$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}}
\newcommand{BC}[0]{\begin{cases}}
\newcommand{BE}[0]{\begin{equation}}
\newcommand{bl}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{BM}[0]{\begin{matrix}}
\newcommand{D}[0]{\displaystyle}
\newcommand{EA}[0]{\end{align*}}
\newcommand{EC}[0]{\end{cases}}
\newcommand{EE}[0]{\end{equation}}
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\newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}}
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\newcommand{vep}[0]{\varepsilon}
$$
1．定義と結果
$\hspace{5pt}$$\D\beta_z=\frac{\Gamma\!\L(\frac{1}{2}+z\R)}{\Gamma\!\L(\frac{1}{2}\R)\Gamma\!\L(1+z\R)}$として、正整数$m$に対して
$\BA\D \Phi_w^{[m]}(x)&:=\sum_{n=0}^\infty \L(\frac{\beta_{n+w}}{2^{2w}\beta_w}\R)^mx^{2n+2w}\\ S_r^{[m]}(x)&:=\L.\L(-\frac{1}{\pi}\partial_w\R)^{r-1}\Phi_w^{[m]}(x)\R|_{w=0}\qquad(r=1,2,\cdots,m)\EA$
と定めます。また、$m-1$次多項式$C_m(t)$を
$\BA\D C_m(t):=\prod_{j=1}^{m-1}(t+m-2j) \EA$
とし、
$\BA\D Q_m(t):=\exp\!\L(2m\sum_{n=2}^{m-1}(-1)^{n+1}\frac{2^{n-1}-1+\cos\frac{\pi n}{2}}{n}\frac{\zeta(n)}{\pi^n}\L(\frac{d}{dt}\R)^n\R)C_m(t) \EA$
を
$\BA\D Q_m(t)=\sum_{r=1}^m q_{m,r}t^{r-1} \EA$
と展開します。
定理.$\hspace{5pt}$任意の正整数$m$に対して
$\BA\D\\ \int_0^1 \L(\sum_{r=1}^m q_{m,r}S_r^{[m]}(x)\R)\,dx=\frac{(m-1)!}{2}\pi \EA$
が成立します。 2．証明
$\hspace{5pt}$先ず、積分と微分の交換を確認します。$\D0<\rho<\frac{1}{4}$とし、$0\le l\le m-1$とします。$|w|\le\rho$において、スターリングの公式から
$\BA\D \L(\frac{d}{dw}\R)^l\beta_{k+w}=O(k^{-\frac{1}{2}}) \qquad (k\to\infty) \EA$
が成立します。また、$\beta_w$はこの範囲で正則であり、その逆数と有限回の導関数は有界です。
$\hspace{5pt}$$w$による微分が$x^{2w}$に作用すると$(2\log x)^jx^{2w}$が生じます。$p\ge 0$に対して
$\BA\D \int_0^1 x^{2k+2\Re w}\L|\log x\R|^p\,dx=\frac{p!}{\L(2k+2\Re w+1\R)^{p+1}} \EA$
なので、各微分項の積分値は$O(k^{-\frac{m}{2}-1})$で抑えられます。ワイエルシュトラウスの$M$判定法と優収束定理により積分と微分の交換は可能です。すなわち
$\BA\D \int_0^1 \L.\L(\frac{d}{dw}\R)^l\Phi_w^{[m]}(x)\R|_{w=0}\,dx=\L.\L(\frac{d}{dw}\R)^l\int_0^1 \Phi_w^{[m]}(x)\,dx\R|_{w=0} \EA$
です。
$\BA\D I_m(w):=\int_0^1 \Phi_w^{[m]}(x)\,dx \EA$
とします。項別積分により
$\BA\D I_m(w)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+2w+1}\L(\frac{\beta_{k+w}}{2^{2w}\beta_w}\R)^m \EA$
で、
$\BA\D \int_0^1 S_r^{[m]}(x)\,dx=\L.\L(-\frac{1}{\pi}\frac{d}{dw}\R)^{r-1}I_m(w)\R|_{w=0} \EA$
です。
$\hspace{5pt}$$y=-\pi w$とおきます。多項式$C$、原点の近傍で正則な関数$A,\,F$に対して
$\BA\D \L.\L[A\!\L(\frac{d}{dt}\R)C(t)\R]_{t=\frac{d}{dy}}F(y)\R|_{y=0}=\L.C\!\L(\frac{d}{dy}\R)A(y)F(y)\R|_{y=0} \EA$
が成立します。一方で、
