Muirhead の不等式の一般化と幾何学的意味

$3$変数の相加相乗平均の不等式
$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$


$\mathrm{\S }1.$ $x_1,x_2,x_3$は正数を表すとする．$2$個の変数をもつ相加相乗平均の不等式は，多重指数を用いて
$$x^{(2,0)}+x^{(0,2)}⩾2x^{(1,1)},x=(x_1,x_2)$$
と書かれ，$3$個の変数をもつ相加相乗平均の不等式は
$$x^{(3,0,0)}+x^{(0,3,0)}+x^{(0,0,3)}⩾3x^{(1,1,1)},x=(x_1,x_2,x_3)$$
と書かれる．また$3$個の変数をもつ有名な$2$次の並べかえ不等式は，
$$x^{(2,0,0)}+x^{(0,2,0)}+x^{(0,0,2)}⩾x^{(0,1,1)}+x^{(1,0,1)}+x^{(1,1,0)},x=(x_1,x_2,x_3)$$
と表される．一般に，$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$を$N$個の正数からなる組，$a\in {\mathbb{R}}^N$を$N$個の実数からなる組とし，$x=(x_1,\dots ,x_N),a=(a_1,\dots ,a_N)$とおくとき，$x$を底とする多重指数$x^a$は
$$x^a=\prod _{i=1}^N{x}_i^{a_i}$$
と定義される．Muirhead の定理とは，つぎの命題のことである．


$\mathrm{\S }2$ 定理． $S_N$は集合$\{1,\dots ,N\}$から$\{1,\dots ,N\}$への全単射の集合（対称群）を表すとする．$a=(a_1,\dots ,a_N),$ $b=(b_1,\dots ,b_N)\in {\mathbb{R}}^N$とし，
$$a_i⩾a_{i+1},b_i⩾b_{i+1}(i=1,\dots ,N-1)$$
と仮定する．もし
$$\sum _{j=1}^i{a}_j⩽\sum _{j=1}^i{b}_j(i=1,\dots ,N-1),\sum _{j=1}^N{a}_j=\sum _{j=1}^N{b}_j$$
ならば，すべての$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$にたいし，
$$\sum _{\sigma \in S_N}{x}^{(a_{\sigma (1)},\dots ,a_{\sigma (N)})}⩽\sum _{\sigma \in S_N}{x}^{(b_{\sigma (1)},\dots ,b_{\sigma (N)})}$$
がなりたつ．

たとえば$a=(1,\dots ,1)$で$b=(N,0,\dots ,0)$のとき，
$$N!\prod _{i=1}^N{x}_i⩽(N-1)!\sum _{i=1}^N{x}_i^N,x_1,\dots ,x_N>0$$
は相加相乗平均の不等式である．また，$N=3$で$a=(1,1,0),b=(2,0,0)$の場合から
$$2x_1{x}_2+2x_2{x}_3+2x_1{x}_3⩽2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2,x_1,x_2,x_3>0$$
が得られる．

Muirhead の定理は対称性と指数の偏り具合という$2$つの素材でなりたっている．ここでは，指数の偏り具合が凸集合の用語を用いて記述されることに着目して，定理の前提部分を幾何学的な形式に置きかえる．これに加え，対称性を一般の有限群$G$に拡張することにより，Muirhead の定理の一般化を与える．このとき凸集合の議論と整合的であるためには，群の空間への作用は線型であることを要する．よって，群$G$の表現を考えることになる．


$\mathrm{\S }3$ 定義. $V$を$\mathbb{R}$線型空間とし，$A$を$V$の部分集合とする．すべての$a,b\in A$と$t\in [0,1]$にたいして$(1-t)a+tb\in A$がなりたつとき，$A$は$V$の凸集合であるという．すなわち$V$の凸集合とは，内分点をとる演算に関して閉じた$V$の部分集合である．$V$はそれ自身$V$の凸集合である．$A$が$V$の凸集合であるとき，任意の$a_1,\dots ,a_n\in A$と$t_1,\dots ,t_n\in [0,1]$にたいし，${\displaystyle \sum t_i=1}$ならば，
$$\sum _{i=1}^n{t}_i{a}_i\in A$$
が成立する．実際，${\mathbb{R}}^N$の点列$(b_i{)}_{i=1}^n$をつぎのように定めると，$b_i\in A$ $(i=1,\dots ,n)$かつ，$b_n={\displaystyle \sum t_i{a}_i}$がなりたつ．
$$\begin{array}{rl}{b}_1& =a_1,\\ b_2& =\frac{t_1{b}_1+t_2{a}_2}{t_1+t_2},\\ b_3& =\frac{(t_1+t_2)b_2+t_3{a}_3}{t_1+t_2+t_3},\\ & ⋮\\ b_n& =\frac{(t_1+\cdots +t_{n-1})b_{n-1}+t_n{a}_n}{t_1+\cdots +t_n}.\end{array}$$
点列$(b_i)$


