【不等式評価】sin0.1(ラジアン)を小数第4位まで求めよ

任意の$0$以上の実数$x$について, $0\le x-\sin x\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (1)$を示せば良い。
・(1)の右辺を$f(x)$と置いて微分すると、$f^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$
これより、$f(x)$は単調増加関数。特に$0$以上の定義域においても単調増加。
・さらに、$f(0)=0$が成り立つ。

ゆえに、$f(x)$は$x\ge 0$の領域で常に$0$以上。 $◻$

任意の$0$以上の実数$x$について, ${\displaystyle 0\le \sin x-x+\frac{x^3}{3!}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (2)}$を示せば良い。
・(2)の右辺を$f(x)$と置いて微分すると、
${\displaystyle f^{\prime }(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}}$
${\displaystyle f^{″}(x)=-sinx+x=x-\sin x}$
また、${\displaystyle f(0)=\sin 0-0+\frac{0^3}{3!}=0}$

これを踏まえて、命題1と同様に証明を行う。
すなわち、$f^{\prime }(x)$が$0$以上の領域において$0$以上である事を示す。

命題$1$より$0$以上の任意の実数$x$において$f^{″}(x)\ge 0$
ゆえに$f^{\prime }(x)$は$0$以上の領域において単調増加。
また、${\displaystyle f^{\prime }(0)=\cos 0-1+\frac{0^2}{2}=0}$
よって、$0\le x$の領域で$0\le f^{\prime }(x)$が成立する。よって、命題$1$と同様にして
任意の$0$以上の実数$x$について${\displaystyle f(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{3!}\ge 0}$が示された。$◻$

任意の$0$以上の実数$x$について, ${\displaystyle 0\le x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\sin x\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (3)}$を示せば良い。

命題$2$と同様にして、(3)の右辺を$f(x)$と置いて微分を行うと
${\displaystyle f^{\prime }(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\cos x}$
${\displaystyle f^{″}(x)=-x+\frac{x^3}{3!}+\sin x=\sin x-x+\frac{x^3}{3!}}$
ここから先は、上で命題$2$を示す際に命題$1$を利用した論法と全く同様にして命題$3$を示す事ができる。