Littlewoodの定理の証明

注意

この記事は私が1年半ほど前に作成した資料をMathlog向けに再構成したものである。

前置き

素数計数関数
\begin{equation*} \pi(x) = \sum_{p\le x} 1 \end{equation*}
の挙動は多くの数学者の興味の対象となってきた。対数積分$\mathrm{li}(x) = \int_2^x \frac{\dd{u}}{\log u}$
を用いると次が示せる。

次なる興味は、絶対誤差$\pi(x) - \mathrm{li}(x)$の挙動である。
リーマンの時代には、すでに$x=3\times10^6$まで$\pi(x) - \mathrm{li}(x) < 0$であることが確認されていた。
問題は、この傾向が$x$がさらに大きくなっても続くのかどうかである。
Littlewoodは、$\pi(x) - \mathrm{li}(x)$が無限回符号を変えることを証明した。
本稿では、その証明のおおまかな道筋を辿ることを目的とする。

ゼータ関数とチェビシェフ関数

$\pi(x)$を直接扱うのではなく、より扱いやすい$\psi(x)$を導入する。
ゼータ関数のオイラー積表示
\begin{equation} \zeta(s) = \prod_{p} (1-p^{-s})^{-1} \end{equation}
から出発する。対数微分をとると、
\begin{equation} \begin{split} \frac{\zeta'}{\zeta}(s) &= \dv{s}(\log \zeta(s)) \\ &= -\dv{s}\sum_{p: \text{prime}} \log(1 - p^{-s}) \\ &= \dv{s}\sum_{p: \text{prime}} \sum_{n=1}^\infty \frac{p^{-ns}}{n} \\ &= -\sum_{p: \text{prime}} \sum_{n=1}^\infty \log p \cdot p^{-ns} \end{split} \end{equation}
マンゴルト関数$\Lambda(n)$を
\begin{equation*} \Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{if} \; n = p^m; \, p: \text{prime}, \, m \in \mathbb{N} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{equation*}
で定義すれば、
\begin{equation} \begin{split} -\frac{\zeta'}{\zeta}(s) &= \frac{\log 2}{2^s} + \frac{\log 3}{3^s} + \frac{\log 5}{5^s} + \cdots \\ & + \frac{\log 2}{2^{2s}} + \frac{\log 3}{3^{2s}} + \frac{\log 5}{5^{2s}} + \cdots \\ & + \frac{\log 2}{2^{3s}} + \frac{\log 3}{3^{3s}} + \frac{\log 5}{5^{3s}} + \cdots \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s} \end{split} \end{equation}
ここで恒等式
\begin{equation*} s\int_n^\infty x^{-s-1} \dd{x} = [-x^{-s}]_n^\infty = \frac{1}{n^s} \end{equation*}
を使って次のように変形する。
\begin{equation} \begin{split} -\frac{\zeta'}{\zeta}(s) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s} \\ &= s \sum_{n=1}^\infty \int_n^\infty \Lambda(n) x^{-s-1} \dd{x} \\ &= s \int_1^2 \Lambda(1) x^{-s-1} \dd{x} \\ &+ s \int_2^3 (\Lambda(1)+\Lambda(2)) x^{-s-1} \dd{x} \\ &+ s \int_3^4 (\Lambda(1)+\Lambda(2)+\Lambda(3)) x^{-s-1} \dd{x} + \cdots \\ &= s \int_0^\infty \psi(x)x^{-s-1} \dd{x} \end{split} \end{equation}
ただし、
\begin{equation} \psi(x) = \sum_{n \le x} {}' \Lambda(n) \end{equation}
はチェビシェフ関数。チェビシェフ多項式とは別物であることに注意。
メリン逆変換をして(付録参照)、
\begin{equation} \psi(x) = -\frac{1}{2\pi i}\lim_{T \to \infty} \int_{a-iT}^{a+iT} \frac{\zeta'}{\zeta}(s)\frac{x^s}{s} \dd{s} \end{equation}
ただし$a>1$。

