OMCB040 参加記

初めに

どうも、Weskdohnです。今回は、今日(4/4)に行われたOMCB040の感想などを書いていこうと思います。
予定があって参加できないはずでしたが、急遽空きが出来たので、度々机を離れながら参加することに。どうせなら万全のコンディションで参加したかったですね。
問題ページは以下です。Shota_1110さんの単独writerです。
OMCB040コンテストページ

参加時の動き

配点は1-1-1-2-2-2-3-3。まあまあスピード勝負になるかなと思ったのと、4bのFA連続記録が掛かっていたので、あまり最初に解かないであろうDから着手。

D

OMCB040 D問題
とりあえず分母を払うと、xy+43=7(x+y)なので、不定方程式を解く要領で(x-7)(y-7)=6と変換する。
同様に他２つも考えて、(x-7)(7-z)=10,(y-7)(z-7)=15を得る。
掛け合わせればそれぞれの項を求められる。±に注意すればx-7,y-7,z-7はそれぞれ2通りずつ考えられるが、複号同順に注意すれば(x,y,z)=(5,4,2),(9,10,12)とわかる。
そこまで難しい思考回路は要求されていないものの、スムーズに解けたことでFAでした！１分切り出来たのはかなり嬉しいですね。

Aで謎のペナ(?)を出してしまったので、とりあえず類題のGを考える(?)。

G

OMCB040 G問題
受験数学にありそうだなーと思いながら解き進める。
1から20の内4つを選ぶのは20C4通りあるが、この内だめな時が幾つかある。それが、
・a≧7
・a≦6,b≧9
・a≦6,b≦8,c≧13
の３通りである。それぞれについて場合の数は、14C4,6×12C3,(8C2-1)×8C2であるから、引けば答えが出る。
簡単だが10分程度掛かってしまった。良くない。

流石に100点問題を残すわけにはいかないということで、Aにリベンジ。

A

OMCB040 A問題
Gを考えているうちに約分ミスに気がついた。
1から6のうち4つを選ぶ場合の数を考えれば良いので、15/(6×8×12×20)を計算すれば良い。
一瞬Gとの違いがわからなかった。(バカ)

ここで用事ができたので（！）、１０分弱離脱。
戻ってきた後、とりあえず１００点埋めをすべく、Bから着手することに。

B

OMCB040 B問題
まずボタンを押し間違え1ペナ(!)
√を含んだ式が整数なので、m,nは7×平方数の形とわかる。
nは7,28,63の3通りしかないので、それぞれについて潰す。
足し算を間違えて更に1ペナ＆計算ミスを見つけるのに時間がかかってしまった。

ここでもう一度用事のため10分離脱。戻ってきてからCを考える。

C

OMCB040 C問題
正方形の一辺をsqrt3xと置くと、三角形PBCは一角が30°の直角三角形なので、正三角形APQの一辺が(sqrt3-1)xとなる。
そこまで考えた時,CQの長さを求めることに気が付き、一度白紙に。
∠AQC=60°なので、一辺CQの正三角形を考えると、これは四角形DAQCに三角形PBCを動かしてくっつけたものに一致する。
あとはCQ=yとでも置くと、1=(sqrt3/4)y^2=3y^4/16とわかるので、求める答えは16/3となる。
タイプミスで17と回答し1ペナしたもののなんとか正解。

Gが得意分野なこともあり、Eを先に解くことにする。

E

OMCB040 E問題
用事の間を縫って考えていた問題。
三角形BHCはBCを斜辺に持つ直角三角形なので、∠MBH=∠MHB。
これをxとでも置くと、∠AMH=∠HMC=2xとなるので、角の二等分線定理よりAM=4y,MC=3y。スチュワートの定理を三角形AMCに適応して、
48y^2+36y^2=7(9y^2+12)、これを解いてy=2を得る。
あとは三角形ABCについて中線定理を適応すれば、
AB^2+49=2(64+36),すなわち求める値は151となる。

更に用事の影響で10分ほど離脱。用事をこなしながらHを考え、闇雲に値を投げたが通るわけがないので、空きを作ってFを取り組むことに。

F

OMCB040 F問題
対称式っぽいので、a>b>cの時のみ考えて6倍すればよい。
a>b>cの時条件は、a-c=1000,a+b+c=-1or0or1と言い換えられる。
これらを足すことで,2a+b=999or1000or1001,引くことでb+2c=-1001or-1000or-999を得る。
明らかにa>0なので、bの正負と2a+bの値で場合分けをする。
2a+b=999の時,b+2c=-1001である。
bが正の時a≠bより500>a>333であり、bが負の時b≠cより0>b>-334，すなわち667>a>499である。したがってaは,666から334までの333通り考えられ、それぞれについて対応するb,cの組が1つずつ存在する。
同様に2a+b=1000,1001のときもaは333通り考えられ、対応するb,cの組が1つずつ存在するので、このような場合の数の総和は333×3=999通り。
よって求める値は999×６となる。
最初b+2cの条件を逃して考えておりペナしてしまったものの、すぐ修正できたのは
良かった。

そのあと少しHを考察したが、AM-GMをどう刺すか頭が回らず…結局時間内には解けませんでした。

結果

66分33秒+5ペナで63位でした！
用事さえなければあと30分くらい早かったかなと思いますが、後の祭りということで()
Hもそんなに難しい知識を要するわけでもなく、本調子だったら全完できたと思うので、悔しいですね……個人的にはHが、見た目もきれいで好きでした。

時間内に解けなかった問題

H

OMCB040 H問題
見た目的にAM-GMを使うんだろうなとはわかったものの、その後の工夫がすぐに思いつかなかったのと純粋に忙しかったため、解けずじまいだった問題。
ABCDEFにAM-GMを使うとsqrtの中が汚くなるため,Sも含めてAM-GMを使うと、
ABCDEFS=A^24+2(2^2B)^12+3(3^3C)^8+4(4^4D)^6+6(6^6E)^4+8(8^8F)^3≧24sqrt[24]A^24+(2^2B)^24+(3^3C)^24+(4^4D)^24+(6^6E)^24+(8^8F)^24=24×2^2×3^3×4^4×6^6×8^8×ABCDEF
よってS≧24×2^2×3^3×4^4×6^6×8^8となる。
等号条件より、A=24nとするとB=144n^2,C=512n^3,D=1296n^4,E=4096n^6,F=6561n^8と書け,GCDが1なのでn=1,すなわち求める値は24+144+512+1296+4096+6561=12633となる。
考え方も思いつきやすいし、24を使うことはわかっていたのに、思いつかなかったのは最近数学を触っていなかった弊害……