$\mathrm{\S }4$ 定義. $V$を$\mathbb{R}$線型空間とし，$X$を$V$の部分集合とする．$X$を含むすべての$V$の凸集合の共通部分を$\mathrm{Conv}X$とおき，これを$X$の凸包または$X$によって生成される凸集合という．$\mathrm{Conv}X$は明らかに$V$の凸集合であり，したがって$X$を含む最小の$V$の凸集合である．$X$が有限集合で，$X=\{a_1,\dots ,a_n\}$であるとき，$X$を含む任意の$V$の凸集合は，${\displaystyle \sum t_i=1}$となるすべての$t_1,\dots ,t_n\in [0,1]$に対する${\displaystyle \sum t_i{a}_i}$を含むから，
$$\left\{\sum _{i=1}^n{t}_i{a}_i\right|t_1,\dots ,t_n\in [0,1],\sum _{i=1}^n{t}_i=1\}\subseteq \mathrm{Conv}X$$
がなりたつ．また，左辺は$X$を含む凸集合であり，$\mathrm{Conv}X$は$X$を含む最小の凸集合だから，
$$\mathrm{Conv}X=\left\{\sum _{i=1}^n{t}_i{a}_i\right|t_1,\dots ,t_n\in [0,1],\sum _{i=1}^n{t}_i=1\}.$$


$\mathrm{\S }5$ 補題. $a,b\in {\mathbb{R}}^N,t\in [0,1]$とし，$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$とする．このとき，
$$x^{(1-t)a+tb}⩽(1-t)x^a+t{x}^b.$$
証明. $y=x^a,$ $z=x^b$とおく．指数函数$(z/y{)}^s(s\in \mathbb{R})$は$[0,1]$において下に凸だから，凸不等式により
$$(z/y{)}^t⩽(1-t)+t(z/y)$$
がなりたつ．ここから，
$$y^{1-t}{z}^t⩽(1-t)y+tz$$
を得る．$◻$


$\mathrm{\S }6$ 定義. 一般に，$V$を$\mathbb{R}$線型空間，$A\subseteq V$を凸集合とし，$f:A\to \mathbb{R}$とするとき，任意の$a,b\in A$と$t\in [0,1]$にたいして，
$$f(ta+(1-t)b)⩽tf(a)+(1-t)f(b)$$
がなりたつならば，$f$は凸函数と呼ばれる．
線型写像の制限写像として得られる$f$はすべて凸函数である．$\mathrm{\S }5$により，任意の$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$にたいし，${\mathbb{R}}^N$から$\mathbb{R}$への函数$a\mapsto x^a$は凸函数である．さらに，$f$が凸函数であるとき，任意の凸函数$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$との合成写像$g\circ f$は凸函数を与える．


$\mathrm{\S }7$ 補題. $V$を$\mathbb{R}$線型空間，$A\subseteq V$を凸集合とし，$f:A\to \mathbb{R}$を凸函数とする．このとき，任意の$a_1,\dots ,a_n\in A$と$t_1,\dots ,t_n\in [0,1]$にたいし，${\displaystyle \sum t_i=1}$ならば，
$$f\left(\sum _{i=1}^n{t}_i{a}_i\right)⩽\sum _{i=1}^n{t}_{i}f(a_i)$$
がなりたつ．
証明. $\mathrm{\S }3$と同様に${\mathbb{R}}^N$の点列$(b_i{)}_{i=1}^n$を定義すると，$b_i\in A$ $(i=1,\dots ,n)$であり，
$$\begin{array}{rl}f(b_1)& =f(a_1),\\ f(b_2)& ⩽\frac{t_{1}f(b_1)+t_{2}f(a_2)}{t_1+t_2},\\ f(b_3)& ⩽\frac{(t_1+t_2)f(b_2)+t_{3}f(a_3)}{t_1+t_2+t_3},\\ & ⋮\\ f(b_n)& ⩽\frac{(t_1+\cdots +t_{n-1})f(b_{n-1})+t_{n}f(a_n)}{t_1+\cdots +t_n}\end{array}$$
だから，
$$f\left(\sum _{i=1}^n{t}_i{a}_i\right)=f(b_n)⩽\frac{t_{1}f(a_1)+\cdots +t_{n}f(a_n)}{t_1+\cdots +t_n}=\sum _{i=1}^n{t}_{i}f(a_i)$$
を得る．$◻$
この補題はイェンゼン Jensen の不等式の名で知られている．
Jensen の不等式に対称性の条件を加えることで，つぎの一般的な定理が生じる．$\mathrm{GL}(V)$は$\mathbb{R}$線型空間$V$から$V$自身への同型写像の集合（一般線型群）を表すとする．

