}}.$$
ゆえに，群$G$が線型に作用しているという前提のもとで，凸包の包含関係は対称式の大小関係を誘導する．
証明. $G$の元に順序を付して$G=\{g_1,\dots ,g_n\}$とし，$i=1,\dots ,n$に対して${\rho }_i=\rho (g_i),$ $a_i={\rho }_i(a),$ $b_i={\rho }_i(b)$と定める．このとき，
$$X=\{a_1,\dots ,a_n\},Y=\{b_1,\dots ,b_n\}.$$
$a\in \mathrm{Conv}Y$だから，$a={\displaystyle \sum t_i{b}_i}$かつ${\displaystyle \sum t_i=1}$をみたす$t_1,\dots ,t_n\in [0,1]$が存在する．$j=1,\dots ,n$に対し，${\rho }_j$は線型だから，
$${\rho }_j(a)=\sum _{i=1}^n{t}_i{\rho }_j(b_i)=\sum _{i=1}^n{t}_i({\rho }_j\circ {\rho }_i)(b)$$
がなりたつ．さらに，$f$は凸函数だから，$\mathrm{\S }7$の補題により，
$$f({\rho }_j(a))⩽\sum _{i=1}^n{t}_{i}f(({\rho }_j\circ {\rho }_i)(b)).$$
右辺の和の順序を変更して，$j=1,\dots ,n$にわたって各辺の総和をとると，${\displaystyle \sum t_i=1}$により，
$$\sum _{j=1}^{n}f({\rho }_j(a))⩽\sum _{i=1}^{n}f({\rho }_i(b))$$
が得られる．$◻$

定理の要点は，不等式に重みが含まれていないことである．個々の${\rho }_j(a)(j=1,\dots ,n)$に対する Jensen の不等式には係数が従属する．しかしそれらをすべての$j$で合計すると，群$G$によって平均化され，最後には重みを含まない式が得られるのである．

$4$次元以上の空間に関する問題において，凸包の包含関係を判定することは難しいが，いくつかの有用な鑑別条件が存在する．


$\mathrm{\S }9$. ${\mathbb{D}}^N=\{(a_1,\dots ,a_N)\in {\mathbb{R}}^N\mid a_i⩾a_{i+1}(i=1,\dots ,N-1)\}$とおく．$a=(a_1,\dots ,a_N),$ $b=(b_1,\dots ,b_N)\in {\mathbb{D}}^N$に対し，Muirhead の定理の条件
$$\sum _{j=1}^i{a}_j⩽\sum _{j=1}^i{b}_j(i=1,\dots ,N-1),\sum _{j=1}^N{a}_j=\sum _{j=1}^N{b}_j$$
がなりたつとき，$b$は$a$を支配する $(b$ majorizes $a)$ といい，これを$a\preccurlyeq b$と表す．$\preccurlyeq$は${\mathbb{D}}^N$上の順序を定める．

いま$d>0$を任意の正数とし，
$$a=b+(0,\dots ,0,-d,0,\dots ,0,d,0,\dots ,0)$$
（第$i$成分と第$j$成分に$\mp d$があるベクトルで，$i<j$）と仮定すれば，$a\preccurlyeq b$である．また$\rho :S_N\to {\mathrm{GL}}_N(\mathbb{R})$を標準的な置換表現とし，
$$X=\{\rho (g)(a)\mid g\in S_N\},Y=\{\rho (g)(b)\mid g\in S_N\}$$
とおくと，$\mathrm{Conv}X\subseteq \mathrm{Conv}Y$がなりたつ．実際，$b$の第$i$, 第$j$成分を交替したベクトルを$c$とおくと，$c_i<a_i<b_i$かつ$b_j<a_j<c_j$がなりたつ．$a_i+a_j=b_i+b_j=c_i+c_j$だから，ある$t\in [0,1]$について$a=(1-t)b+tc$がなりたち，$b,c\in Y$により，$a\in \mathrm{Conv}Y$である．よって，$X\subseteq \mathrm{Conv}Y$であり，$\mathrm{Conv}X\subseteq \mathrm{Conv}Y$を得る．


