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京大理系数学2018-4

問題4

コインを $n$ 回投げて複素数 $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ を次のように定める．
(i) １回目に表が出れば $z_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ とし，裏が出れば $z_{1} = 1$ とする．
(ii) $k = 2, 3, \dots, n$ のとき， $k$ 回目に表が出れば $z_{k} = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2} z_{k - 1}$ とし，裏が出れば $z_{k} = \overset{―}{z_{k - 1}}$ とする．ただし， $\overset{―}{z_{k - 1}}$ は $z_{k - 1}$ の共役複素数である．このとき， $z_{n} = 1$ となる確率を求めよ．

考察

明らかに $z_{n}$ が取りうる値は $1, \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}, \frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2}$ の $3$ 種類． $n$ 回目にそれぞれの数字が出る確率を $P_{n}, Q_{n}, R_{n}$ と置きます．すると，
$P_{n + 1} = \frac{1}{2} P_{n} + \frac{1}{2} R_{n}$
$Q_{n + 1} = \frac{1}{2} P_{n} + \frac{1}{2} R_{n}$
$R_{n + 1} = Q_{n}$
ですね．この連立漸化式を解いていきます．

解答

明らかに $P_{n} = Q_{n}$ （ $n \geq 1$ ）．よって， $P_{n + 1} - R_{n + 1} = - \frac{1}{2} (P_{n} - R_{n})$ ． $P_{1} - R_{1} = \frac{1}{2}$ より， $P_{n} - R_{n} = - {(- \frac{1}{2})}^{n}$ ． $2 P_{n} + R_{n} = 1$ より， $P_{n} = \frac{1}{3} {1 - {(- \frac{1}{2})}^{n}}$