【不等式評価】sin0.1(ラジアン)を小数第4位まで求めよ
問題：$sin\ 0.1を小数第4位まで求めよ$
※答えはこの記事の一番最後にあります。
はじめに
- この記事で伝えたい事：不等式評価の技術
- この記事を書いた理由：問題がシンプルで分かり易く、尚且つ具体的にも関わらず記事があまり無さそうだった為
- 想定読者：高校生、大学生
- この記事を読む為に必要な予備知識：高校数学3まで一通り知っていたらOK
- コメント：マクローリン展開を知っていると良いですが知らなくても、この記事を読む事ができます。
上の問題を解くために利用する命題とその証明
$\sin x \leq x$が任意の$0$以上の実数$x$について成り立つ。
任意の$0$以上の実数$x$について, $\ 0 \leq x - \sin x \ \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot (1)\ $を示せば良い。
・(1)の右辺を$f(x)$と置いて微分すると、$f'(x)= 1-\cos x \geq 0\ $
これより、$f(x)$は単調増加関数。特に$0$以上の定義域においても単調増加。
・さらに、$f(0) = 0$が成り立つ。
ゆえに、$f(x)$は$x\geq 0$の領域で常に$0$以上。 $ \Box $
$\displaystyle x - \frac{x^3}{3!} \leq \sin x$が任意の$0$以上の実数$x$について成り立つ。
任意の$0$以上の実数$x$について, $\displaystyle \ 0 \leq \sin x - x + \frac{x^3}{3!}\ \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot (2)\ $を示せば良い。
・(2)の右辺を$f(x)$と置いて微分すると、
$\ \ \displaystyle f'(x)= \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$
$\ \ \displaystyle f''(x)= -sin x +x=x-\sin x $
また、$\displaystyle f(0)=\sin 0 - 0 + \frac{0^3}{3!} = 0$
これを踏まえて、命題1と同様に証明を行う。
すなわち、$f'(x)$が$0$以上の領域において$0$以上である事を示す。
命題$1$より$0$以上の任意の実数$x$において$f''(x)\geq 0$
ゆえに$f'(x)$は$0$以上の領域において単調増加。
また、$\displaystyle f'(0)= \cos 0 - 1 + \frac{0^2}{2} = 0$
よって、$0 \leq x$の領域で$0 \leq f'(x)$が成立する。よって、命題$1$と同様にして
任意の$0$以上の実数$x$について$\displaystyle f(x)=\sin x - x + \frac{x^3}{3!} \geq 0$が示された。$ \Box $
$\displaystyle \sin x \leq x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}$が任意の$0$以上の実数$x$について成り立つ。
任意の$0$以上の実数$x$について, $\displaystyle \ 0 \leq x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \sin x\ \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot (3)\ $を示せば良い。
命題$2$と同様にして、(3)の右辺を$f(x)$と置いて微分を行うと
$\ \ \displaystyle f'(x)= 1 - \frac{x^2}{2} +\frac{x^4}{4!} - \cos x$
$\ \ \displaystyle f''(x)= - x + \frac{x^3}{3!} + \sin x = \sin x - x + \frac{x^3}{3!}$
ここから先は、上で命題$2$を示す際に命題$1$を利用した論法と全く同様にして命題$3$を示す事ができる。
解答
上で準備した命題を用いて$sin\ 0.1$を不等式評価することができます。
命題$2$,命題$3$より
$\ \ \ \ \ \ \ \displaystyle 0.1 - \frac{0.1^3}{3!} \leq \sin 0.1 \leq 0.1 - \frac{0.1^3}{3!} + \frac{0.1^5}{5!}$
$\Leftrightarrow \displaystyle \frac{0.6-0.1^3}{6} \leq \sin 0.1 \leq \frac{12- 0.02+0.1^5}{120}$
$\Leftrightarrow \displaystyle \frac{0.599}{6} \leq \sin 0.1 \leq \frac{11.98001}{120}$
$\Leftrightarrow \displaystyle 0.0998\dot{3} \leq \sin 0.1 \leq 0.09983341\dot{6}\ \ $ (「$\cdot$」は循環小数を表す。 )
よって$\sin 0.1$の小数第6位までの数値が求まっており、$0.099833$となる。
特に$\sin 0.1$の小数第4位までの数値は$0.0998$。
答え：$0.0998$
参考(wolframAlphaによる計算)
wolframAlpha
5次の多項式近似$\displaystyle \sin x \sim x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}$で、小数第$10$位$0.0998334166$の精度まで正しいようです。