チェビシェフ関数の明示公式

ゼータ関数を使って定義される関数
\begin{equation} \xi(s) = \frac{1}{2}s(s-1)\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\qty(\frac{s}{2})\zeta(s) \end{equation}
は整関数、つまり複素数平面全域で正則。
ガンマ関数の極（0と負の整数で一位）は$s$とゼータ関数の自明なゼロ点（負の偶数）が打ち消す。ゼータ関数の唯一の極($s=1$で一位)は$(s-1)$の因子が打ち消す。ゆえに、$\xi(s)$のゼロ点はゼータ関数の非自明なゼロ点のみとなる。
ちなみに、$\xi(s) = \xi(1-s)$が成り立って$\Re(s)=1/2$中心の対称性が綺麗。
アダマールの積定理というクソ強定理により、$\xi$はゼロ点を渡る無限積で表せる。
\begin{equation} \xi(s) = \frac{1}{2}e^{Bs}\prod_\rho \qty(1-\frac{s}{\rho})e^{\frac{s}{\rho}} \end{equation}
ただし、$\rho$は非自明なゼロ点、$B$は定数。これを対数微分して、$\xi$の定義と合わせると、
\begin{equation} \frac{\zeta'}{\zeta}(s) = B + \frac{1}{2}\log \pi -\frac{1}{s-1} - \frac{1}{2}\frac{\Gamma'}{\Gamma}\qty(\frac{s}{2}+1) + \sum_\rho \qty(\frac{1}{s-\rho} + \frac{1}{\rho}) \end{equation}
これを
\begin{equation*} \psi(x) = -\frac{1}{2\pi i}\lim_{T \to \infty} \int_{a-iT}^{a+iT} \frac{\zeta'}{\zeta}(s)\frac{x^s}{s} \dd{s} \end{equation*}
に代入する。
$x^{r+it}/(r+it)$は$r \to -\infty$で$0$、$t \to \pm\infty$で$0$なので、
\begin{align*} c_1(t) &= a+it \quad (-T \le t \le T) \\ c_2(r) &= r + iT \quad(a \ge r \ge -R) \\ c_3(t) &= -R+it \quad(T \ge t \ge -T) \\ c_4(r) &= r - iT \quad(-R \le r \le a) \end{align*}
とすれば、積分路は
\begin{equation*} \lim_{T \to \infty} \int_{a-iT}^{a+iT} = \lim_{T \to \infty, \, R \to -\infty} \oint_{c_1+c_2+c_3+c_4} \end{equation*}
という周回積分で表せる。これにより、留数定理が使える。
$1$、負の偶数、非自明ゼロ点が一位の極で、ガンマ関数の対数微分の極の留数は全て$1$であるから、

特に、$\psi(x) \sim x$に注意。
$\Pi(x) = \sum_{m=1}^\infty\pi(x^{1/m})/m$の明示公式
\begin{equation*} \Pi(x) = \mathrm{li}(x) - \sum_\rho \mathrm{li}(x^\rho) - \log 2 + \int_x^\infty \frac{\dd{t}}{t(t^2-1)\log t} \label{eq2} \end{equation*}
と見比べると、$\psi(x)$の扱いやすそう感がわかると思う。

$\pi(x)$と$\psi(x)$の関係

\begin{equation} \theta(x) = \sum_{p \le x} \log p \end{equation}
と定義すれば、$\psi(x) = \sum_{k=1}^\infty \theta(x^{1/k})$
であり、$\theta(x) \le \psi(x)$から、
\begin{equation} \psi(x) - \theta(x) = \sum_{k=2}^\infty \theta(x^{1/k}) \le \psi(x^{1/2}) + \order{\psi(x^{1/3})} = x^{1/2} + \order{x^{1/3}} \tag{1} \end{equation}
である。
$\pi(x)$はスティルチェス積分によって次で表される：
\begin{equation} \pi(x) = \int_2^x \frac{1}{\log u}\dd{\theta(u)} \end{equation}
$\theta(u)$が不連続関数なので、この表示はリーマンの意味での積分になっていない。
気分としては：$u$が素数の近傍でないときは$\dd{\theta(u)}$は0で寄与しない。$u$が素数$p$の近傍のとき$\dd{\theta(u)}$は$\log p$となり、被積分関数の$(\log u)^{-1}$と打ち消しあって$1$だけ増加する。
スティルチェス積分は、形式的に部分積分のように扱えて、
\begin{equation} \int_2^x \frac{1}{\log u}\dd{\theta(u)} = \eval{\frac{\theta(u)}{\log u}}_2^x + \int_2^x \frac{\theta(u)}{u(\log u)^2} \dd{u} \end{equation}
とできる。ところで、
\begin{equation} \mathrm{li}(x) = \int_2^x \frac{\dd{u}}{\log u} = \eval{\frac{u}{\log u}}_2^x + \int_2^x \frac{\dd{u}}{(\log u)^2} \end{equation}
であるから、
\begin{equation} \begin{split} \pi(x) - \mathrm{li}(x) &= \eval{\frac{\theta(u) - u}{\log u}}_2^x + \int_2^x \frac{\theta(u) - u}{u(\log u)^2} \dd{u} \\ &= \frac{\theta(x) - x}{\log x} + \int_2^x \frac{\theta(u) - u}{u(\log u)^2} \dd{u} + \order{1} \\ &= \frac{\psi(x) - x}{\log x} + \int_2^x \frac{\theta(u) - u}{u(\log u)^2} \dd{u} + \order{\frac{x^{1/2}}{\log x}} \end{split} \tag{2} \end{equation}
積分項は$\order{\frac{x^{1/2}}{(\log x)^2}}$であることが証明できる(付録参照)
から、結局、