とくに，$V={\mathbb{R}}^N$であり，ある$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$が存在して$f(\alpha )=x^{\alpha }$ $(\alpha \in \mathrm{Conv}Y)$と書けるとき，
$$\sum _{g\in G}{x}^{\rho (g)(a)}⩽\sum _{g\in G}{x}^{\rho (g)(b)}.$$
加えて$G=S_N$であり，$\rho$が標準的な置換表現ならば，$a=(a_1,\dots ,a_N),$ $b=(b_1,\dots ,b_N)$とおくと，
$$\sum _{\sigma \in S_N}{x}^{(a_{\sigma (1)},\dots ,a_{\sigma (N)})}⩽\sum _{\sigma \in S_N}{x}^{(b_{\sigma (1)},\dots ,b_{\sigma (N)})}.$$
ゆえに，群$G$が線型に作用しているという前提のもとで，凸包の包含関係は対称式の大小関係を誘導する．
$$
証明. $G$の元に順序を付して$G=\{g_1,\dots ,g_n\}$とし，$i=1,\dots ,n$にたいして${\rho }_i=\rho (g_i),$ $a_i={\rho }_i(a),$ $b_i={\rho }_i(b)$と定める．このとき，
$$X=\{a_1,\dots ,a_n\},Y=\{b_1,\dots ,b_n\}.$$
$a\in \mathrm{Conv}Y$だから，$a={\displaystyle \sum t_i{b}_i}$かつ${\displaystyle \sum t_i=1}$をみたす$t_1,\dots ,t_n\in [0,1]$が存在する．$j=1,\dots ,n$にたいし，${\rho }_j$は線型だから，
$${\rho }_j(a)=\sum _{i=1}^n{t}_i{\rho }_j(b_i)=\sum _{i=1}^n{t}_i({\rho }_j\circ {\rho }_i)(b)$$
がなりたつ．さらに，$f$は凸函数だから，$\mathrm{\S }7$の補題により，
$$f({\rho }_j(a))⩽\sum _{i=1}^n{t}_{i}f(({\rho }_j\circ {\rho }_i)(b)).$$
右辺の和の順序を変更して，$j=1,\dots ,n$にわたって各辺の総和をとると，${\displaystyle \sum t_i=1}$により，
$$\sum _{j=1}^{n}f({\rho }_j(a))⩽\sum _{i=1}^{n}f({\rho }_i(b))$$
が得られる．$◻$

定理の要点は，不等式に重みが含まれていないことである．個々の${\rho }_j(a)(j=1,\dots ,n)$に対する Jensen の不等式には重みが従属する．しかしそれらをすべての$j$で合計すると，群$G$によって平均化されて，係数を含まない式が得られるのである（対称性の条件を除くと，これらの係数が複雑になってしまう．様式美を離れた拡張は，いきすぎよう）．

$4$次元以上の空間に関する問題において，凸包の包含関係を判定することは難しいが，いくつかの有用な鑑別条件が存在する．


$\mathrm{\S }9$ 定義. ${\mathbb{D}}^N=\{(a_1,\dots ,a_N)\in {\mathbb{R}}^N\mid a_i⩾a_{i+1}(i=1,\dots ,N-1)\}$とおく．$a=(a_1,\dots ,a_N),$ $b=(b_1,\dots ,b_N)\in {\mathbb{D}}^N$にたいし，Muirhead の定理の条件
$$\sum _{j=1}^i{a}_j⩽\sum _{j=1}^i{b}_j(i=1,\dots ,N-1),\sum _{j=1}^N{a}_j=\sum _{j=1}^N{b}_j$$
がなりたつとき，$b$は$a$を支配する $(b$ majorizes $a)$ といい，これを$a\preccurlyeq b$と表す．
$\preccurlyeq$は${\mathbb{D}}^N$上の順序を定める．


