加法定理から三角関数の公式の導出
はじめに
三角関数は，どんな分野を勉強するにおいても必要になってくる知識です．そんな三角関数を利用するうえで有用な公式を導出する方法を紹介します．
三角関数の加法定理
三角関数には加法定理というものがあります．この定理を覚えておくことで三角関数の公式は導出することができます．
まずは、加法定理を確認してみましょう．
任意の実数$ \alpha $，$ \beta $に対して，次の式が成り立つ．
- $ \sin ( \alpha \pm \beta )= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $(複合同順)
- $ \cos ( \alpha \pm \beta )= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $(複合同順)
導出
ここからは2倍角，半角，積和の公式の導出方法を説明していきます。
2倍角の公式
公式
まずは公式を確認しましょう
$$ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $$
$$ \cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $$
導出方法
加法定理において$\beta=\alpha$とすると，
$$
\sin 2 \alpha = \sin(\alpha+\alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
$$
$$
\cos 2\alpha = \cos(\alpha+\alpha) = \cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha
$$
2倍角の公式を導出することができました．
半角の公式
公式
まずは公式を確認しましょう
$$
\sin^2\alpha = \frac{1-\cos2\alpha}{2}
$$
$$
\cos^2\alpha = \frac{1+\cos2\alpha}{2}
$$
導出方法
先ほど求めた2倍角の公式を使います.
$$
\begin{eqnarray}
\cos\alpha &=& \cos^2 \alpha- \sin^2\alpha\\
&=&(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\\
&=&1-2\sin^2\alpha
\end{eqnarray}
$$
これを$\sin^2\alpha$について解くと，
$$
\begin{eqnarray}
2\sin^2\alpha &=& 1-\cos\alpha\\\\
\sin^2\alpha &=& \frac{1-\cos2\alpha}{2}
\end{eqnarray}
$$
となります．
$\cos$についても同様に，
$$
\begin{eqnarray}
\cos\alpha &=& \cos^2 \alpha- \sin^2\alpha\\
&=&\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)\\
&=&2\cos^2\alpha-1
\end{eqnarray}
$$
これを$\cos^2\alpha$について解くと，
$$
\begin{eqnarray}
2\cos^2\alpha &=& 1+\cos\alpha\\\\
\cos^2\alpha &=& \frac{1+\cos2\alpha}{2}
\end{eqnarray}
$$
半角の公式を導出することができました．
積和の公式
公式
まずは公式を確認してみましょう
$$
\begin{eqnarray}
&(1)&\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2} \{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\\
&(2)&\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2} \{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}\\
&(3)&\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2} \{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\\
&(4)&\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2} \{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}
\end{eqnarray}
$$
導出方法
(1)の公式
$\sin$の加法定理より，
$$
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\
\sin(\alpha-\beta)&=&\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}
$$
これを両辺足し合わせると，
$$
\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta
$$
$\sin\alpha\cos\beta$について解くと
$$
\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2} \{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
$$
積和の公式を導出することができました．
(2)～(4)の公式も同様に導出できます．
まとめ
三角関数の公式は覚えられると便利ですが，形が似ていて覚えておくのは大変です．しかしこの導出方法を理解しておけば，公式を覚える必要がなくなるので，ぜひ理解しておきましょう．
