ガンマ関数で書ける(a)_n/n!の累乗が入った級数
今回の記事は$[a]_n:=\frac{(a)_n}{n!}$として, その累乗が入った級数を導出する.
$a$は十分小さいとする.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}[a]_n^2&=\frac{\Gamma(1-2a)}{\Gamma(1-a)^2}\\
\sum_{0\leq n}(-1)^n[a]_n^2&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1-\frac a2\right)}\\
\sum_{0\leq n}[a]_n^3&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma\left(1-\frac{3a}2\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)\Gamma\left(1-\frac a2\right)^2}\\
\sum_{0\leq n}(2n+a)[a]_n^3&=\frac{\Gamma\left(\frac{1+a}2\right)\Gamma\left(\frac{1-3a}2\right)}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)\Gamma\left(\frac{1-a}2\right)^2}\\
\sum_{0\leq n}(-1)^n(2n+a)[a]_n^3&=\frac 1{\Gamma(a)\Gamma(1-a)}\\
\sum_{0\leq n}(2n+a)[a]_n^4&=\frac{\Gamma(1-2a)}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)^3}
\end{align}
1つ目がGaussの超幾何定理
\begin{align}
\F21{a,b}{c}{1}&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}
\end{align}
において, $b=a, c=1$とすると求まる. 2つ目はKummerの定理
\begin{align}
\F21{a,b}{1+a-b}{-1}&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)}
\end{align}
において$a=b$とすると求まる. 3つ目は, Dixonの和公式
\begin{align}
\F32{a,b,c}{1+a-b,1+a-c}{1}&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(1+\frac a2-b-c\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)\Gamma\left(1+\frac a2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}
\end{align}
において$b=c=a$とすると求まる. 4つ目は, Dougallの和公式
\begin{align}
\F54{a,1+\frac a2,b,c,d}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d}{1}&=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-b-c-d)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)}
\end{align}
において, $b=a, c=a, d=\frac{1+a}2$とすれば求まる. 6つ目はDougallの和公式において$b=c=d=a$とすれば求まる. 5つ目はDougallの和公式において, $d\mapsto -\infty$として得られる
\begin{align}
\F43{a,1+\frac a2,b,c}{\frac a2,1+a-b,1+a-c}{-1}&=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)}
\end{align}
において, $b=c=a$とすれば求まる.
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