$\mathrm{\S }10$ 命題. $\rho :S_N\to {\mathrm{GL}}_N(\mathbb{R})$を標準的な置換表現とし，$a,b\in {\mathbb{D}}^N$とする．また，$d>0$を正数とし，
$$a=b+(0,\dots ,0,-d,0,\dots ,0,d,0,\dots ,0)$$
（第$i$成分と第$j$成分に$\mp d$があるベクトルで，$i<j$）と仮定する．このとき，
$$X=\{\rho (g)(a)\mid g\in S_N\},Y=\{\rho (g)(b)\mid g\in S_N\}$$
とおくと，$a\preccurlyeq b$であり，$\mathrm{Conv}X\subseteq \mathrm{Conv}Y$がなりたつ．
$$
証明. $a\preccurlyeq b$は明らかである．$b$の第$i$, 第$j$成分を交替したベクトルを$c$とおくと，$c_i<a_i<b_i$かつ$b_j<a_j<c_j$がなりたつ．$a_i+a_j=b_i+b_j=c_i+c_j$だから，ある$t\in [0,1]$について$a=(1-t)b+tc$がなりたち，$b,c\in Y$により，$a\in \mathrm{Conv}Y$である．よって，$X\subseteq \mathrm{Conv}Y$であり，$\mathrm{Conv}X\subseteq \mathrm{Conv}Y$を得る．$◻$


$\mathrm{\S }11$ 命題. $\rho :S_N\to {\mathrm{GL}}_N(\mathbb{R})$を標準的な置換表現とし，$a,b\in {\mathbb{R}}^N$とする．また，$a,b$の成分を降順に並べかえたベクトルを$a^{\prime },b^{\prime }\in {\mathbb{D}}^N$とおく．もし，$a^{\prime }\preccurlyeq b^{\prime }$ならば，
$$X=\{\rho (g)(a)\mid g\in S_N\},Y=\{\rho (g)(b)\mid g\in S_N\}$$
とおくと，$\mathrm{Conv}X\subseteq \mathrm{Conv}Y$がなりたつ．
$$
証明. $b^{\prime }$に
$$(0,\dots ,0,-d,0,\dots ,0,d,0,\dots ,0),d>0$$
の形をした有限個のベクトルを加えることで，$a^{\prime }$が構成できる（たとえば$a^{\prime }=(5,3,1,1),$ $b^{\prime }=(7,2,1,0)$の場合は，
$$\begin{array}{rl}(7,2,1,0)& \stackrel{+(-1,1,0,0)}{\to }(6,3,1,0)\stackrel{+(-1,0,1,0)}{\to }(5,3,2,0)\stackrel{+(0,0,-1,1)}{\to }(5,3,1,1)\end{array}$$
とし，$a^{\prime }=(1,1,1,1,1),$ $b^{\prime }=(5,0,0,0,0)$の場合は，
$$\begin{array}{rl}(5,0,0,0,0)& \stackrel{+(-1,1,0,0,0)}{\to }(4,1,0,0,0)\\ & \stackrel{+(-1,0,1,0,0)}{\to }(3,1,1,0,0)\\ & \stackrel{+(-1,0,0,1,0)}{\to }(2,1,1,1,0)\\ & \stackrel{+(-1,0,0,0,1)}{\to }(1,1,1,1,1)\end{array}$$
とする）．よって，$\mathrm{\S }10$の命題により，
$$\mathrm{Conv}\{\rho (g)(a^{\prime })\mid g\in S_N\}\subseteq \mathrm{Conv}\{\rho (g)(b^{\prime })\mid g\in S_N\}$$
がなりたつ．また，$a^{\prime },b^{\prime }$は$a,b$の並べかえだから，
$$\begin{array}{rl}X& =\{\rho (g)(a)\mid g\in S_N\}=\{\rho (g)(a^{\prime })\mid g\in S_N\},\\ Y& =\{\rho (g)(b)\mid g\in S_N\}=\{\rho (g)(b^{\prime })\mid g\in S_N\}\end{array}$$
がなりたつ．よって，$\mathrm{Conv}X\subseteq \mathrm{Conv}Y$を得る．$◻$
$\mathrm{\S }8$の応用例を示す．