$\mathrm{\S }10$. $a,b\in {\mathbb{R}}^N$とし，これらの成分を降順に並べかえたベクトルを$a^{\prime },b^{\prime }\in {\mathbb{D}}^N$とする．$a^{\prime }\preccurlyeq b^{\prime }$がなりたつとき，$b^{\prime }$に
$$(0,\dots ,0,-d,0,\dots ,0,d,0,\dots ,0),d>0$$
の形をした有限個のベクトルを加えることで，$a^{\prime }$を構成することができる．よって，$\mathrm{\S }9$と同じように，集合$X,Y$を
$$\begin{array}{rl}X& =\{\rho (g)(a)\mid g\in S_N\}=\{\rho (g)(a^{\prime })\mid g\in S_N\},\\ Y& =\{\rho (g)(b)\mid g\in S_N\}=\{\rho (g)(b^{\prime })\mid g\in S_N\}\end{array}$$
と定義すれば，$\mathrm{\S }9$の議論により，$\mathrm{Conv}X\subseteq \mathrm{Conv}Y$がなりたつ．

たとえば$a^{\prime }=(5,3,1,1),$ $b^{\prime }=(7,2,1,0)$の場合は，
$$\begin{array}{rl}(7,2,1,0)& \stackrel{+(-1,1,0,0)}{\to }(6,3,1,0)\stackrel{+(-1,0,1,0)}{\to }(5,3,2,0)\stackrel{+(0,0,-1,1)}{\to }(5,3,1,1)\end{array}$$
とし，$a^{\prime }=(1,1,1,1,1),$ $b^{\prime }=(5,0,0,0,0)$の場合は，
$$\begin{array}{rl}(5,0,0,0,0)& \stackrel{+(-1,1,0,0,0)}{\to }(4,1,0,0,0)\\ & \stackrel{+(-1,0,1,0,0)}{\to }(3,1,1,0,0)\\ & \stackrel{+(-1,0,0,1,0)}{\to }(2,1,1,1,0)\\ & \stackrel{+(-1,0,0,0,1)}{\to }(1,1,1,1,1)\end{array}$$
とする．


$\mathrm{\S }11$ 系 (Muirhead の定理). $a=(a_1,\dots ,a_N),$ $b=(b_1,\dots ,b_N)\in {\mathbb{R}}^N$を$\mathrm{\S }10$の条件をみたすベクトルとすると，$\mathrm{\S }10,\mathrm{\S }8$により，任意の$x=(x_1,\dots ,x_N)\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$に対し，
$$\sum _{\sigma \in S_N}\prod _{i=1}^N{x}_i^{a_{\sigma (i)}}⩽\sum _{\sigma \in S_N}\prod _{i=1}^N{x}_i^{b_{\sigma (i)}}$$
がなりたつ．


$\mathrm{\S }12$ 系 (カラマータ Karamata の定理). $a=(a_1,\dots ,a_N),$ $b=(b_1,\dots ,b_N)\in {\mathbb{R}}^N$を$\mathrm{\S }10$の条件をみたすベクトルとし，$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$を凸函数とする．${\mathbb{R}}^N$から$\mathbb{R}$への第$1$成分の射影${\mathrm{pr}}_1$は線型写像であり，したがって凸函数だから，合成写像$g\circ {\mathrm{pr}}_1$と$G=S_N,$ 置換表現$\rho$に対して$\mathrm{\S }8$の定理を用いると，
$$\sum _{i=1}^{N}g(a_i)⩽\sum _{i=1}^{N}g(b_i)$$
が得られる．


