高校数学議論

連続した3つの素数を三辺に持つ三角形について考えて素数を近似してみる

素数

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もうやってる人がいたらすみません

素数の数列の定義

素数を2から小さい順に $p_{1}, p_{2}, ・・・, p_{n}, ・・・$ とする

そもそも $p_{n}, p_{n + 1}, p_{n + 2}$ を３辺に持つ三角形が存在するのか

申し訳ないのですが僕は示せてません
が、 $2 ≦ n$ で成り立つようです
具体的には次の不等式を示します(三角形の存在条件です)

$2 ≦ n ならば、 p_{n + 2} < p_{n} + p_{n + 1}$

で？

試しに余弦定理にぶち込んでプログラムを回してみて、ある仮説を立てました

$lim_{n \to \infty} \frac{p_{n}^{2} + p_{n + 1}^{2} - p_{n + 2}^{2}}{2 p_{n} p_{n + 1}} = \frac{1}{2}$

示したい

上からは挟めましたので証明を載っけときます

$lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + (n + 2)^{2} - (n + 1)^{2}}{2 n (n + 2)} = \frac{1}{2}$

$lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + (n + 2)^{2} - (n + 1)^{2}}{2 n (n + 2)}$
$= lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 2 n + 3}{2 n^{2} + 4 n}$
$= lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}}}{2 + \frac{4}{n}}$
$= \frac{1}{2}$

すべての自然数 $n$ で、次の不等式が成り立つ
$\frac{p_{n}^{2} + p_{n + 1}^{2} - p_{n + 2}^{2}}{2 p_{n} p_{n + 1}} < \frac{n^{2} + (n + 2)^{2} - (n + 1)^{2}}{2 n (n + 2)}$

$(左辺) - (右辺)$
$= \frac{p_{n}^{2} + p_{n + 1}^{2} - p_{n + 2}^{2}}{2 p_{n} p_{n + 1}} - \frac{n^{2} + 2 n + 3}{2 n (n + 2)}$
$= \frac{n (n + 2) p_{n}^{2} + n (n + 2) p_{n + 1}^{2} - n (n + 2) p_{n + 2}^{2} - n^{2} p_{n} p_{n + 1} - 2 n p_{n} p_{n + 1} - 3 p_{n} p_{n + 1}}{2 n (n + 2) p_{n} p_{n + 1}}$
$n (n + 2) p_{n + 1}^{2} - n (n + 2) p_{n + 2}^{2} < 0 < 2 n (n + 2) p_{n} p_{n + 1} は自明$

$n (n + 2) p_{n}^{2} - n^{2} p_{n} p_{n + 1} - 2 n p_{n} p_{n + 1} - 3 p_{n} p_{n + 1}$
$= (n^{2} p_{n}^{2} - n^{2} p_{n} p_{n + 1}) + (2 n p_{n}^{2} - 2 n p_{n} p_{n + 1}) - 3 p_{n} p_{n + 1} < 0$
$したがって$
$\frac{n (n + 2) p_{n}^{2} + n (n + 2) p_{n + 1}^{2} - n (n + 2) p_{n + 2}^{2} - n^{2} p_{n} p_{n + 1} - 2 n p_{n} p_{n + 1} - 3 p_{n} p_{n + 1}}{2 n (n + 2) p_{n} p_{n + 1}} < 0$
$(左辺) - (右辺) < 0 より、 (左辺) < (右辺)$

下からは挟めてません(行けそうですけど...)

これが成り立つとどうなるのか

微分すると分かりますが、 $\frac{n^{2} + (n + 2)^{2} - (n + 1)^{2}}{2 n (n + 2)}$ は単調減少なので、 $\frac{p_{n}^{2} + p_{n + 1}^{2} - p_{n + 2}^{2}}{2 p_{n} p_{n + 1}} < \frac{1}{2} < \frac{n^{2} + (n + 2)^{2} - (n + 1)^{2}}{2 n (n + 2)}$ とみなせます
したがって次の不等式が成り立ちます

$p_{n + 2} > \sqrt{p_{n}^{2} + p_{n + 1}^{2} - p_{n} p_{n + 1}}$

また、十分大きい $n$ について、素数 $p_{n + 2}$ を $p_{n}, p_{n + 1}$ を用いて次のように近似できます

$n が十分大きいとき、 p_{n + 2} ≒ \sqrt{p_{n}^{2} + p_{n + 1}^{2} - p_{n} p_{n + 1}}$

(実際は多分0.4999とかにしたほうが精度高いと思います)

追記

なんかこの式の近似が結構いい線行ってる気がします

$p_{n + 2} ≒ \sqrt{p_{n}^{2} + p_{n + 1}^{2} - 2 k p_{n} p_{n + 1}}$
$ただし、 k = \frac{1}{2} - \frac{\log p_{n}}{p_{n + 1}}$

投稿日：2024年4月15日

更新日：2024年4月17日

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連続した3つの素数を三辺に持つ三角形について考えて素数を近似してみる

そもそも$p_n, p_{n+1}, p_{n+2}$を３辺に持つ三角形が存在するのか
で？
示したい
これが成り立つとどうなるのか
追記

連続した3つの素数を三辺に持つ三角形について考えて素数を近似してみる

そもそもpn,pn+1,pn+2を３辺に持つ三角形が存在するのか

で？

示したい

これが成り立つとどうなるのか

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