$\mathrm{\S }12$ 定理 (Muirhead の定理). $a=(a_1,\dots ,a_N),$ $b=(b_1,\dots ,b_N)\in {\mathbb{R}}^N$とし，これらの成分を降順に並べかえたベクトルを$a^{\prime },b^{\prime }\in {\mathbb{D}}^N$とおいて，$a^{\prime }\preccurlyeq b^{\prime }$と仮定する．このとき，$\rho :S_N\to {\mathrm{GL}}_N(\mathbb{R})$を標準的な置換表現とすると，$\mathrm{\S }11$の命題により，
$$\mathrm{Conv}\{\rho (g)(a)\mid g\in S_N\}\subseteq \mathrm{Conv}\{\rho (g)(b)\mid g\in S_N\}$$
だから，$\mathrm{\S }8$の定理により，任意の$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$にたいし，
$$\sum _{\sigma \in S_N}{x}^{(a_{\sigma (1)},\dots ,a_{\sigma (N)})}⩽\sum _{\sigma \in S_N}{x}^{(b_{\sigma (1)},\dots ,b_{\sigma (N)})}$$
がなりたつ．


$\mathrm{\S }13$ 定理 (カラマータ Karamata の定理). $a=(a_1,\dots ,a_N),$ $b=(b_1,\dots ,b_N)\in {\mathbb{R}}^N$とし，これらの成分を降順に並べかえたベクトルを$a^{\prime },b^{\prime }\in {\mathbb{D}}^N$とおいて，$a^{\prime }\preccurlyeq b^{\prime }$と仮定する．このとき，$\rho :S_N\to {\mathrm{GL}}_N(\mathbb{R})$を標準的な置換表現とすると，$\mathrm{\S }11$の命題により，
$$\mathrm{Conv}\{\rho (g)(a)\mid g\in S_N\}\subseteq \mathrm{Conv}\{\rho (g)(b)\mid g\in S_N\}.$$
また，$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$を凸函数とする．
${\mathbb{R}}^N$から$\mathbb{R}$への第$1$成分の射影${\mathrm{pr}}_1$は線型写像であり，したがって凸函数だから，合成写像$g\circ {\mathrm{pr}}_1$と$\rho$にたいして$\mathrm{\S }8$の定理を用いると，
$$\sum _{i=1}^{N}g(a_i)⩽\sum _{i=1}^{N}g(b_i)$$
が得られる．これを Karamata の不等式という．


$\mathrm{\S }14$ 命題. $a\in {\mathbb{R}}^N,a\ne 0$とし，$\lambda ⩾1$とする．$G=\{{\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^N},-{\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^N}\}$とし，$\rho :G\to {\mathrm{GL}}_N(\mathbb{R})$は包含写像とする．$\mathrm{Conv}\{a,-a\}\subseteq \mathrm{Conv}\{\lambda a,-\lambda a\}$だから，$\mathrm{\S }8$の定理により，すべての$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^N$にたいし，
$$x^a+x^{-a}⩽x^{\lambda a}+x^{-\lambda a}.$$
線分$\mathrm{Conv}\{a,-a\},\mathrm{Conv}\{\lambda a,-\lambda a\}$


$\mathrm{\S }15$ 命題. $a,b\in {\mathbb{R}}^2$を線型独立なベクトルとする．原点と$a+b$を通る直線を${\ell }_1,$ 原点と$a-b$を通る直線を${\ell }_2$とし，${\ell }_1,{\ell }_2$に関する対称変換を$R_1,R_2$として，$R_1,R_2$によって生成される群を$G$とおく．$\rho :G\to {\mathrm{GL}}_2(\mathbb{R})$を包含写像とし，
$$X=\{\rho (g)(2a)\mid g\in G\},Y=\{\rho (g)(a+b)\mid g\in G\}$$
とすると，$\mathrm{Conv}X\supset \mathrm{Conv}Y$だから，すべての$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^2$にたいし，
$$x^{2a}+x^{-2a}+x^{2b}+x^{-2b}⩾x^{a+b}+x^{a-b}+x^{-a+b}+x^{-a-b}.$$
平行四辺形$\mathrm{Conv}X,\mathrm{Conv}Y$


