自作問題No.14

問題

図のように、「ご注文はうさぎですか？」6巻の表紙には「星型八面体」という立体の形をした照明「エトワール」が描かれている。数学的に定義すると、立方体の頂点4つで正四面体$S$、残りの頂点で正四面体$T$をつくるとき、$S\cup T$を満たす立体が星型八面体である。上の定義において、立方体の一辺の長さを$\sqrt{2}$、すなわちエトワールの一辺の長さを$2$とするとき、

エトワール

(1)エトワールの体積$V$を求めよ。
　(2)エトワールを立方体の対角線、すなわち星型八面体の向かい合った頂点を結ぶ直線を軸として一回転させてできる立体の体積$V^{\prime }$を求めよ。