$\psi(x) - x$のオーダーが分かれば$\pi(x) - \mathrm{li}(x)$のオーダーも分かることが証明された。

ゼロ点の評価

以下、リーマン予想が真であると仮定し、$\rho = 1/2 + i\gamma\,(\gamma \in \mathbb{R})$と置く。
虚部が$[0, T]$にあるような非自明ゼロ点の個数を$N(T)$と表す。
\begin{equation} N(T+1) - N(T) = \order{\log T} \end{equation}
を一旦認める(参考文献2,3)。これから、次が言える。

特に、逆数和は発散するが、逆数の二乗和は収束する。ゆえに、
\begin{equation} \sum_{\gamma \ge T} \frac{1}{\gamma^2} = \order{\frac{\log T}{T}} \end{equation}
も言える。この辺の議論はかなり厳密でない。ちゃんとした議論は、
$N(T)$のより詳しい評価とスティルチェス積分を使う。

Littlewoodの定理

$\psi(x)$の積分の評価

$\sum_\rho x^\rho/\rho$は、$\sum_{\gamma} \frac{1}{\gamma}$が発散する関係で評価がしにくい。
代わりに、その積分を考えると、$\sum_\rho x^{\rho+1}/\rho(\rho+1)$となり、
$\sum_{\gamma} \frac{1}{\gamma^2}$が収束するので希望が見えてくる。

まず次の補題を示す：

…いかつい見た目をしているが、落ち着いて見てほしい。

左辺を見ると、$x$の近傍で積分していて、それを積分区間で割っている。だから、$\delta\to 0$で左辺は$\psi(x)-x$に収束する。

右辺の無限和のうち、$\frac{\sin\gamma\delta}{\gamma\delta}$に注目してみる。これは、$\gamma$が$1/\delta$より小さい領域ではある程度の大きさを持ちうるが、$\gamma$が十分大きければ$0$に収束する。よって、疑似的に$T=\order{1/\delta}$までの部分和と見做せる。あるいは、$T\to\infty$が$\delta\to 0$に化けたと考えることもできるだろう。この項を作りたいがために$[e^{-\delta}x, e^\delta x]$という変な積分区間を設定している。

また、$\sin(\gamma\log x)/\gamma$が誤差項の振動を表す。$x^{1/2}$が掛かっているので、少なくとも$\order{x^{1/2}}$で振動することが分かる。

こいつのより深い評価を得ることで、リトルウッドの定理は証明される。

鳩の巣原理とDirichletの補題

(*)の右辺第1項が実際に符号を変えるような$x$をとることを考える。
もし、$\abs{\gamma} < N$に対して$\sin(\gamma\log x)$が$\sin(\gamma\delta)$に"十分近くなる"ように$x$を取ることができれば、
\begin{equation*} \delta\sum_{0 < \gamma < N}\abs{\frac{\sin\gamma\delta}{\gamma\delta}}^2 < \delta\sum_{0 < \gamma < N} 1 \end{equation*}
の評価に帰着することができる。問題はそんな$x$をどうやってとるかだが、そのために次の補題を使う。証明には「多次元版鳩の巣原理」とでも言うべきものが使われる。
以下、$\norm{x}$で$x$に最も近い整数からの距離を表すものとする。