$\mathrm{\S }16$ 命題. $X=\{(2,1,0),(0,2,1),(1,0,2)\},$ $Y=\{(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)\}$とおくと，$\mathrm{Conv}X\subseteq \mathrm{Conv}Y$がなりたつ．また，$3$次交代群$A_3$から${\mathrm{GL}}_3(\mathbb{R})$への写像$\rho$を，置換表現と同じように
$$\rho (\sigma )(e_i)=e_{\sigma (i)}(i=1,2,3,\sigma \in A_3)$$
（$e_1,e_2,e_3$は${\mathbb{R}}^3$の基本ベクトル）によって定めると，$\rho$は群準同型であり，
$$X=\{\rho (\sigma )(2,1,0)\mid \sigma \in A_3\},Y=\{\rho (\sigma )(3,0,0)\mid \sigma \in A_3\}$$
がなりたつ．よって，
$$x_1^3+x_2^3+x_3^3⩾x_1^2{x}_2+x_2^2{x}_3+x_3^2{x}_1,x_1,x_2,x_3>0.$$
三角形$\mathrm{Conv}X,\mathrm{Conv}Y$


$\mathrm{\S }17$ 命題. $A\subset {\mathbb{R}}^3$を原点を中心とする正二十面体，$X$を$A$の頂点集合とし，$A$の各面の中心を集めた集合を$Y$とする．また，${\mathbb{R}}^3$のすべての合同変換のなかで$A$を不変にするものの集合を$G_{\text{Icosa}}$とおく（正二十面体群）．$G_{\text{Icosa}}$は位数$60$の群をなす．
頂点$a_0\in X,b_0\in Y$を任意にとる．$\rho :G_{\text{Icosa}}\to {\mathrm{GL}}_3(\mathbb{R})$を包含写像とすると，
$$X=\{\rho (g)(a_0)\mid g\in G_{\text{Icosa}}\},Y=\{\rho (g)(b_0)\mid g\in G_{\text{Icosa}}\}$$
であり，$\mathrm{Conv}X\supset \mathrm{Conv}Y$だから，すべての$x\in (0,\mathrm{\infty }{)}^3$にたいし，
$$5\sum _{a\in X}{x}^a⩾3\sum _{b\in Y}{x}^b$$
がなりたつ．たとえば，
$$\begin{array}{rl}& 5(x_1^{\varphi }{x}_2+x_1^{\varphi }{x}_2^{-1}+x_1^{-\varphi }{x}_2+x_1^{-\varphi }{x}_2^{-1}\\ & +x_2^{\varphi }{x}_3+x_2^{\varphi }{x}_3^{-1}+x_2^{-\varphi }{x}_3+x_2^{-\varphi }{x}_3^{-1}\\ & +x_3^{\varphi }{x}_1+x_3^{\varphi }{x}_1^{-1}+x_3^{-\varphi }{x}_1+x_3^{-\varphi }{x}_1^{-1})\\ & ⩾3(x_1^{\varphi /3}{x}_2^{\sqrt{5}\varphi /3}+x_1^{\varphi /3}{x}_2^{-\sqrt{5}\varphi /3}+x_1^{-\varphi /3}{x}_2^{\sqrt{5}\varphi /3}+x_1^{-\varphi /3}{x}_2^{-\sqrt{5}\varphi /3}\\ & +x_2^{\varphi /3}{x}_3^{\sqrt{5}\varphi /3}+x_2^{\varphi /3}{x}_3^{-\sqrt{5}\varphi /3}+x_2^{-\varphi /3}{x}_3^{\sqrt{5}\varphi /3}+x_2^{-\varphi /3}{x}_3^{-\sqrt{5}\varphi /3}\\ & +x_3^{\varphi /3}{x}_1^{\sqrt{5}\varphi /3}+x_3^{\varphi /3}{x}_1^{-\sqrt{5}\varphi /3}+x_3^{-\varphi /3}{x}_1^{\sqrt{5}\varphi /3}+x_3^{-\varphi /3}{x}_1^{-\sqrt{5}\varphi /3}\\ & +x_1^{{\varphi }^2/3}{x}_2^{{\varphi }^2/3}{x}_3^{{\varphi }^2/3}+x_1^{{\varphi }^2/3}{x}_2^{{\varphi }^2/3}{x}_3^{-{\varphi }^2/3}\\ & +x_1^{{\varphi }^2/3}{x}_2^{-{\varphi }^2/3}{x}_3^{{\varphi }^2/3}+x_1^{{\varphi }^2/3}{x}_2^{-{\varphi }^2/3}{x}_3^{-{\varphi }^2/3}\\ & +x_1^{-{\varphi }^2/3}{x}_2^{{\varphi }^2/3}{x}_3^{{\varphi }^2/3}+x_1^{-{\varphi }^2/3}{x}_2^{{\varphi }^2/3}{x}_3^{-{\varphi }^2/3}\\ & +x_1^{-{\varphi }^2/3}{x}_2^{-{\varphi }^2/3}{x}_3^{{\varphi }^2/3}+x_1^{-{\varphi }^2/3}{x}_2^{-{\varphi }^2/3}{x}_3^{-{\varphi }^2/3}),x_1,x_2,x_3>0.\end{array}$$
ただし，$\varphi =(1+\sqrt{5})/2$は黄金比を表す．
正二十面体の座標表示（フィボナッチ数列 bot, @Aureus_N より引用）
$\mathrm{\S }8$の定理の$V={\mathbb{R}}^N$かつ$f$が多重指数函数である場合については，逆の命題が成立する．

