0

【不等式評価】sin0.1(ラジアン)を小数第4位まで求めよ

251
0

問題:sin 0.14

※答えはこの記事の一番最後にあります。

はじめに

  • この記事で伝えたい事:不等式評価の技術
  • この記事を書いた理由:問題がシンプルで分かり易く、尚且つ具体的にも関わらず記事があまり無さそうだった為
  • 想定読者:高校生、大学生
  • この記事を読む為に必要な予備知識:高校数学3まで一通り知っていたらOK
  • コメント:マクローリン展開を知っていると良いですが知らなくても、この記事を読む事ができます。

上の問題を解くために利用する命題とその証明

sinの原点近くでの多項式近似その1

sinxxが任意の0以上の実数xについて成り立つ。

微分による不等式の証明

任意の0以上の実数xについて,  0xsinx (1) を示せば良い。
・(1)の右辺をf(x)と置いて微分すると、f(x)=1cosx0 
これより、f(x)は単調増加関数。特に0以上の定義域においても単調増加。
・さらに、f(0)=0が成り立つ。

ゆえに、f(x)x0の領域で常に0以上。

sinの原点近くでの多項式近似その2

xx33!sinxが任意の0以上の実数xについて成り立つ。

微分による不等式の証明

任意の0以上の実数xについて,  0sinxx+x33! (2) を示せば良い。
・(2)の右辺をf(x)と置いて微分すると、
  f(x)=cosx1+x22
  f(x)=sinx+x=xsinx
また、f(0)=sin00+033!=0

これを踏まえて、命題1と同様に証明を行う。
すなわち、f(x)0以上の領域において0以上である事を示す。

命題1より0以上の任意の実数xにおいてf(x)0
ゆえにf(x)0以上の領域において単調増加。
また、f(0)=cos01+022=0
よって、0xの領域で0f(x)が成立する。よって、命題1と同様にして
任意の0以上の実数xについてf(x)=sinxx+x33!0が示された。

sinの原点近くでの多項式近似その3

sinxxx33!+x55!が任意の0以上の実数xについて成り立つ。

微分による不等式の証明

任意の0以上の実数xについて,  0xx33!+x55!sinx (3) を示せば良い。

命題2と同様にして、(3)の右辺をf(x)と置いて微分を行うと
  f(x)=1x22+x44!cosx
  f(x)=x+x33!+sinx=sinxx+x33!
ここから先は、上で命題2を示す際に命題1を利用した論法と全く同様にして命題3を示す事ができる。

   

解答

上で準備した命題を用いてsin 0.1を不等式評価することができます。

命題2,命題3より
       0.10.133!sin0.10.10.133!+0.155!

0.60.136sin0.1120.02+0.15120

0.5996sin0.111.98001120

0.09983˙sin0.10.099833416˙   (「」は循環小数を表す。 )
よってsin0.1の小数第6位までの数値が求まっており、0.099833となる。
特にsin0.1の小数第4位までの数値は0.0998

答え:0.0998

参考(wolframAlphaによる計算)

wolframAlpha wolframAlpha
5次の多項式近似sinxxx33!+x55!で、小数第100.0998334166の精度まで正しいようです。

投稿日:2023623
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
  1. はじめに
  2. 上の問題を解くために利用する命題とその証明
  3. 解答
  4. 参考(wolframAlphaによる計算)