$\BA\D R_m(w):=\L(\frac{\Gamma(1-w)^2}{\Gamma(1-2w)}\frac{\sinh\pi w}{\pi w}\R)^m=\exp\!\L(-2m\sum_{n=2}^\infty \frac{2^{n-1}-1+\cos\frac{\pi n}{2}}{n}\zeta(n)w^n \R) \EA$
なので、定理の左辺は
$\BA\D C_m\L(-\frac{1}{\pi}\frac{d}{dw}\R)\L[R_m(w)I_m(w)\R]_{w=0} \EA$
に等しいです。
$\BA\D \frac{\Gamma(1-w)^2}{\Gamma(1-2w)}=\frac{2^{2w}}{\beta_{-w}},\quad \beta_w\beta_{-w}=\frac{\tan\pi w}{\pi w} \EA$
なので
$\BA\D R_m(w)I_m(w)=\L(\frac{\sinh\pi w}{\tan\pi w}\R)^m\sum_{k=0}^\infty \frac{\beta_{k+w}^m}{2k+2w+1} \EA$
です。
$\hspace{5pt}$$C_m(t)$の生成関数は
$\BA\D \sum_{m=1}^\infty \frac{C_m(t)}{(m-1)!}z^{m-1}=\frac{\exp(t\sinh^{-1}z)}{\sqrt{1+z^2}} \EA$
なので、$\D G(u):=\L(\frac{\sinh u}{\tan u}\R)^mf\!\L(k+\frac{u}{\pi}\R)$とおくとき、
$\BA\D \L.C_m\!\L(-\frac{d}{du}\R)G(u)\R|_{u=0}&=(m-1)!\,\underset{\xi=0}{\rm Res}\frac{G(-\sinh^{-1}\xi)}{\xi^m\sqrt{1+\xi^2}}\\&=(m-1)!\,\underset{v=0}{\rm Res}\frac{f\!\L(k-\frac{v}{\pi}\R)}{\tan^m v}\\&=(-1)^{m-1}(m-1)!\,\underset{z=k}{\rm Res}\frac{\pi f(z)}{\tan^m\pi z} \EA$
です。これに
$\BA\D f(z)=\frac{\beta_z^m}{2z+1} \EA$
を適用することで、$\D F_m(z):=\frac{\pi}{\tan^m\pi z}\frac{\beta_z^m}{2z+1}$として、
$\BA\D C_m\L(-\frac{1}{\pi}\frac{d}{dw}\R)\L[R_m(w)I_m(w)\R]_{w=0}=(-1)^{m-1}(m-1)!\,\sum_{k=0}^\infty \underset{z=k}{\rm Res} F_m(z) \EA$
となります。$\D F_m(z)$は$\D z=-\frac{1}{2},0,1,2,3,\cdots$で極をもち、
$\BA\D \underset{z=-\frac{1}{2}}{\rm Res}F_m(z)=(-1)^m\frac{\pi}{2} \EA$
です。複素平面状で、正整数$N$に対して
$\BA\D -N-\frac{3}{4}\pm i\L(N+\frac{1}{2}\R),\qquad N+\frac{1}{2}\pm i\L(N+\frac{1}{2}\R) \EA$
を頂点とする長方形の境界を考えると、この境界上で$F_m(z)$は一様です。$\D |z|\ge N+\frac{1}{2}$であり、$\D |F_m(z)|=O\!\L(|z|^{-\frac{m}{2}-1}\R)$なので、境界積分は$\D O\L(N^{-\frac{m}{2}}\R)$で抑えることができ、積分値は$N\to\infty$で$0$に収束します。したがって留数定理により
$\BA\D \sum_{k=0}^\infty \underset{z=k}{\rm Res} F_m(z)=-\underset{z=-\frac{1}{2}}{\rm Res}F_m(z)=(-1)^{m-1}\frac{\pi}{2} \EA$
です。以上より
$\BA\D \int_0^1 \L(\sum_{r=1}^m q_{m,r}S_r^{[m]}(x)\R)\,dx&=C_m\L(-\frac{1}{\pi}\frac{d}{dw}\R)\L[R_m(w)I_m(w)\R]_{w=0}\\&=(-1)^{m-1}(m-1)!\,\sum_{k=0}^\infty \underset{z=k}{\rm Res} F_m(z)\\&=\frac{(m-1)!}{2}\pi \EA$
を得ます。
3．具体例
$\BA\D\\ &m=1:\quad \int_0^1 S_1^{[1]}(x)\,dx=\frac{\pi}{2}\\ &m=2:\quad \int_0^1 S_2^{[2]}(x)\,dx=\frac{\pi}{2}\\&m=3:\quad \int_0^1 \L(S_3^{[3]}(x)-S_1^{[3]}(x)\R)\,dx=\pi\\&m=4:\quad \int_0^1 \L(S_4^{[4]}(x)-4S_2^{[4]}(x)+\frac{48\zeta(3)}{\pi^3}S_1^{[4]}(x)\R)\,dx=3\pi\\&m=5:\quad \int_0^1 \L(S_5^{[5]}(x)-10S_3^{[5]}(x)+\frac{240\zeta(3)}{\pi^3}S_2^{[5]}(x)+\frac{11}{3}S_1^{[5]}(x)\R)\,dx=12\pi \EA$