$$
証明. $⟨\cdot ,\cdot ⟩$を${\mathbb{R}}^N$の標準内積とし，$\parallel \cdot \parallel$を${\mathbb{R}}^N$の標準ノルムとする．

$\mathrm{Conv}X⊈\mathrm{Conv}Y$と仮定して，背理法を用いる．このとき，ある$a^{\prime }\in X$が存在し，$a^{\prime }\notin \mathrm{Conv}Y$がなりたつ．

$\mathrm{Conv}Y$は${\mathbb{R}}^N$のコンパクト集合だから，函数$\parallel \alpha -a^{\prime }\parallel (\alpha \in \mathrm{Conv}Y)$の最小値を与える${\alpha }_0\in \mathrm{Conv}Y$が存在する．ここで，$\beta ={\alpha }_0-a^{\prime }$とおき，写像$P:{\mathbb{R}}^N\to \mathbb{R}$を
$$P(\alpha )=⟨\beta ,\alpha -a^{\prime }⟩(\alpha \in {\mathbb{R}}^N)$$
によって定め，$d={\displaystyle \frac{1}{2}P({\alpha }_0)}$とおく．このとき，$a^{\prime }$と$\mathrm{Conv}Y$は超平面$P^{-1}(d)$によって分断されることを証明する．

点$a^{\prime }$，点${\alpha }_0$，超平面$P^{-1}(d)$と変数$u$

まず，$a^{\prime }\notin \mathrm{Conv}Y$により，${\alpha }_0\ne a^{\prime }$だから，
$$d=\frac{1}{2}P({\alpha }_0)=\frac{1,}{2}\parallel {\alpha }_0-a^{\prime }{\parallel }^2>0$$
がなりたつ．よって，$P(a^{\prime })<d$を得る．

また，$t\in (0,1]$を任意にとる．$\alpha \in \mathrm{Conv}Y$を任意にとるとき，$(1-t){\alpha }_0+t\alpha \in \mathrm{Conv}Y$だから，${\alpha }_0$の最小性により，
$$\parallel {\alpha }_0-a^{\prime }\parallel ⩽\parallel (1-t){\alpha }_0+t\alpha -a^{\prime }\parallel$$
がなりたつ．ここから，
$$\begin{array}{rl}& P({\alpha }_0)-P(\alpha )=⟨{\alpha }_0-a^{\prime },{\alpha }_0-\alpha ⟩\\ =& \frac{1}{2t}(\parallel {\alpha }_0-a^{\prime }{\parallel }^2+t^2\parallel {\alpha }_0-\alpha {\parallel }^2-\parallel {\alpha }_0-a^{\prime }-t({\alpha }_0-\alpha ){\parallel }^2)\\ =& \frac{1}{2t}(\parallel {\alpha }_0-a^{\prime }{\parallel }^2+t^2\parallel {\alpha }_0-\alpha {\parallel }^2-\parallel (1-t){\alpha }_0+t\alpha -a^{\prime }{\parallel }^2)\\ ⩽& \frac{t}{2}\parallel {\alpha }_0-\alpha {\parallel }^2\end{array}$$
が得られる．$t\in (0,1]$は任意だから，
$$P({\alpha }_0)⩽P(\alpha )$$
であり，よって，$d<P(\alpha )$を得る．