$\mathrm{\S }13$ 系. $a\in {\mathbb{R}}^N,a\ne 0$とし，$\lambda ⩾1$とする．$G=\{{\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^N},-{\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^N}\}$とし，$\rho :G\to {\mathrm{GL}}_N(\mathbb{R})$は包含写像とする．$\mathrm{Conv}\{a,-a\}\subseteq \mathrm{Conv}\{\lambda a,-\lambda a\}$だから，$\mathrm{\S }8$の定理により，すべての$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$に対し，
$$x^a+x^{-a}⩽x^{\lambda a}+x^{-\lambda a}.$$
線分$\mathrm{Conv}\{a,-a\},\mathrm{Conv}\{\lambda a,-\lambda a\}$


$\mathrm{\S }14$ 系. $a,b\in {\mathbb{R}}^2$を線型独立なベクトルとする．原点と$a+b$を通る直線を${\ell }_1,$ 原点と$a-b$を通る直線を${\ell }_2$とし，${\ell }_1,{\ell }_2$に関する対称変換を$R_1,R_2$として，$R_1,R_2$によって生成される群を$G$とおく．$\rho :G\to {\mathrm{GL}}_2(\mathbb{R})$を包含写像とし，
$$X=\{\rho (g)(2a)\mid g\in G\},Y=\{\rho (g)(a+b)\mid g\in G\}$$
とすると，$\mathrm{Conv}X\supset \mathrm{Conv}Y$だから，すべての$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^2$にたいし，
$$x^{2a}+x^{-2a}+x^{2b}+x^{-2b}⩾x^{a+b}+x^{a-b}+x^{-a+b}+x^{-a-b}.$$
平行四辺形$\mathrm{Conv}X,\mathrm{Conv}Y$


$\mathrm{\S }15$ 系. $X=\{(2,1,0),(0,2,1),(1,0,2)\},$ $Y=\{(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)\}$とおくと，$\mathrm{Conv}X\subseteq \mathrm{Conv}Y$がなりたつ．また，$3$次交代群$A_3$から${\mathrm{GL}}_3(\mathbb{R})$への写像$\rho$を，置換表現と同じように
$$\rho (\sigma )(e_i)=e_{\sigma (i)}(i=1,2,3,\sigma \in A_3)$$
（$e_1,e_2,e_3$は${\mathbb{R}}^3$の標準ベクトル）によって定めると，$\rho$は群準同型であり，
$$X=\{\rho (\sigma )(2,1,0)\mid \sigma \in A_3\},Y=\{\rho (\sigma )(3,0,0)\mid \sigma \in A_3\}$$
がなりたつ．よって，
$$x_1^3+x_2^3+x_3^3⩾x_1^2{x}_2+x_2^2{x}_3+x_3^2{x}_1,x_1,x_2,x_3>0.$$
三角形$\mathrm{Conv}X,\mathrm{Conv}Y$


$\mathrm{\S }16$ 系. $A\subset {\mathbb{R}}^3$を原点を中心とする正二十面体，$X$を$A$の頂点集合とし，$A$の各面の中心を集めた集合を$Y$とする．また，${\mathbb{R}}^3$のすべての合同変換のなかで$A$を不変にするものの集合を$G_{\text{Icosa}}$とおく（正二十面体群）．$G_{\text{Icosa}}$は位数$60$の群をなす．