Littlewoodの定理の証明

符号を変えうる$x$の存在性は鳩の巣原理がなければ言えない。
ご唱和ください。鳩の巣原理マジ原理！

付録

メリン変換

$f(x)$のメリン変換$\hat{f}(s)$は次で定義される。
\begin{equation} \hat{f}(s) = \int_0^\infty f(x)x^{-s-1} \dd{x} \end{equation}
$t= \log x$、$s=a+iu$と置換すると、
\begin{equation*} \hat{f}(a+iu) = \int_0^\infty f(e^t)e^{-(a+iu)t} \dd{t} = \int_0^\infty e^{-at}f(e^t)e^{-iut} \dd{t} \end{equation*}
これはフーリエ変換の形。フーリエ逆変換をすると、
\begin{equation*} e^{-at}f(e^t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(a+iu)e^{iut} \dd{u} \end{equation*}
変数を戻して、
\begin{equation} f(x) = \frac{1}{2\pi i}\lim_{T \to \infty}\int_{a-iT}^{a+iT} \hat{f}(s)x^{s} \dd{s} \end{equation}
これがメリン逆変換。
$\hat{f}(s) = \frac{-\zeta'(s)}{s\zeta(s)}$の時、$\Re(s) > 1$の条件から$a>1$が必要であることに注意。

(2)に現れる積分の評価

\begin{equation*} I = \int_2^x \frac{\theta(u) - u}{u(\log u)^2} \dd{u} \end{equation*}
とする。(1)より$\theta(x) = \psi(x) - x^{1/2} + \order{x^{1/3}}$である。このままでは、$\psi(x)$の$\sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho}$の評価が難しいが、積分することで回避する。
\begin{equation} \psi_1(x) = \int_2^x \psi(u) \dd{u} = \frac{x^2}{2} - \sum_\rho \frac{x^{\rho+1}}{\rho(\rho+1)} - \frac{\zeta'}{\zeta}(0)x + \int_2^x \sum_{k=1}^\infty \frac{u^{-2k}}{2k} \dd{u} + \order{1} \end{equation}
ここで、
\begin{equation*} \begin{split} \int_2^x \sum_{k=1}^\infty \frac{u^{-2k}}{2k} \dd{u} &= \int_2^x \log \qty(1-u^{-2}) \dd{u} \\ &= \int_2^x \log(1+u) + \log(1-u) - 2\log u \dd{u} = \order{\frac{1}{x}} \end{split} \end{equation*}
と
\begin{equation*} \abs{\sum_\rho \frac{x^{\rho+1}}{\rho(\rho+1)}} \le \sum_\gamma \frac{x^{3/2}}{\gamma^2} = \order{x^{3/2}} \end{equation*}
より、
\begin{equation*} \psi_1(x) = \frac{x^2}{2} + \order{x^{3/2}} \end{equation*}
であるから、
\begin{equation*} \theta_1(x) = \int_2^x \theta(u) \dd{u} = \psi_1(x) + \int_2^x -u^{1/2} + \order{u^{1/3}} \dd{u} = \frac{x^2}{2} + \order{x^{3/2}} \end{equation*}
部分積分により、
\begin{equation} \begin{split} I &= \eval{\frac{\theta_1(u)-\frac{u^2}{2}}{u(\log u)^2}}_2^x + \int_2^x \frac{\theta_1(u)-\frac{u^2}{2}}{(u\log u)^2} \qty(1+\frac{2}{\log u}) \dd{u} \\ &= \order{\frac{x^{1/2}}{(\log x)^2} + \int_2^x u^{-1/2}(\log u)^{-2} \dd{u}} \\ &= \order{\frac{x^{1/2}}{(\log x)^2}} \end{split} \end{equation}
最後の積分の評価で平均値の定理を使っている。

