三角形の面積と，内接円，傍接円の半径の関係

［証明］
　「ヘロンの公式」から，
$$\quad　S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$$
が成り立つ．
　内接円の半径$r_I$について，内心をIとおくと，面積の関係から，
　　△IBC＋△ICA＋△IAB＝△ABC
が成り立つので，
$$\quad \frac{a+b+c}{2}r_I=S $$
$$\quad　r_I= \frac{S}{s} $$
　角Aの傍接円の半径$r_A$について，傍心をJとおくと，面積の関係から，
　　－△IBC＋△ICA＋△IAB＝△ABC
が成り立つので，
$$\quad \frac{-a+b+c}{2}r_A=S $$
$$\quad　r_A= \frac{S}{s-a} $$
　同様に，
$$ \quad　r_B= \frac{S}{s-b},\quad　r_C= \frac{S}{s-c} $$
　以上から，
$$\quad　r_I \cdot r_A \cdot r_B \cdot r_C=\frac{S}{s}\frac{S}{s-a} \frac{S}{s-b} \frac{S}{s-c}=S^2 $$
　よって，成り立つ．□□