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現代数学解説
ネーター加群の全射自己準同型は自己同型である
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$$\newcommand{AA}[0]{\mathcal{A}}
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\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
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\newcommand{DD}[0]{\mathcal{D}}
\newcommand{DDD}[0]{\mathsf{D}}
\newcommand{EE}[0]{\mathcal{E}}
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\newcommand{equiv}[0]{\Leftrightarrow}
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\newcommand{inj}[0]{\hookrightarrow}
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\newcommand{KKK}[0]{\mathsf{K}}
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\newcommand{mod}[0]{\operatorname{\mathsf{mod}}}
\newcommand{Mod}[0]{\operatorname{\mathsf{Mod}}}
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\newcommand{YY}[0]{\mathcal{Y}}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{ZZ}[0]{\mathcal{Z}}
$$
導入
ちょっと有名な、タイトルを示すのが目的の短い記事です。
環といったら可換とは限らない単位的結合的な環、加群は単位的な左加群とします。
前提知識
環上の加群の定義を知っている、ネーター加群を知っている、核を知っている、余核の一意性やfive lemmaを知っている人。
主定理と証明
早速主定理を述べて証明を書きます。
主定理
環$A$上の左加群$M$がネーター的と仮定する。このとき、自己準同型$f \colon M \to M$が全射ならば、自動的に同型である、すなわち単射である。
いま$M$の部分加群の増大列$ \ker f \subseteq \ker f^2 \subseteq \cdots$がある。よってネーター性よりある$i$が存在して$\ker f^i = \ker f^{i+1}$となる。すると$f^{i+1}$と$f^i$が全射なことに注意すると、次の短完全列からなる可換図式ができる：
\begin{CD}
0 @>>> \ker f^{i} @>>> M @>{f^{i}}>> M @>>> 0 \\
@. @| @| @V{f}VV \\
0 @>>> \ker f^{i+1} @>>> M @>{f^{i+1}}>> M @>>> 0
\end{CD}
よってfive lemmaもしくは余核の一意性により$f$は同型である。
感想
昔ごちゃごちゃ元をとって示したことがある気がするのですが、単にfive lemmaで一瞬ということが先日のセミナーで気づいたので記事にしました。後輩に感謝。
- 上の証明でそのまま「アーベル圏のネーター的な対象の全射自己準同型は単射」や、双対的に「アルティン的対象の単射自己準同型は全射」という主張を示すことができます。
- 実は環$A$が可換なら、ネーター性を外して有限生成だけで十分らしいですが、証明はごちゃごちゃした可換っぽいやりかたでやります。
投稿日：2020年11月28日
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