(10)からの誤差項の評価

補題の仮定$\delta \le 1/2$より$3\delta/2 \le 3/4 < 1$であるから、
\begin{equation} e^{\pm\delta(\rho+1)} = e^{\pm3\delta/2}e^{\pm i\delta\gamma} = (1+\order{\delta})e^{\pm i\delta\gamma} = e^{\pm i\delta\gamma}+\order{\delta} \end{equation}
であり、(10)の$e^{\pm\delta(\rho+1)}$を$e^{\pm i\delta\gamma}$で置き換えた時の誤差項は
\begin{equation} \abs{-\frac{\order{\delta}}{2\sinh\delta}\sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho(\rho+1)}} = \order{\frac{\delta}{2\sinh\delta}}\abs{\sum_\rho \frac{1}{\rho(\rho+1)}} \cdot\abs{x^\rho} \end{equation}
ここで、
\begin{align} \abs{\sum_\rho \frac{1}{\rho(\rho+1)}} \le \sum_\gamma \frac{1}{\gamma^2} &= \order{1} \\ \abs{x^{\rho}} &= \order{x^{1/2}} \end{align}
であって、$\delta/\sinh\delta \le 1$である。
合わせて、
\begin{equation} \abs{-\frac{\order{\delta}}{2\sinh\delta}\sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho(\rho+1)}} = \order{x^{1/2}} \end{equation}

(11)からの誤差項の評価

(11)の$\delta/\sinh\delta$を$1$で置き換えることを考える。
$\delta/\sinh\delta=1+\order{\delta^2}$だから、誤差項は
\begin{equation*} -ix^{1/2} \order{\delta^2} \sum_\rho \frac{\sin\gamma\delta}{\delta}\cdot\frac{x^{i\gamma}}{\rho(\rho+1)} \end{equation*}
である。ここで、
\begin{equation*} \begin{split} \abs{\sum_\rho \frac{\sin\gamma\delta}{\delta}\cdot\frac{x^{i\gamma}}{\rho(\rho+1)}} &\le \frac{1}{\delta} \sum_\rho \frac{1}{\gamma^2} \\ &\le \sum_{0<\gamma\le1/\delta} \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta}\sum_{\gamma > 1/\delta}\frac{1}{\gamma^2} \\ &= \order{\qty(\log \frac{1}{\delta})^2} + \frac{1}{\delta}\order{\frac{\log1/\delta}{1/\delta}} \\ &= \order{\qty(\log \frac{1}{\delta})^2} \end{split} \end{equation*}
だから、
\begin{equation*} \begin{split} \abs{-ix^{1/2} \order{\delta^2} \sum_\rho \frac{\sin\gamma\delta}{\delta}\cdot\frac{x^{i\gamma}}{\rho(\rho+1)}} = x^{1/2}\cdot\order{\qty(\frac{\log 1/\delta}{1/\delta})^2} = \order{x^{1/2}} \end{split} \end{equation*}
となる。ここで、補題の仮定$2 \le 1/\delta \le 2x$を使っている。
\begin{equation} \text{(11)} = -ix^{1/2} \sum_\rho \frac{\sin\gamma\delta}{\delta}\cdot\frac{x^{i\gamma}}{\rho(\rho+1)} + \order{x^{1/2}} \tag{20} \end{equation}
(20)の$1/\rho$を$1/i\gamma$で置き換えることを考える。
$1/\rho = 1/i\gamma + \order{1/\gamma^2}$であり、
$\sin\gamma\delta/\delta = \order{\gamma}$に注意すると、誤差項は、
\begin{equation*} \abs{-ix^{1/2} \sum_\rho \order{\frac{1}{\gamma^2}} \frac{\sin\gamma\delta}{\delta}\cdot\frac{x^{i\gamma}}{(\rho+1)}} = x^{1/2}\order{\sum_\rho \frac{1}{\gamma^2}} = \order{x^{1/2}} \end{equation*}
同様のことが$1/(\rho+1)$に対してもできる。

参考文献

1. On the difference $\pi(x) - \li(x)$: Lee, Christine
   http://eprints.maths.manchester.ac.uk/1524/1/MSCLee.pdf
   これが一番詳しいが、割とエラーが多い。Littlewoodの定理の証明の他、Lehmanの方法の証明も載っている。

2. 『素数とゼータ関数』(共立講座 数学の輝き) 小山信也著
   ゼータ関数の基本的性質が知りたい方はこちら。

3. H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I.
   Classical Theory, Cambridge University Press, 2006.
   最終章にリトルウッドの定理の証明があるが、行間が結構空いている。

4. みんな大好きtsujimotter氏のブログ
   https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/07/01/201007
   ゼータ関数の非自明なゼロ点の計算方法はこちらを参照。