# 導入

ちょっと有名な、タイトルを示すのが目的の短い記事です。


&&&rem
環といったら可換とは限らない単位的結合的な環、加群は単位的な左加群とします。
&&&

### 前提知識
環上の加群の定義を知っている、ネーター加群を知っている、核を知っている、余核の一意性やfive lemmaを知っている人。

# 主定理と証明

早速主定理を述べて証明を書きます。

&&&thm 主定理
環$A$上の左加群$M$がネーター的と仮定する。このとき、自己準同型$f \colon M \to M$が全射ならば、自動的に同型である、すなわち単射である。
&&&


&&&prf
いま$M$の部分加群の増大列$ \ker f \subseteq \ker f^2 \subseteq \cdots$がある。よってネーター性よりある$i$が存在して$\ker f^i = \ker f^{i+1}$となる。すると$f^{i+1}$と$f^i$が全射なことに注意すると、次の短完全列からなる可換図式ができる：
\begin{CD}
\TextCenter

0 @>>> \ker f^{i} @>>> M @>{f^{i}}>> M @>>> 0 \\
@. @| @| @V{f}VV \\
0 @>>> \ker f^{i+1} @>>> M @>{f^{i+1}}>> M @>>> 0
\end{CD}
よってfive lemmaもしくは余核の一意性により$f$は同型である。
&&&

# 感想
昔ごちゃごちゃ元をとって示したことがある気がするのですが、単にfive lemmaで一瞬ということが先日のセミナーで気づいたので記事にしました。後輩に感謝。



&&&rem
- 上の証明でそのまま「アーベル圏のネーター的な対象の全射自己準同型は単射」や、双対的に「アルティン的対象の単射自己準同型は全射」という主張を示すことができます。
- 実は環$A$が**可換**なら、ネーター性を外して有限生成だけで十分らしいですが、証明はごちゃごちゃした可換っぽいやりかたでやります。
&&&


ネーター加群の全射自己準同型は自己同型である

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