積分計算メモ(対数編)

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

この記事は対数を含む積分によって得られた結果の羅列で、解説記事ではありません。
NKS 氏や便利氏らとのスペースで話題になったり、そこから少し派生したりした積分が中心です。導出過程については、別途気が向いた時に記事にしようかなと思います。

$\int_{0}^{1} x^{a} \ln^{b} x d x = (- 1)^{b} \frac{b!}{(a + 1)^{b + 1}}$

\int_{0}^{n} x^{a} \ln^{b} x d x = n^{a + 1} \sum_{k = 0}^{b} (- 1)^{k} (\binom{b}{k}) \frac{k!}{(a + 1)^{k + 1}} \ln^{b - k} n

$\int_{0}^{1} x^{n - 1} \ln (1 - x) = - \frac{H_{n}}{n}$

$\int_{0}^{1} x^{n - 1} \ln^{2} (1 - x) = \frac{H_{n}^{2} + H_{n}^{(2)}}{n}$

$\int_{0}^{1} x^{n - 1} \ln^{3} (1 - x) = - \frac{H_{n}^{3} + 3 H_{n} H_{n}^{(2)} + 2 H_{n}^{(3)}}{n}$

H_{n}^{(m)} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{m}} = \frac{1}{1^{m}} + \frac{1}{2^{m}} + \dots + \frac{1}{n^{m}}

\int_{0}^{1} x^{n - 1} \ln^{m} (1 - x) d x = \frac{(- 1)^{m} m!}{n} \cdot h_{m} (1, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{n})

h_{k} (x_{1}, \dots, x_{n})

は Complete homogeneous symmetric polynomial を表し、

h_{k} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \sum_{1 \leq i_{1} \leq \dots \leq i_{k} \leq n} x_{i_{1}} x_{i_{2}} \dots x_{i_{k}}

$\int_{0}^{1} \frac{\ln^{2} (1 + x)}{x} d x = \frac{1}{4} ζ (3)$

$\int_{0}^{1} \frac{\ln^{3} (1 + x)}{x} d x = - \frac{21}{4} \ln 2 ζ (3) + \frac{π^{2} \ln^{2} 2}{4} - \frac{\ln^{4} 2}{4} + \frac{π^{4}}{15} - 6 {Li}_{4} (\frac{1}{2})$

$\int_{0}^{1} \frac{\ln^{2} (1 - x)}{x} d x = 2 ζ (3)$

$\int_{0}^{1} \frac{\ln^{3} (1 - x)}{x} d x = - \frac{π^{4}}{15}$

\int_{0}^{1} \frac{\ln^{n} (1 + x)}{x} d x = n! ζ (n + 1) - \sum_{k = 0}^{n} k! (\binom{n}{k}) \ln^{n - k} (2) {Li}_{k + 1} (\frac{1}{2}) + \frac{\ln^{n + 1} 2}{n + 1}

\int_{0}^{1} \frac{\ln^{n} (1 - x)}{x} d x = (- 1)^{n} n! ζ (n + 1)

\int_{0}^{x} \frac{\ln^{2} (1 + t)}{t} d t = \ln x \ln^{2} (1 + x) - \frac{2}{3} \ln^{3} (1 + x) - 2 \ln (1 + x) {Li}_{2} (\frac{1}{1 + x}) - 2 {Li}_{3} (\frac{1}{1 + x}) + 2 ζ (3)

\int_{0}^{x} \frac{\ln^{2} (1 - t)}{t} d t = \ln x \ln^{2} (1 - x) + 2 \ln (1 - x) {Li}_{2} (1 - x) - 2 {Li}_{3} (1 - x) + 2 ζ (3)

$\int_{0}^{1} \ln (1 + x) \ln (1 - x) = 2 \ln^{2} 2 - 2 \ln 2 - \frac{π^{2}}{6}$

$\int_{0}^{1} \ln^{2} (1 + x) \ln^{2} (1 - x) d x = - 8 (ζ (2) + ζ (3) - 3) - ζ (4) + 4 (2 \ln 2 ζ (2) + \ln^{2} ζ (2) + 2 \ln 2 ζ (3) - 6 \ln 2 + 3 \ln^{2} 2 - \ln^{3} 2) + \ln^{4} 2$

\int_{0}^{1} \ln^{n} (1 + x) \ln^{n} (1 - x) d x = \frac{1}{4} lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ y \to 1 \end{matrix}} \frac{\partial^{2 n}}{\partial x^{n} \partial y^{n}} (2^{x + y} B (x, y))

B (x, y) = \int_{0}^{1} u^{x - 1} (1 - u)^{y - 1} d u = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)}

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x) \ln (1 - x)}{x} d x = - \frac{5}{8} ζ (3)$

$\int_{0}^{1} \frac{\ln^{2} (1 + x) \ln (1 - x)}{x} d x = - \frac{π^{4}}{240}$

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x) \ln^{2} (1 - x)}{x} d x = - \frac{5}{8} ζ (4) + 2 (L i_{4} (\frac{1}{2}) + \frac{7}{8} \ln 2 ζ (3) - \frac{1}{4} \ln^{2} 2 ζ (2) + \frac{1}{24} \ln^{2} 4)$

$\int_{0}^{1} \frac{\ln^{2} (1 + x) \ln^{2} (1 - x)}{x} d x = \frac{2 \ln^{5} 2}{15} - \frac{2 \ln^{3} 2 ζ (2)}{3} + \frac{7 \ln^{2} 2 ζ (3)}{4} - \frac{25 ζ (5)}{8} + 4 \ln 2 {Li}_{4} (\frac{1}{2}) + 4 {Li}_{5} (\frac{1}{2})$

$\int_{0}^{1} \frac{\ln^{3} (1 + x) \ln (1 - x)}{x} d x = - 6 {Li}_{5} (\frac{1}{2}) - 6 \ln 2 {Li}_{4} (\frac{1}{2}) + \frac{3}{4} ζ (5) + \frac{21}{8} ζ (2) ζ (3) - \frac{21}{8} \ln^{2} 2 ζ (3) + \ln^{3} 2 ζ (2) - \frac{1}{5} \ln^{5} 2$

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x) \ln^{3} (1 - x)}{x} d x = 6 {Li}_{5} (\frac{1}{2}) + 6 \ln 2 {Li}_{4} (\frac{1}{2}) - \frac{81}{16} ζ (5) - \frac{21}{8} ζ (2) ζ (3) + \frac{21}{8} \ln^{2} 2 ζ (3) - \ln^{3} 2 ζ (2) + \frac{1}{5} \ln^{5} 2$

\int_{0}^{1} \frac{\ln^{n} (1 + x) \ln (1 - x)}{x} d x = ?

\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x) \ln^{n} (1 - x)}{x} d x = (- 1)^{n} n! \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{H_{k}^{(n + 1)}}{k \cdot 2^{k}}

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x) \ln (1 - x)}{1 + x} d x = \frac{\ln^{3} 2}{3} - \frac{π^{2} \ln 2}{12} + \frac{ζ (3)}{8}$

$\int_{0}^{1} \frac{\ln^{2} (1 + x) \ln^{2} (1 - x)}{1 + x} d x = \frac{63 ζ (5)}{8} - \frac{9 \ln 2 ζ (4)}{2} + 4 \ln^{2} 2 ζ (3) - \frac{4 \ln^{3} 2 ζ (2)}{3} - 2 ζ (2) ζ (3) + \frac{7 \ln^{5} 2}{30} - 4 {Li}_{5} (\frac{1}{2})$