ガンマ関数で書ける(a)_n/n!の累乗が入った級数

1つ目がGaussの超幾何定理
$$\begin{array}{rl}{}_2{F}_1[\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};1]& =\frac{\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(c-a-b)}{\mathrm{\Gamma }(c-a)\mathrm{\Gamma }(c-b)}\end{array}$$
において, $b=a,c=1$とすると求まる. 2つ目はKummerの定理
$$\begin{array}{rl}{}_2{F}_1[\begin{array}{c}a,b\\ 1+a-b\end{array};-1]& =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2})\mathrm{\Gamma }(1+a-b)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2}-b)}\end{array}$$
において$a=b$とすると求まる. 3つ目は, Dixonの和公式
$$\begin{array}{rl}{}_3{F}_2[\begin{array}{c}a,b,c\\ 1+a-b,1+a-c\end{array};1]& =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2})\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-c)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2}-b-c)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2}-b)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2}-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c)}\end{array}$$
において$b=c=a$とすると求まる. 4つ目は, Dougallの和公式
$$\begin{array}{rl}{}_5{F}_4[\begin{array}{c}a,1+\frac{a}{2},b,c,d\\ \frac{a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a-d\end{array};1]& =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c-d)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-c-d)}\end{array}$$
において, $b=a,c=a,d=\frac{1+a}{2}$とすれば求まる. 6つ目はDougallの和公式において$b=c=d=a$とすれば求まる. 5つ目はDougallの和公式において, $d\mapsto -\mathrm{\infty }$として得られる
$$\begin{array}{rl}{}_4{F}_3[\begin{array}{c}a,1+\frac{a}{2},b,c\\ \frac{a}{2},1+a-b,1+a-c\end{array};-1]& =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-c)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c)}\end{array}$$
において, $b=c=a$とすれば求まる.