頂点$a_0\in X,b_0\in Y$を任意にとる．$\rho :G_{\text{Icosa}}\to {\mathrm{GL}}_3(\mathbb{R})$を包含写像とすると，
$$X=\{\rho (g)(a_0)\mid g\in G_{\text{Icosa}}\},Y=\{\rho (g)(b_0)\mid g\in G_{\text{Icosa}}\}$$
であり，$\mathrm{Conv}X\supset \mathrm{Conv}Y$だから，すべての$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^3$にたいし，
$$5\sum _{a\in X}{x}^a⩾3\sum _{b\in Y}{x}^b$$
がなりたつ．たとえば，
$$\begin{array}{rl}& 5(x_1^{\varphi }{x}_2+x_1^{\varphi }{x}_2^{-1}+x_1^{-\varphi }{x}_2+x_1^{-\varphi }{x}_2^{-1}\\ & +x_2^{\varphi }{x}_3+x_2^{\varphi }{x}_3^{-1}+x_2^{-\varphi }{x}_3+x_2^{-\varphi }{x}_3^{-1}\\ & +x_3^{\varphi }{x}_1+x_3^{\varphi }{x}_1^{-1}+x_3^{-\varphi }{x}_1+x_3^{-\varphi }{x}_1^{-1})\\ & ⩾3(x_1^{\varphi /3}{x}_2^{\sqrt{5}\varphi /3}+x_1^{\varphi /3}{x}_2^{-\sqrt{5}\varphi /3}+x_1^{-\varphi /3}{x}_2^{\sqrt{5}\varphi /3}+x_1^{-\varphi /3}{x}_2^{-\sqrt{5}\varphi /3}\\ & +x_2^{\varphi /3}{x}_3^{\sqrt{5}\varphi /3}+x_2^{\varphi /3}{x}_3^{-\sqrt{5}\varphi /3}+x_2^{-\varphi /3}{x}_3^{\sqrt{5}\varphi /3}+x_2^{-\varphi /3}{x}_3^{-\sqrt{5}\varphi /3}\\ & +x_3^{\varphi /3}{x}_1^{\sqrt{5}\varphi /3}+x_3^{\varphi /3}{x}_1^{-\sqrt{5}\varphi /3}+x_3^{-\varphi /3}{x}_1^{\sqrt{5}\varphi /3}+x_3^{-\varphi /3}{x}_1^{-\sqrt{5}\varphi /3}\\ & +x_1^{{\varphi }^2/3}{x}_2^{{\varphi }^2/3}{x}_3^{{\varphi }^2/3}+x_1^{{\varphi }^2/3}{x}_2^{{\varphi }^2/3}{x}_3^{-{\varphi }^2/3}\\ & +x_1^{{\varphi }^2/3}{x}_2^{-{\varphi }^2/3}{x}_3^{{\varphi }^2/3}+x_1^{{\varphi }^2/3}{x}_2^{-{\varphi }^2/3}{x}_3^{-{\varphi }^2/3}\\ & +x_1^{-{\varphi }^2/3}{x}_2^{{\varphi }^2/3}{x}_3^{{\varphi }^2/3}+x_1^{-{\varphi }^2/3}{x}_2^{{\varphi }^2/3}{x}_3^{-{\varphi }^2/3}\\ & +x_1^{-{\varphi }^2/3}{x}_2^{-{\varphi }^2/3}{x}_3^{{\varphi }^2/3}+x_1^{-{\varphi }^2/3}{x}_2^{-{\varphi }^2/3}{x}_3^{-{\varphi }^2/3}),x_1,x_2,x_3>0.\end{array}$$
ただし，$\varphi =(1+\sqrt{5})/2$は黄金比を表す．
正二十面体の座標表示（フィボナッチ数列 bot, @Aureus_N より引用）


$\mathrm{\S }17.$ これまでに示した系はいずれも凸包の位置関係から明らかなものであったが，非自明な例としてシュール Schur の不等式
$$\begin{array}{rl}& x_1^{r+2}+x_2^{r+2}+x_3^{r+2}+x_1^r{x}_2{x}_3+x_1{x}_2^r{x}_3+x_1{x}_2{x}_3^r\\ & ⩾x_1^{r+1}{x}_2+x_2^{r+1}{x}_1+x_2^{r+1}{x}_3+x_3^{r+1}{x}_2+x_3^{r+1}{x}_1+x_1^{r+1}{x}_3\end{array}$$
$(x_1,x_2,x_3,r>0)$が挙げられる．これも$\mathrm{\S }8$の定理を使って証明できるかも知れないが，今のところ判らない．